Номер 548, страница 160, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

548. Ширину прямоугольника увеличили на $25\%$. На сколько процентов надо уменьшить длину прямоугольника, чтобы его площадь не изменилась?

Пусть первоначальная ширина прямоугольника равна $\text{w}$, а первоначальная длина равна $\text{l}$. Тогда его площадь $\text{S}$ вычисляется по формуле:

$S = w \cdot l$

Ширину прямоугольника увеличили на 25%. Это означает, что новая ширина $w_1$ составит 125% от первоначальной:

$w_1 = w + 0.25w = 1.25w$

Пусть новую длину, которую нам нужно найти, мы обозначим как $l_1$. По условию задачи, площадь прямоугольника не должна измениться. Новая площадь $S_1$ равна:

$S_1 = w_1 \cdot l_1 = 1.25w \cdot l_1$

Так как $S_1 = S$, мы можем составить уравнение:

$1.25w \cdot l_1 = w \cdot l$

Разделим обе части уравнения на $\text{w}$ (поскольку ширина не может быть равна нулю):

$1.25 \cdot l_1 = l$

Отсюда выразим новую длину $l_1$ через первоначальную $\text{l}$:

$l_1 = \frac{l}{1.25}$

Для удобства вычислений представим десятичную дробь 1,25 в виде обыкновенной дроби: $1.25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}$.

$l_1 = \frac{l}{\frac{5}{4}} = l \cdot \frac{4}{5} = 0.8l$

Таким образом, новая длина $l_1$ составляет 0,8 от первоначальной длины $\text{l}$. Чтобы найти, на сколько процентов нужно уменьшить длину, найдем разницу между первоначальной и новой длиной и выразим ее в процентах от первоначальной длины.

Уменьшение длины составляет:

$l - l_1 = l - 0.8l = 0.2l$

Теперь найдем, какую часть это составляет от первоначальной длины и переведем в проценты:

$\frac{0.2l}{l} \cdot 100\% = 0.2 \cdot 100\% = 20\%$

Следовательно, длину прямоугольника надо уменьшить на 20%.

Ответ: 20%.