номер 982, страница 57, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

При каких значениях а равносильны неравенства (981—982):

982.

1) $\frac{4}{7}+13x \ge 10x + 3\frac{4}{7}$ и $2,5x + a \ge 1 - 0,5x;$

2) $19\frac{2}{9}y - 40 < 20y - 55$ и $\frac{2}{9}y + 7 < y + a?$

1) Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Для того чтобы найти значение параметра $\text{a}$, при котором данные неравенства равносильны, нужно решить каждое из них и приравнять их решения.

Решим первое неравенство:

$\frac{4}{7} + 13x \ge 10x + 3\frac{4}{7}$

Перенесем слагаемые с переменной $\text{x}$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$13x - 10x \ge 3\frac{4}{7} - \frac{4}{7}$

$3x \ge 3$

Разделим обе части на 3:

$x \ge 1$

Решением первого неравенства является промежуток $[1; +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство относительно $\text{x}$:

$2,5x + a \ge 1 - 0,5x$

Перенесем слагаемые с переменной $\text{x}$ в левую часть, а остальные — в правую:

$2,5x + 0,5x \ge 1 - a$

$3x \ge 1 - a$

Разделим обе части на 3:

$x \ge \frac{1-a}{3}$

Решением второго неравенства является промежуток $[\frac{1-a}{3}; +\infty)$.

Чтобы неравенства были равносильны, их множества решений должны совпадать. Это означает, что начальные точки промежутков должны быть равны:

$1 = \frac{1-a}{3}$

Умножим обе части на 3:

$3 = 1 - a$

$a = 1 - 3$

$a = -2$

Ответ: $a=-2$.

2) Чтобы найти значение $\text{a}$, при котором неравенства равносильны, найдем множества решений каждого из них и потребуем, чтобы они были одинаковыми.

Решим первое неравенство:

$19\frac{2}{9}y - 40 < 20y - 55$

Перенесем слагаемые с переменной $\text{y}$ в правую часть, а свободные члены — в левую, чтобы коэффициент при $\text{y}$ был положительным:

$55 - 40 < 20y - 19\frac{2}{9}y$

$15 < (20 - 19\frac{2}{9})y$

$15 < (1 - \frac{2}{9})y$

$15 < \frac{7}{9}y$

Умножим обе части на $\frac{9}{7}$:

$15 \cdot \frac{9}{7} < y$

$y > \frac{135}{7}$

Решением первого неравенства является интервал $(\frac{135}{7}; +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство:

$\frac{2}{9}y + 7 < y + a$

Перенесем слагаемые с переменной $\text{y}$ в правую часть, а остальные — в левую:

$7 - a < y - \frac{2}{9}y$

$7 - a < (1 - \frac{2}{9})y$

$7 - a < \frac{7}{9}y$

Умножим обе части на $\frac{9}{7}$:

$(7-a) \cdot \frac{9}{7} < y$

$y > \frac{9(7-a)}{7}$

$y > \frac{63 - 9a}{7}$

Решением второго неравенства является интервал $(\frac{63-9a}{7}; +\infty)$.

Для равносильности неравенств их множества решений должны совпадать. Следовательно, должны быть равны левые границы интервалов:

$\frac{135}{7} = \frac{63 - 9a}{7}$

Умножим обе части на 7:

$135 = 63 - 9a$

$9a = 63 - 135$

$9a = -72$

$a = -8$

Ответ: $a=-8$.