номер 958, страница 51, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите пересечение и объединение числовых промежутков (958–959):

958.

1) $(-\infty; 3]$ и $[1; +\infty)$;

2) $(-4; 0]$ и $[4; 7)$;

3) $(-16\frac{3}{7};16]$ и $[-6; 6)$;

4) $(-\infty; \frac{1}{2}]$ и $(\frac{1}{2};+\infty)$.

1) Даны числовые промежутки $(-\infty; 3]$ и $[1; +\infty)$.

Для нахождения пересечения $( \cap )$ ищем общие точки для обоих промежутков. Первый промежуток включает все числа, меньшие или равные 3. Второй промежуток включает все числа, большие или равные 1. Общей частью для них будет промежуток от 1 до 3, включая концы.

$(-\infty; 3] \cap [1; +\infty) = [1; 3]$.

Для нахождения объединения $( \cup )$ мы рассматриваем все точки, которые принадлежат хотя бы одному из промежутков. Первый промежуток $(-\infty; 3]$ и второй промежуток $[1; +\infty)$ при наложении друг на друга покрывают всю числовую прямую.

$(-\infty; 3] \cup [1; +\infty) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: пересечение $[1; 3]$, объединение $(-\infty; +\infty)$.

2) Даны числовые промежутки $(-4; 0]$ и $[4; 7)$.

Пересечение: первый промежуток $(-4; 0]$ содержит числа от -4 (не включая) до 0 (включая). Второй промежуток $[4; 7)$ содержит числа от 4 (включая) до 7 (не включая). Эти два промежутка не имеют общих точек.

$(-4; 0] \cap [4; 7) = \emptyset$ (пустое множество).

Объединение: так как промежутки не пересекаются, их объединение представляет собой совокупность двух этих промежутков.

$(-4; 0] \cup [4; 7)$.

Ответ: пересечение $\emptyset$, объединение $(-4; 0] \cup [4; 7)$.

3) Даны числовые промежутки $(-16\frac{3}{7}; 16]$ и $[-6; 6)$.

Пересечение: ищем общую часть. Левая граница пересечения будет максимальной из левых границ, то есть $\max(-16\frac{3}{7}, -6) = -6$. Правая граница будет минимальной из правых границ, то есть $\min(16, 6) = 6$. Так как -6 входит в оба исходных промежутка (точнее, в область их определения на оси), а 6 не входит в промежуток $[-6; 6)$, то пересечением будет полуинтервал.

$(-16\frac{3}{7}; 16] \cap [-6; 6) = [-6; 6)$.

Объединение: промежуток $[-6; 6)$ целиком содержится в промежутке $(-16\frac{3}{7}; 16]$, поскольку $-16\frac{3}{7} < -6$ и $6 < 16$. Когда один из промежутков является подмножеством другого, их объединением является больший промежуток.

$(-16\frac{3}{7}; 16] \cup [-6; 6) = (-16\frac{3}{7}; 16]$.

Ответ: пересечение $[-6; 6)$, объединение $(-16\frac{3}{7}; 16]$.

4) Даны числовые промежутки $(-\infty; \frac{1}{2}]$ и $(\frac{1}{2}; +\infty)$.

Пересечение: первый промежуток включает все числа, меньшие либо равные $\frac{1}{2}$. Второй — все числа, строго большие $\frac{1}{2}$. У них нет ни одной общей точки. Граничная точка $\frac{1}{2}$ принадлежит первому промежутку, но не второму.

$(-\infty; \frac{1}{2}] \cap (\frac{1}{2}; +\infty) = \emptyset$.

Объединение: первый промежуток покрывает всю числовую прямую до точки $\frac{1}{2}$ включительно, а второй — всю числовую прямую после точки $\frac{1}{2}$. Вместе они покрывают всю числовую прямую без разрывов.

$(-\infty; \frac{1}{2}] \cup (\frac{1}{2}; +\infty) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: пересечение $\emptyset$, объединение $(-\infty; +\infty)$.