номер 976, страница 56, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

976. Укажите равносильные неравенства:

1) $x < 12$ и $x - 5 < 7$;

2) $y \ge -4$ и $x + 7 \ge -11$;

3) $x - 4 > 9$ и $x > 13$;

4) $13 + x \le 10$ и $x \ge -3$.

1) $x < 12$ и $x - 5 < 7$

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Первое неравенство $x < 12$ уже представлено в простейшем виде. Упростим второе неравенство:

$x - 5 < 7$

Для того чтобы выделить $\text{x}$, прибавим 5 к обеим частям неравенства:

$x - 5 + 5 < 7 + 5$

$x < 12$

Второе неравенство приводится к виду $x < 12$, что полностью совпадает с первым неравенством. Следовательно, множества их решений одинаковы, и неравенства являются равносильными.

Ответ: неравенства равносильны.

2) $y \ge -4$ и $x + 7 \ge -11$

Рассмотрим пару неравенств: $y \ge -4$ и $x + 7 \ge -11$. Упростим второе неравенство, решив его относительно переменной $\text{x}$:

$x + 7 \ge -11$

Вычтем 7 из обеих частей неравенства:

$x + 7 - 7 \ge -11 - 7$

$x \ge -18$

В результате мы сравниваем два неравенства: $y \ge -4$ и $x \ge -18$. Поскольку эти неравенства содержат разные переменные ($\text{y}$ и $\text{x}$), их множества решений определены для разных переменных и не могут быть одинаковыми. Следовательно, неравенства не являются равносильными.

Ответ: неравенства не равносильны.

3) $x - 4 > 9$ и $x > 13$

Рассмотрим пару неравенств $x - 4 > 9$ и $x > 13$. Второе неравенство уже в простейшем виде. Упростим первое неравенство:

$x - 4 > 9$

Прибавим 4 к обеим частям неравенства:

$x - 4 + 4 > 9 + 4$

$x > 13$

Первое неравенство приводится к виду $x > 13$, что полностью совпадает со вторым. Следовательно, данные неравенства равносильны.

Ответ: неравенства равносильны.

4) $13 + x \le 10$ и $x \ge -3$

Рассмотрим пару неравенств $13 + x \le 10$ и $x \ge -3$. Второе неравенство уже в простейшем виде. Упростим первое неравенство:

$13 + x \le 10$

Вычтем 13 из обеих частей неравенства:

$13 + x - 13 \le 10 - 13$

$x \le -3$

В результате мы сравниваем два неравенства: $x \le -3$ и $x \ge -3$. Множество решений первого неравенства — это все числа, меньшие или равные -3 (числовой луч $(-\infty; -3]$), а множество решений второго — все числа, большие или равные -3 (числовой луч $[-3; +\infty)$). Эти множества не совпадают. Следовательно, неравенства не являются равносильными.

Ответ: неравенства не равносильны.