Номер 1020, страница 76, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1020. Решите двойные неравенства. Запишите множество их целых решений.

1) $3 \le |x+4| \le 5;$

2) $5 < |x-3| < 8;$

3) $2 < |x-1| \le 5$

1) Решим двойное неравенство $3 \le |x+4| \le 5$.

Данное двойное неравенство эквивалентно системе двух неравенств, которые должны выполняться одновременно:

$\begin{cases} |x+4| \ge 3 \\ |x+4| \le 5 \end{cases}$

Решим первое неравенство $|x+4| \ge 3$. Это неравенство распадается на совокупность двух случаев:

$x+4 \ge 3$ или $x+4 \le -3$

$x \ge 3-4$ или $x \le -3-4$

$x \ge -1$ или $x \le -7$

Решением этого неравенства является объединение промежутков: $x \in (-\infty; -7] \cup [-1; \infty)$.

Решим второе неравенство $|x+4| \le 5$. Оно эквивалентно двойному неравенству:

$-5 \le x+4 \le 5$

Вычтем 4 из всех частей неравенства:

$-5-4 \le x \le 5-4$

$-9 \le x \le 1$

Решением этого неравенства является промежуток $x \in [-9; 1]$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств, то есть пересечение множеств $(-\infty; -7] \cup [-1; \infty)$ и $[-9; 1]$.

Для наглядности можно изобразить это на числовой оси. Пересечение состоит из двух промежутков:

1. Пересечение $[-9; 1]$ и $(-\infty; -7]$ дает промежуток $[-9; -7]$.

2. Пересечение $[-9; 1]$ и $[-1; \infty)$ дает промежуток $[-1; 1]$.

Общее решение исходного неравенства: $x \in [-9; -7] \cup [-1; 1]$.

Теперь запишем множество целых решений.

На промежутке $[-9; -7]$ целыми решениями являются числа: -9, -8, -7.

На промежутке $[-1; 1]$ целыми решениями являются числа: -1, 0, 1.

Объединяем эти числа и получаем множество всех целых решений.

Ответ: $\{-9, -8, -7, -1, 0, 1\}$.

2) Решим двойное неравенство $5 < |x-3| < 8$.

Данное двойное неравенство с модулем равносильно совокупности двух двойных неравенств:

$5 < x-3 < 8$ или $-8 < x-3 < -5$

Решим первое двойное неравенство. Прибавим 3 ко всем его частям:

$5+3 < x < 8+3$

$8 < x < 11$

Решением является интервал $(8; 11)$.

Решим второе двойное неравенство. Прибавим 3 ко всем его частям:

$-8+3 < x < -5+3$

$-5 < x < -2$

Решением является интервал $(-5; -2)$.

Общее решение исходного неравенства — это объединение полученных интервалов: $x \in (-5; -2) \cup (8; 11)$.

Теперь запишем множество целых решений.

На интервале $(-5; -2)$ целыми решениями являются числа: -4, -3.

На интервале $(8; 11)$ целыми решениями являются числа: 9, 10.

Объединяем эти числа и получаем множество всех целых решений.

Ответ: $\{-4, -3, 9, 10\}$.

3) Решим двойное неравенство $2 < |x-1| \le 5$.

Данное двойное неравенство с модулем равносильно совокупности двух двойных неравенств:

$2 < x-1 \le 5$ или $-5 \le x-1 < -2$

Решим первое двойное неравенство. Прибавим 1 ко всем его частям:

$2+1 < x \le 5+1$

$3 < x \le 6$

Решением является полуинтервал $(3; 6]$.

Решим второе двойное неравенство. Прибавим 1 ко всем его частям:

$-5+1 \le x < -2+1$

$-4 \le x < -1$

Решением является полуинтервал $[-4; -1)$.

Общее решение исходного неравенства — это объединение полученных промежутков: $x \in [-4; -1) \cup (3; 6]$.

Теперь запишем множество целых решений.

На полуинтервале $[-4; -1)$ целыми решениями являются числа: -4, -3, -2.

На полуинтервале $(3; 6]$ целыми решениями являются числа: 4, 5, 6.

Объединяем эти числа и получаем множество всех целых решений.

Ответ: $\{-4, -3, -2, 4, 5, 6\}$.