номер 981, страница 57, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

При каких значениях $\text{a}$ равносильны неравенства (981—982):

981. 1) $15 + 5x \le x$ и $4x \le a$;

2) $-9y + 27 > 3$ и $3y < a$;

3) $14z + 40 < 41$ и $7z < a$;

4) $63 - 10t \ge 65$ и $5t \le a$.

1)

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Чтобы найти значение $\text{a}$, при котором данные неравенства равносильны, сначала решим первое неравенство относительно переменной $\text{x}$.

Первое неравенство: $15 + 5x \le x$.

Перенесем слагаемые, содержащие $\text{x}$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$5x - x \le -15$

Приведем подобные слагаемые:

$4x \le -15$

Теперь у нас есть два неравенства:

1. $4x \le -15$

2. $4x \le a$

Чтобы эти неравенства были равносильны, их множества решений должны совпадать. Поскольку левые части неравенств одинаковы, их правые части также должны быть равны.

$a = -15$

Ответ: $a = -15$.

2)

Решим первое неравенство: $-9y + 27 > 3$.

Перенесем 27 в правую часть:

$-9y > 3 - 27$

$-9y > -24$

Разделим обе части неравенства на -9. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$y < \frac{-24}{-9}$

$y < \frac{8}{3}$

Теперь рассмотрим второе неравенство: $3y < a$.

Выразим из него $\text{y}$, разделив обе части на 3 (знак неравенства не меняется, так как 3 > 0):

$y < \frac{a}{3}$

Чтобы неравенства $y < \frac{8}{3}$ и $y < \frac{a}{3}$ были равносильны, их правые части должны быть равны:

$\frac{a}{3} = \frac{8}{3}$

Отсюда следует, что $a = 8$.

Ответ: $a = 8$.

3)

Решим первое неравенство: $14z + 40 < 41$.

Перенесем 40 в правую часть:

$14z < 41 - 40$

$14z < 1$

Второе неравенство дано в виде $7z < a$.

Чтобы сравнить эти два неравенства, приведем их к одинаковой левой части. Умножим обе части второго неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не изменится:

$2 \cdot (7z) < 2 \cdot a$

$14z < 2a$

Теперь мы имеем два неравенства: $14z < 1$ и $14z < 2a$. Для их равносильности необходимо, чтобы их правые части были равны:

$1 = 2a$

Найдем $\text{a}$:

$a = \frac{1}{2}$

Ответ: $a = \frac{1}{2}$.

4)

Решим первое неравенство: $63 - 10t \ge 65$.

Перенесем 63 в правую часть:

$-10t \ge 65 - 63$

$-10t \ge 2$

Разделим обе части неравенства на -10. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$t \le \frac{2}{-10}$

$t \le -\frac{1}{5}$

Теперь рассмотрим второе неравенство: $5t \le a$.

Выразим из него $\text{t}$, разделив обе части на 5 (знак неравенства не меняется, так как 5 > 0):

$t \le \frac{a}{5}$

Чтобы неравенства $t \le -\frac{1}{5}$ и $t \le \frac{a}{5}$ были равносильны, их правые части должны быть равны:

$\frac{a}{5} = -\frac{1}{5}$

Отсюда следует, что $a = -1$.

Ответ: $a = -1$.