номер 959, страница 51, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите пересечение и объединение числовых промежутков (958–959):

959.

1) $(-5; 15)$ и $[4; 13);$

2) $(-\infty; 4,5]$ и $[-4,5; +\infty);$

3) $[-8\frac{3}{5};11]$ и $(-9; 2);$

4) $[\frac{2}{3};5)$ и $(2; 6,7).$

1) (-5; 15) и [4; 13]

Для нахождения пересечения и объединения удобно представить числовые промежутки на координатной прямой.

Первый промежуток $ (-5; 15) $ — это все числа $\text{x}$, для которых выполняется неравенство $ -5 < x < 15 $.

Второй промежуток $ [4; 13] $ — это все числа $\text{x}$, для которых выполняется неравенство $ 4 \le x \le 13 $.

Пересечение (∩) — это множество чисел, принадлежащих обоим промежуткам. На числовой прямой это их общая часть. Общими для данных промежутков являются все числа от 4 (включительно) до 13 (включительно).

Пересечение: $ (-5; 15) \cap [4; 13] = [4; 13] $.

Объединение (∪) — это множество чисел, принадлежащих хотя бы одному из промежутков. Так как промежуток $ [4; 13] $ полностью содержится внутри промежутка $ (-5; 15) $, их объединением будет больший из этих промежутков.

Объединение: $ (-5; 15) \cup [4; 13] = (-5; 15) $.

Ответ: пересечение $ [4; 13] $, объединение $ (-5; 15) $.

2) (-∞; 4,5] и [-4,5; +∞)

Первый промежуток $ (-\infty; 4,5] $ — это все числа $\text{x}$, для которых выполняется неравенство $ x \le 4,5 $.

Второй промежуток $ [-4,5; +\infty) $ — это все числа $\text{x}$, для которых выполняется неравенство $ x \ge -4,5 $.

Пересечение (∩) — это общая часть двух промежутков. В данном случае это все числа, которые одновременно меньше или равны 4,5 и больше или равны -4,5.

Пересечение: $ (-\infty; 4,5] \cap [-4,5; +\infty) = [-4,5; 4,5] $.

Объединение (∪) — это все числа, которые принадлежат хотя бы одному из промежутков. Первый промежуток покрывает всю числовую прямую до 4,5 включительно, а второй — от -4,5 включительно и до бесконечности. Вместе они покрывают всю числовую прямую.

Объединение: $ (-\infty; 4,5] \cup [-4,5; +\infty) = (-\infty; +\infty) $.

Ответ: пересечение $ [-4,5; 4,5] $, объединение $ (-\infty; +\infty) $.

3) [-8 3/5; 11] и (-9; 2)

Сначала преобразуем смешанную дробь в десятичную для удобства сравнения: $ -8\frac{3}{5} = -8,6 $.

Первый промежуток $ [-8,6; 11] $ — это все числа $\text{x}$, для которых $ -8,6 \le x \le 11 $.

Второй промежуток $ (-9; 2) $ — это все числа $\text{x}$, для которых $ -9 < x < 2 $.

Пересечение (∩) — это общая часть двух промежутков. Область пересечения начинается с левой границы первого промежутка, так как $ -8,6 > -9 $, и заканчивается правой границей второго промежутка, так как $ 2 < 11 $. Левая граница -8,6 включается, а правая 2 — нет.

Пересечение: $ [-8\frac{3}{5}; 11] \cap (-9; 2) = [-8\frac{3}{5}; 2) $.

Объединение (∪) — это все числа, которые принадлежат хотя бы одному из промежутков. Объединение начинается с наименьшей границы (это -9, не включая) и заканчивается наибольшей границей (это 11, включая).

Объединение: $ [-8\frac{3}{5}; 11] \cup (-9; 2) = (-9; 11] $.

Ответ: пересечение $ [-8\frac{3}{5}; 2) $, объединение $ (-9; 11] $.

4) [2/3; 5) и (2; 6,7)

Для удобства сравнения отметим, что $ \frac{2}{3} \approx 0,67 $.

Первый промежуток $ [\frac{2}{3}; 5) $ — это все числа $\text{x}$, для которых $ \frac{2}{3} \le x < 5 $.

Второй промежуток $ (2; 6,7) $ — это все числа $\text{x}$, для которых $ 2 < x < 6,7 $.

Пересечение (∩) — это общая часть двух промежутков. Область пересечения начинается с левой границы второго промежутка, так как $ 2 > \frac{2}{3} $, и заканчивается правой границей первого промежутка, так как $ 5 < 6,7 $. Обе границы, 2 и 5, не включаются.

Пересечение: $ [\frac{2}{3}; 5) \cap (2; 6,7) = (2; 5) $.

Объединение (∪) — это все числа, которые принадлежат хотя бы одному из промежутков. Так как промежутки пересекаются, их объединение будет сплошным промежутком. Он начинается с наименьшей границы (это $ \frac{2}{3} $, включая) и заканчивается наибольшей границей (это 6,7, не включая).

Объединение: $ [\frac{2}{3}; 5) \cup (2; 6,7) = [\frac{2}{3}; 6,7) $.

Ответ: пересечение $ (2; 5) $, объединение $ [\frac{2}{3}; 6,7) $.