Номер 1018, страница 76, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1018. Покажите штриховкой на координатной прямой объединение промежутков:

1) $(-6; 0)$ и $(8; 13)$;

2) $[-10; 1]$ и $[-4; 7]$;

3) $(6; +\infty)$ и $(9; +\infty)$;

4) $(-\infty; 3)$ и $(5; +\infty)$.

1)

Требуется найти объединение промежутков $(-6; 0)$ и $(8; 13)$, что записывается как $(-6; 0) \cup (8; 13)$. Объединение двух множеств включает в себя все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

Изобразим эти промежутки на координатной прямой.

Первый промежуток, $(-6; 0)$, представляет собой все числа, которые больше $-6$ и меньше $\text{0}$. На координатной прямой это область между точками $-6$ и $\text{0}$. Так как скобки круглые, точки $-6$ и $\text{0}$ не включаются в промежуток и на прямой отмечаются выколотыми (пустыми) кружками. Заштрихуем область между ними.

Второй промежуток, $(8; 13)$, представляет собой все числа, которые больше $\text{8}$ и меньше $13$. На той же координатной прямой это область между точками $\text{8}$ и $13$. Точки $\text{8}$ и $13$ также не включаются и отмечаются выколотыми кружками. Заштрихуем область между ними.

Объединением этих двух промежутков будет вся заштрихованная область. Поскольку промежутки не пересекаются, их объединение состоит из двух отдельных частей.

Ответ: $(-6; 0) \cup (8; 13)$.

2)

Найдем объединение промежутков $[-10; 1]$ и $[-4; 7]$, то есть $[-10; 1] \cup [-4; 7]$.

Изобразим эти промежутки на координатной прямой.

Первый промежуток, $[-10; 1]$, включает все числа от $-10$ до $\text{1}$ включительно. На координатной прямой отметим точки $-10$ и $\text{1}$ закрашенными кружками (так как скобки квадратные) и заштрихуем область между ними.

Второй промежуток, $[-4; 7]$, включает все числа от $-4$ до $\text{7}$ включительно. На той же прямой отметим точки $-4$ и $\text{7}$ закрашенными кружками и заштрихуем область между ними.

Объединение — это вся область, которая заштрихована хотя бы один раз. Штриховка начинается в точке $-10$ и без разрывов продолжается до точки $\text{7}$. Таким образом, объединенный промежуток начинается с наименьшей границы ($-10$) и заканчивается наибольшей границей ($\text{7}$), включая обе точки.

Ответ: $[-10; 7]$.

3)

Найдем объединение промежутков $(6; +\infty)$ и $(9; +\infty)$, то есть $(6; +\infty) \cup (9; +\infty)$.

Изобразим эти лучи на координатной прямой.

Первый промежуток, $(6; +\infty)$, представляет собой все числа, строго большие $\text{6}$. На прямой отметим точку $\text{6}$ выколотым кружком и заштрихуем всю область справа от нее до плюс бесконечности.

Второй промежуток, $(9; +\infty)$, представляет собой все числа, строго большие $\text{9}$. На той же прямой отметим точку $\text{9}$ выколотым кружком и заштрихуем всю область справа от нее.

Объединение включает все числа, которые принадлежат хотя бы одному из этих промежутков. Так как все числа, которые больше $\text{9}$, автоматически больше $\text{6}$, то второй промежуток $(9; +\infty)$ является подмножеством первого промежутка $(6; +\infty)$. Следовательно, их объединение совпадает с большим промежутком. Штриховка покрывает всю числовую прямую справа от точки $\text{6}$.

Ответ: $(6; +\infty)$.

4)

Найдем объединение промежутков $(-\infty; 3)$ и $(5; +\infty)$, то есть $(-\infty; 3) \cup (5; +\infty)$.

Изобразим эти лучи на координатной прямой.

Первый промежуток, $(-\infty; 3)$, представляет собой все числа, которые меньше $\text{3}$. На прямой отметим точку $\text{3}$ выколотым кружком и заштрихуем всю область слева от нее до минус бесконечности.

Второй промежуток, $(5; +\infty)$, представляет собой все числа, которые больше $\text{5}$. На той же прямой отметим точку $\text{5}$ выколотым кружком и заштрихуем всю область справа от нее до плюс бесконечности.

Объединением будет вся заштрихованная область. Так как промежутки не пересекаются и между ними есть разрыв (числа от $\text{3}$ до $\text{5}$ включительно не входят ни в один из них), их объединение записывается как два отдельных промежутка.

Ответ: $(-\infty; 3) \cup (5; +\infty)$.