номер 962, страница 52, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

962. Дан числовой промежуток:

1) $[-3; 3]$

2) $(-\infty; 9\frac{1}{3}]$

3) $[1\frac{2}{3}; 10)$

Изобразите на одной координатной прямой данный числовой промежуток и числовой интервал так, чтобы их пересечением являлся числовой полуинтервал. Запишите этот числовой интервал.

1) Дан числовой промежуток $A = [-3; 3]$.

Чтобы пересечение данного промежутка с другим числовым интервалом $\text{B}$ было полуинтервалом (т.е. промежутком вида $(a; b]$ или $[a; b)$), необходимо, чтобы один из концов нового промежутка был открытым (круглая скобка), а другой — закрытым (квадратная скобка).

Выберем в качестве второго промежутка, например, открытый интервал $B = (-1; 5)$.

Изобразим это на координатной прямой. Промежуток $\text{A}$ — это отрезок от -3 до 3, включая концы. Промежуток $\text{B}$ — это числа между -1 и 5, не включая концы. Их общая часть — это числа, которые строго больше -1 и при этом меньше или равны 3.

Найдем пересечение этих промежутков:

$A \cap B = [-3; 3] \cap (-1; 5) = (-1; 3]$

Полученный промежуток $(-1; 3]$ является полуинтервалом, что соответствует условию задачи.

Ответ: $(-1; 3]$.

2) Дан числовой промежуток $A = (-\infty; 9\frac{1}{3}]$.

Это числовой луч, который включает все числа, меньшие или равные $9\frac{1}{3}$. Чтобы в результате пересечения получить полуинтервал, мы можем "отсечь" часть этого луча другим промежутком.

Выберем в качестве второго промежутка, например, открытый числовой луч $B = (0; +\infty)$, который включает все положительные числа.

Изобразим это на координатной прямой. Промежуток $\text{A}$ идет от $-\infty$ до $9\frac{1}{3}$ включительно. Промежуток $\text{B}$ идет от 0 (не включая) до $+\infty$. Их общая часть — это числа, которые одновременно больше 0 и меньше или равны $9\frac{1}{3}$.

Найдем пересечение этих промежутков:

$A \cap B = (-\infty; 9\frac{1}{3}] \cap (0; +\infty) = (0; 9\frac{1}{3}]$

Полученный промежуток $(0; 9\frac{1}{3}]$ является полуинтервалом.

Ответ: $(0; 9\frac{1}{3}]$.

3) Дан числовой промежуток $A = [1\frac{2}{3}; 10)$.

Это полуинтервал, включающий левый конец $1\frac{2}{3}$ и не включающий правый конец 10. Нам нужно найти второй промежуток $\text{B}$ так, чтобы их пересечение также было полуинтервалом.

Выберем в качестве второго промежутка, например, отрезок $B = [5; 8]$.

Изобразим это на координатной прямой. Промежуток $\text{A}$ — это числа от $1\frac{2}{3}$ (включительно) до 10 (не включая). Промежуток $\text{B}$ — это числа от 5 до 8 (включительно). Их общая часть — это числа, которые больше или равны 5 и одновременно меньше 10, а также меньше или равны 8. Совмещая условия, получаем числа, которые больше или равны 5 и меньше или равны 8.

Найдем пересечение этих промежутков:

$A \cap B = [1\frac{2}{3}; 10) \cap [5; 8] = [5; 8]$

Результатом является отрезок, а не полуинтервал. Этот выбор $\text{B}$ не подходит. Попробуем другой.

Возьмем в качестве $\text{B}$ интервал $(5; 8)$.

$A \cap B = [1\frac{2}{3}; 10) \cap (5; 8) = (5; 8)$

Результатом является интервал, а не полуинтервал. Этот выбор тоже не подходит.

Чтобы получить полуинтервал, нужно, чтобы один из концов итогового промежутка был открытым, а другой закрытым. Попробуем так: выберем $B = (5; 8]$.

Найдем пересечение:

$A \cap B = [1\frac{2}{3}; 10) \cap (5; 8]$

Общая часть — это числа $\text{x}$, для которых одновременно выполняются условия: $x \geq 1\frac{2}{3}$, $x < 10$, $x > 5$, $x \leq 8$.

Из $x > 5$ и $x \geq 1\frac{2}{3}$ следует $x > 5$.

Из $x \leq 8$ и $x < 10$ следует $x \leq 8$.

Таким образом, пересечением является промежуток $(5; 8]$, который является полуинтервалом.

Ответ: $(5; 8]$.