Номер 1017, страница 76, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1017. Решите неравенства:

1) $|9 - x| < 2;$

2) $|x + 7| > 8;$

3) $|10 + x| \le 3;$

4) $|x - 8| \ge 9;$

5) $|x - 5| < 11;$

6) $|6 - x| > 7.$

1)

Исходное неравенство: $|9 - x| < 2$.

Воспользуемся свойством модуля $|a - b| = |b - a|$, поэтому $|9 - x| = |x - 9|$. Неравенство можно переписать в виде: $|x - 9| < 2$.

Неравенство вида $|f(x)| < a$ (где $a > 0$) равносильно двойному неравенству $-a < f(x) < a$. Применяя это правило, получаем:

$-2 < x - 9 < 2$

Чтобы найти $\text{x}$, прибавим 9 ко всем частям двойного неравенства:

$-2 + 9 < x < 2 + 9$

$7 < x < 11$

Решение представляет собой интервал $(7, 11)$.

Ответ: $x \in (7, 11)$.

2)

Исходное неравенство: $|x + 7| > 8$.

Неравенство вида $|f(x)| > a$ (где $a > 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.

Применяя это правило, получаем совокупность:

$x + 7 > 8$ или $x + 7 < -8$.

Решим каждое неравенство отдельно.

Первое неравенство:

$x + 7 > 8$

$x > 8 - 7$

$x > 1$

Второе неравенство:

$x + 7 < -8$

$x < -8 - 7$

$x < -15$

Объединяя решения, получаем, что $\text{x}$ должен быть либо меньше -15, либо больше 1.

Ответ: $x \in (-\infty, -15) \cup (1, \infty)$.

3)

Исходное неравенство: $|10 + x| \le 3$.

Это неравенство можно записать как $|x + 10| \le 3$.

Неравенство вида $|f(x)| \le a$ (где $a > 0$) равносильно двойному неравенству $-a \le f(x) \le a$. В данном случае:

$-3 \le x + 10 \le 3$

Вычтем 10 из всех частей двойного неравенства:

$-3 - 10 \le x \le 3 - 10$

$-13 \le x \le -7$

Решением является отрезок $[-13, -7]$.

Ответ: $x \in [-13, -7]$.

4)

Исходное неравенство: $|x - 8| \ge 9$.

Неравенство вида $|f(x)| \ge a$ (где $a > 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) \ge a$ или $f(x) \le -a$.

Получаем совокупность:

$x - 8 \ge 9$ или $x - 8 \le -9$.

Решим каждое неравенство.

Первое неравенство:

$x - 8 \ge 9$

$x \ge 9 + 8$

$x \ge 17$

Второе неравенство:

$x - 8 \le -9$

$x \le -9 + 8$

$x \le -1$

Объединяя решения, получаем, что $\text{x}$ должен быть либо меньше или равен -1, либо больше или равен 17.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [17, \infty)$.

5)

Исходное неравенство: $|x - 5| < 11$.

Неравенство вида $|f(x)| < a$ (где $a > 0$) равносильно двойному неравенству $-a < f(x) < a$. Применяя это правило, получаем:

$-11 < x - 5 < 11$

Прибавим 5 ко всем частям двойного неравенства:

$-11 + 5 < x < 11 + 5$

$-6 < x < 16$

Решением является интервал $(-6, 16)$.

Ответ: $x \in (-6, 16)$.

6)

Исходное неравенство: $|6 - x| > 7$.

Используя свойство модуля $|a - b| = |b - a|$, перепишем неравенство: $|x - 6| > 7$.

Неравенство вида $|f(x)| > a$ (где $a > 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.

Получаем совокупность:

$x - 6 > 7$ или $x - 6 < -7$.

Решим каждое неравенство.

Первое неравенство:

$x - 6 > 7$

$x > 7 + 6$

$x > 13$

Второе неравенство:

$x - 6 < -7$

$x < -7 + 6$

$x < -1$

Объединяя решения, получаем, что $\text{x}$ должен быть либо меньше -1, либо больше 13.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (13, \infty)$.