номер 975, страница 56, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

975. Являются ли равносильными неравенства:

1) $x \ge -8$ и $x + 3 \ge -5$;

2) $y \le 10$ и $y - 1 \le 9$;

3) $x > 5$ и $5x > 25$;

4) $x < 3$ и $-3x > -9$;

5) $x < 20$ и $\frac{1}{2}x + 3 > 10$;

6) $y \ge -16$ и $-\frac{1}{4}y \le 4?$

1) Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Рассмотрим пару неравенств: $x \ge -8$ и $x + 3 \ge -5$.

Первое неравенство $x \ge -8$ уже решено. Его решением является числовой промежуток $[-8; +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$x + 3 \ge -5$

Перенесем 3 в правую часть, изменив знак:

$x \ge -5 - 3$

$x \ge -8$

Решением второго неравенства также является числовой промежуток $[-8; +\infty)$. Поскольку множества решений обоих неравенств совпадают, они являются равносильными.

Ответ: да.

2) Рассмотрим пару неравенств: $y \le 10$ и $y - 1 \le 9$.

Первое неравенство $y \le 10$ уже решено. Его решением является числовой промежуток $(-\infty; 10]$.

Решим второе неравенство:

$y - 1 \le 9$

Перенесем -1 в правую часть, изменив знак:

$y \le 9 + 1$

$y \le 10$

Решением второго неравенства также является числовой промежуток $(-\infty; 10]$. Множества решений совпадают, следовательно, неравенства равносильны.

Ответ: да.

3) Рассмотрим пару неравенств: $x > 5$ и $5x > 25$.

Первое неравенство $x > 5$ уже решено. Его решением является числовой промежуток $(5; +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$5x > 25$

Разделим обе части на 5. Так как 5 - положительное число, знак неравенства не меняется.

$x > \frac{25}{5}$

$x > 5$

Решением второго неравенства также является числовой промежуток $(5; +\infty)$. Множества решений совпадают, следовательно, неравенства равносильны.

Ответ: да.

4) Рассмотрим пару неравенств: $x < 3$ и $-3x > -9$.

Первое неравенство $x < 3$ уже решено. Его решением является числовой промежуток $(-\infty; 3)$.

Решим второе неравенство:

$-3x > -9$

Разделим обе части на -3. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства необходимо изменить на противоположный.

$x < \frac{-9}{-3}$

$x < 3$

Решением второго неравенства также является числовой промежуток $(-\infty; 3)$. Множества решений совпадают, следовательно, неравенства равносильны.

Ответ: да.

5) Рассмотрим пару неравенств: $x < 20$ и $\frac{1}{2}x + 3 > 10$.

Первое неравенство $x < 20$ имеет в качестве решения числовой промежуток $(-\infty; 20)$.

Решим второе неравенство:

$\frac{1}{2}x + 3 > 10$

Перенесем 3 в правую часть:

$\frac{1}{2}x > 10 - 3$

$\frac{1}{2}x > 7$

Умножим обе части на 2:

$x > 14$

Решением второго неравенства является числовой промежуток $(14; +\infty)$.

Множества решений $(-\infty; 20)$ и $(14; +\infty)$ не совпадают. Например, число 10 является решением первого неравенства ($10 < 20$), но не является решением второго ($10 \ngtr 14$). Число 25 является решением второго неравенства ($25 > 14$), но не является решением первого ($25 \nless 20$). Следовательно, неравенства не равносильны.

Ответ: нет.

6) Рассмотрим пару неравенств: $y \ge -16$ и $-\frac{1}{4}y \le 4$.

Первое неравенство $y \ge -16$ уже решено. Его решением является числовой промежуток $[-16; +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$-\frac{1}{4}y \le 4$

Умножим обе части на -4. Так как мы умножаем на отрицательное число, знак неравенства необходимо изменить на противоположный.

$y \ge 4 \cdot (-4)$

$y \ge -16$

Решением второго неравенства также является числовой промежуток $[-16; +\infty)$. Множества решений совпадают, следовательно, неравенства равносильны.

Ответ: да.