номер 1, страница 59, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Какие преобразования можно выполнять с неравенствами с одной переменной при их решении?

При решении неравенств с одной переменной можно выполнять следующие равносильные преобразования, которые не изменяют множество решений неравенства (или приводят к равносильному неравенству).

1. Перенос слагаемых из одной части неравенства в другую

   Любой член неравенства можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный. Это преобразование основано на свойстве прибавления или вычитания одного и того же числа или выражения к обеим частям неравенства. Знак неравенства при этом не меняется.

   Формально, если дано неравенство $f(x) > g(x) + c$, то оно равносильно неравенству $f(x) - c > g(x)$.

   Пример: Дано неравенство $3x + 5 > 8$. Перенесем 5 в правую часть: $3x > 8 - 5$, что равносильно $3x > 3$.

   Ответ: Можно переносить слагаемые из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, при этом знак неравенства сохраняется.

2. Умножение или деление обеих частей неравенства на число или выражение

   Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же число или выражение, но при этом важно учитывать знак этого числа или выражения.

   • На положительное число/выражение: Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число (или на выражение, принимающее только положительные значения на области определения неравенства), то знак неравенства сохраняется.

     Если $f(x) > g(x)$ и $c > 0$, то $c \cdot f(x) > c \cdot g(x)$ и $\frac{f(x)}{c} > \frac{g(x)}{c}$.

     Пример: В неравенстве $2x < 10$ разделим обе части на 2 (положительное число): $x < 5$.

   • На отрицательное число/выражение: Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число (или на выражение, принимающее только отрицательные значения), то знак неравенства необходимо изменить на противоположный ($>$ на $<$, $<$ на $>$, $\geq$ на $\leq$, $\leq$ на $\geq$).

     Если $f(x) > g(x)$ и $c < 0$, то $c \cdot f(x) < c \cdot g(x)$ и $\frac{f(x)}{c} < \frac{g(x)}{c}$.

     Пример: В неравенстве $-3x \ge 12$ разделим обе части на -3 (отрицательное число) и изменим знак неравенства: $x \le -4$.

   • На выражение, знак которого неизвестен: Умножать или делить на выражение, содержащее переменную (например, на $x-2$), можно только в том случае, если вы уверены в его знаке. В противном случае такое преобразование может привести к потере или приобретению корней. Правильный подход в такой ситуации — рассмотреть отдельно случаи, когда выражение положительно, отрицательно и равно нулю, или перенести все члены в одну часть и использовать метод интервалов.

   Ответ: Можно умножать и делить обе части на положительное число/выражение, сохраняя знак неравенства, или на отрицательное число/выражение, изменяя знак неравенства на противоположный.

3. Применение функций к обеим частям неравенства

   Иногда для решения неравенства к обеим его частям применяют некоторую функцию. Это преобразование также зависит от свойств монотонности функции.

   • Применение строго возрастающей функции: Если к обеим частям неравенства применить строго возрастающую функцию (например, $y=a^x$ при $a>1$, $y=\log_a x$ при $a>1$, $y=x^n$ для нечетного $n>0$), знак неравенства не изменится. Важно не забывать про область определения (ОДЗ) применяемой функции.

     Если $f(x) > g(x)$ и $h(t)$ — строго возрастающая функция, то $h(f(x)) > h(g(x))$ на общей области определения.

     Пример: В неравенстве $\log_2(x) > 3$ можно потенцировать по основанию 2 (функция $y=2^t$ возрастающая): $2^{\log_2(x)} > 2^3$, что с учетом ОДЗ ($x>0$) дает $x > 8$.

   • Применение строго убывающей функции: Если к обеим частям неравенства применить строго убывающую функцию (например, $y=a^x$ при $0

     Если $f(x) > g(x)$ и $h(t)$ — строго убывающая функция, то $h(f(x)) < h(g(x))$ на общей области определения.

     Пример: В неравенстве $(0.5)^x > 0.25$ можно прологарифмировать по основанию 0.5 (функция $y=\log_{0.5}(t)$ убывающая): $\log_{0.5}((0.5)^x) < \log_{0.5}(0.25)$, что дает $x < 2$.

   Ответ: Можно применять к обеим частям строго возрастающую функцию, сохраняя знак, или строго убывающую, изменяя знак на противоположный, с обязательным учетом области определения функции.

4. Тождественные преобразования выражений

   Можно выполнять любые тождественные преобразования в левой или правой части неравенства по отдельности, не меняя при этом другую часть. К таким преобразованиям относятся: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, разложение на множители, использование формул сокращенного умножения и т.д.

   Пример: В неравенстве $(x-2)(x+2) < x^2 + x$ можно преобразовать левую часть по формуле разности квадратов: $x^2 - 4 < x^2 + x$.

   Ответ: Можно упрощать каждую часть неравенства по отдельности, используя алгебраические тождества.