номер 968, страница 53, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

968. Изобразите на координатной прямой точки, расстояние до которых от точки: 1) $O(0)$; 2) $A(-1)$; 3) $B(3)$:

а) равно $\text{2}$;

б) меньше $\text{2}$;

в) больше $\text{2}$.

В каком случае построенные точки образуют интервал?

Для решения этой задачи мы будем использовать определение расстояния между двумя точками на координатной прямой. Расстояние между точкой с координатой $\text{x}$ и точкой с координатой $\text{a}$ равно модулю их разности: $|x - a|$.

1)

Рассматриваем расстояние до точки $O(0)$. Расстояние от произвольной точки $\text{x}$ до точки $\text{O}$ равно $|x - 0| = |x|$.

а) Расстояние равно 2.

Уравнение: $|x| = 2$.

Этому уравнению удовлетворяют две точки: $x = 2$ и $x = -2$.

На координатной прямой это две точки, симметричные относительно начала координат.

Ответ: Точки с координатами -2 и 2.

б) Расстояние меньше 2.

Неравенство: $|x| < 2$.

Это неравенство эквивалентно двойному неравенству $-2 < x < 2$.

На координатной прямой это множество точек, находящихся между -2 и 2. Это открытый интервал $(-2; 2)$.

Ответ: Интервал $(-2; 2)$.

в) Расстояние больше 2.

Неравенство: $|x| > 2$.

Это неравенство распадается на два: $x > 2$ или $x < -2$.

На координатной прямой это два луча: все точки левее -2 и все точки правее 2. Это объединение двух интервалов $(-\infty; -2) \cup (2; \infty)$.

Ответ: Объединение интервалов $(-\infty; -2) \cup (2; \infty)$.

2)

Рассматриваем расстояние до точки $A(-1)$. Расстояние от произвольной точки $\text{x}$ до точки $\text{A}$ равно $|x - (-1)| = |x + 1|$.

а) Расстояние равно 2.

Уравнение: $|x + 1| = 2$.

Это уравнение распадается на два: $x + 1 = 2$ или $x + 1 = -2$.

Решая их, получаем $x = 1$ и $x = -3$.

На координатной прямой это две точки: -3 и 1.

Ответ: Точки с координатами -3 и 1.

б) Расстояние меньше 2.

Неравенство: $|x + 1| < 2$.

Это неравенство эквивалентно двойному неравенству $-2 < x + 1 < 2$.

Вычитая 1 из всех частей, получаем $-3 < x < 1$.

На координатной прямой это открытый интервал $(-3; 1)$.

Ответ: Интервал $(-3; 1)$.

в) Расстояние больше 2.

Неравенство: $|x + 1| > 2$.

Это неравенство распадается на два: $x + 1 > 2$ или $x + 1 < -2$.

Решая их, получаем $x > 1$ или $x < -3$.

На координатной прямой это объединение двух интервалов $(-\infty; -3) \cup (1; \infty)$.

Ответ: Объединение интервалов $(-\infty; -3) \cup (1; \infty)$.

3)

Рассматриваем расстояние до точки $B(3)$. Расстояние от произвольной точки $\text{x}$ до точки $\text{B}$ равно $|x - 3|$.

а) Расстояние равно 2.

Уравнение: $|x - 3| = 2$.

Это уравнение распадается на два: $x - 3 = 2$ или $x - 3 = -2$.

Решая их, получаем $x = 5$ и $x = 1$.

На координатной прямой это две точки: 1 и 5.

Ответ: Точки с координатами 1 и 5.

б) Расстояние меньше 2.

Неравенство: $|x - 3| < 2$.

Это неравенство эквивалентно двойному неравенству $-2 < x - 3 < 2$.

Прибавляя 3 ко всем частям, получаем $1 < x < 5$.

На координатной прямой это открытый интервал $(1; 5)$.

Ответ: Интервал $(1; 5)$.

в) Расстояние больше 2.

Неравенство: $|x - 3| > 2$.

Это неравенство распадается на два: $x - 3 > 2$ или $x - 3 < -2$.

Решая их, получаем $x > 5$ или $x < 1$.

На координатной прямой это объединение двух интервалов $(-\infty; 1) \cup (5; \infty)$.

Ответ: Объединение интервалов $(-\infty; 1) \cup (5; \infty)$.

В каком случае построенные точки образуют интервал?

Проанализировав все три пункта, можно сделать вывод, что построенные точки образуют интервал в том случае, когда расстояние от искомой точки до заданной точки меньше заданного числа. Во всех наших примерах это был подпункт б).

Ответ: Построенные точки образуют интервал в случае б).