номер 2, страница 55, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2. Объясните, почему неравенства $x-7 > 2x$; $x > 2x+7$; $x-7+7 > 2x+7$; $3x - 21 > 6x$ равносильны.

Неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Чтобы доказать равносильность данных неравенств, мы покажем, что все они могут быть приведены к одному и тому же неравенству с помощью равносильных (эквивалентных) преобразований.

За эталон примем неравенство $x - 7 > 2x$. Решим его, чтобы найти общее для всех множество решений:

$x - 7 > 2x$

Перенесем $\text{x}$ из левой части в правую:

$-7 > 2x - x$

$-7 > x$, что эквивалентно записи $x < -7$.

Множество решений этого неравенства: $(-\infty; -7)$. Теперь докажем, что остальные неравенства равносильны этому.

Рассмотрим неравенство $x > 2x + 7$

Это неравенство можно получить из $x - 7 > 2x$ путем прибавления к обеим частям числа 7 (равносильное преобразование):

$x - 7 + 7 > 2x + 7$, что приводит к $x > 2x + 7$.

Обратно, из $x > 2x + 7$ можно получить $x - 7 > 2x$, вычтя 7 из обеих частей. Следовательно, эти неравенства равносильны.

Рассмотрим неравенство $x - 7 + 7 > 2x + 7$

Упростив левую часть этого неравенства (тождественное преобразование), мы получим:

$x > 2x + 7$.

Мы получили второе неравенство, которое, как мы уже установили, равносильно первому. Значит, и это неравенство равносильно остальным.

Рассмотрим неравенство $3x - 21 > 6x$

Это неравенство можно получить из $x - 7 > 2x$, умножив обе его части на положительное число 3 (равносильное преобразование):

$3 \cdot (x - 7) > 3 \cdot (2x)$, что приводит к $3x - 21 > 6x$.

Обратно, разделив обе части неравенства $3x - 21 > 6x$ на 3, мы получим $x - 7 > 2x$. Следовательно, эти неравенства равносильны.

Таким образом, все четыре неравенства могут быть преобразованы друг в друга с помощью равносильных преобразований, а значит, они имеют одно и то же множество решений $(-\infty; -7)$ и являются равносильными.

Ответ: Данные неравенства равносильны, поскольку все они сводятся к одному и тому же неравенству $x < -7$ и, следовательно, имеют одинаковое множество решений $x \in (-\infty; -7)$. Эквивалентность доказывается путем выполнения равносильных преобразований: $x > 2x + 7 \Leftrightarrow x - 7 > 2x$ (перенос слагаемого); $x - 7 + 7 > 2x + 7 \Leftrightarrow x > 2x + 7$ (упрощение); $3x - 21 > 6x \Leftrightarrow x - 7 > 2x$ (деление на положительное число 3).