Номер 1019, страница 76, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1019. Решите двойные неравенства:

1) $-3 < 1 + 2x < 4;$

2) $1 \le 3 - x \le 5;$

3) $-7 < 2x - 5 \le 1.$

1) Дано двойное неравенство $-3 < 1 + 2x < 4$. Чтобы его решить, необходимо изолировать переменную $\text{x}$ в центральной части. Для этого мы будем выполнять одинаковые операции со всеми тремя частями неравенства.

Сначала вычтем $\text{1}$ из каждой части неравенства, чтобы избавиться от свободного члена в центре:

$-3 - 1 < 1 + 2x - 1 < 4 - 1$

Выполняем вычисления:

$-4 < 2x < 3$

Теперь разделим все три части неравенства на коэффициент при $\text{x}$, то есть на $\text{2}$. Так как $\text{2}$ — положительное число, знаки неравенства остаются без изменений:

$\frac{-4}{2} < \frac{2x}{2} < \frac{3}{2}$

Упрощаем:

$-2 < x < 1.5$

Таким образом, решением является множество всех чисел, которые больше $-2$ и меньше $1.5$.

Ответ: $x \in (-2; 1.5)$

2) Дано двойное неравенство $1 \le 3 - x \le 5$.

Вычтем $\text{3}$ из каждой части неравенства, чтобы в центральной части остался только член с $\text{x}$:

$1 - 3 \le 3 - x - 3 \le 5 - 3$

$-2 \le -x \le 2$

Теперь нам нужно избавиться от знака "минус" перед $\text{x}$. Для этого умножим все части неравенства на $-1$. Важно помнить, что при умножении или делении неравенства на отрицательное число, знаки неравенства меняются на противоположные ( $\le$ на $\ge$ и наоборот):

$(-2) \cdot (-1) \ge (-x) \cdot (-1) \ge 2 \cdot (-1)$

$2 \ge x \ge -2$

Для удобства восприятия запишем это неравенство в стандартном виде, расположив числа в порядке возрастания:

$-2 \le x \le 2$

Решением является числовой отрезок, включающий все числа от $-2$ до $\text{2}$.

Ответ: $x \in [-2; 2]$

3) Дано двойное неравенство $-7 < 2x - 5 \le 1$.

Прибавим $\text{5}$ ко всем трем частям неравенства, чтобы в центральной части осталось только выражение с $\text{x}$:

$-7 + 5 < 2x - 5 + 5 \le 1 + 5$

$-2 < 2x \le 6$

Теперь разделим все части неравенства на $\text{2}$. Так как $\text{2}$ — положительное число, знаки неравенства не меняются:

$\frac{-2}{2} < \frac{2x}{2} \le \frac{6}{2}$

$-1 < x \le 3$

Решением является полуинтервал, который включает все числа больше $-1$ и меньше или равные $\text{3}$.

Ответ: $x \in (-1; 3]$