номер 961, страница 51, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

961. Изобразите на одной координатной прямой:

1) числовой интервал и числовой луч;

2) числовой отрезок и открытый числовой луч.

Рассмотрите все возможные случаи и для каждого случая найдите объединение и пересечение числовых промежутков.

1) числовой интервал и числовой луч

Пусть числовой интервал — это $(a, b)$, где $a < b$. Числовой луч может быть двух видов: $[c, +\infty)$ или $(-\infty, c]$. Рассмотрим все возможные случаи их взаимного расположения.

A. Интервал $(a, b)$ и луч $[c, +\infty)$

Случай A1: Интервал находится левее луча и не пересекается с ним.

Это происходит, когда $b \le c$. Например, $(1, 3)$ и $[4, +\infty)$.

Пересечение: $(a, b) \cap [c, +\infty) = \emptyset$.

Объединение: $(a, b) \cup [c, +\infty)$. Это объединение двух непересекающихся множеств.

Случай A2: Интервал и луч частично пересекаются.

Это происходит, когда $a < c < b$. Например, $(2, 7)$ и $[5, +\infty)$.

Пересечение: $(a, b) \cap [c, +\infty) = [c, b)$.

Объединение: $(a, b) \cup [c, +\infty) = (a, +\infty)$.

Случай A3: Интервал полностью содержится в луче.

Это происходит, когда $c \le a$. Например, $(3, 5)$ и $[1, +\infty)$.

Пересечение: $(a, b) \cap [c, +\infty) = (a, b)$.

Объединение: $(a, b) \cup [c, +\infty) = [c, +\infty)$.

Б. Интервал $(a, b)$ и луч $(-\infty, c]$

Случай Б1: Интервал находится правее луча и не пересекается с ним.

Это происходит, когда $c \le a$. Например, $(5, 10)$ и $(-\infty, 3]$.

Пересечение: $(a, b) \cap (-\infty, c] = \emptyset$.

Объединение: $(-\infty, c] \cup (a, b)$. Это объединение двух непересекающихся множеств.

Случай Б2: Интервал и луч частично пересекаются.

Это происходит, когда $a < c < b$. Например, $(2, 8)$ и $(-\infty, 5]$.

Пересечение: $(a, b) \cap (-\infty, c] = (a, c]$.

Объединение: $(a, b) \cup (-\infty, c] = (-\infty, b)$.

Случай Б3: Интервал полностью содержится в луче.

Это происходит, когда $b \le c$. Например, $(1, 4)$ и $(-\infty, 6]$.

Пересечение: $(a, b) \cap (-\infty, c] = (a, b)$.

Объединение: $(a, b) \cup (-\infty, c] = (-\infty, c]$.

Ответ: Пересечением может быть пустое множество $\emptyset$, интервал, или полуинтервал. Объединением может быть луч, интервал, расширенный до бесконечности в одну сторону, или объединение двух непересекающихся множеств (интервала и луча).

2) числовой отрезок и открытый числовой луч

Пусть числовой отрезок — это $[a, b]$, где $a < b$. Открытый числовой луч может быть двух видов: $(c, +\infty)$ или $(-\infty, c)$. Рассмотрим все возможные случаи их взаимного расположения.

A. Отрезок $[a, b]$ и открытый луч $(c, +\infty)$

Случай A1: Отрезок находится левее луча и не пересекается с ним.

Это происходит, когда $b \le c$. Например, $[1, 3]$ и $(3, +\infty)$.

Пересечение: $[a, b] \cap (c, +\infty) = \emptyset$.

Объединение: $[a, b] \cup (c, +\infty)$.

Случай A2: Отрезок и луч частично пересекаются.

Это происходит, когда $a \le c < b$. Например, $[2, 7]$ и $(5, +\infty)$.

Пересечение: $[a, b] \cap (c, +\infty) = (c, b]$.

Объединение: $[a, b] \cup (c, +\infty) = [a, +\infty)$.

Случай A3: Отрезок полностью содержится в луче.

Это происходит, когда $c < a$. Например, $[3, 5]$ и $(1, +\infty)$.

Пересечение: $[a, b] \cap (c, +\infty) = [a, b]$.

Объединение: $[a, b] \cup (c, +\infty) = (c, +\infty)$.

Б. Отрезок $[a, b]$ и открытый луч $(-\infty, c)$

Случай Б1: Отрезок находится правее луча и не пересекается с ним.

Это происходит, когда $c \le a$. Например, $[5, 10]$ и $(-\infty, 5)$.

Пересечение: $[a, b] \cap (-\infty, c) = \emptyset$.

Объединение: $(-\infty, c) \cup [a, b]$.

Случай Б2: Отрезок и луч частично пересекаются.

Это происходит, когда $a < c \le b$. Например, $[2, 8]$ и $(-\infty, 5)$.

Пересечение: $[a, b] \cap (-\infty, c) = [a, c)$.

Объединение: $[a, b] \cup (-\infty, c) = (-\infty, b]$.

Случай Б3: Отрезок полностью содержится в луче.

Это происходит, когда $b < c$. Например, $[1, 4]$ и $(-\infty, 6)$.

Пересечение: $[a, b] \cap (-\infty, c) = [a, b]$.

Объединение: $[a, b] \cup (-\infty, c) = (-\infty, c)$.

Ответ: Пересечением может быть пустое множество $\emptyset$, отрезок, или полуинтервал. Объединением может быть открытый или замкнутый луч, или объединение двух непересекающихся множеств (отрезка и открытого луча).