Номер 3, страница 88, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

3. Пересекаются ли две прямые, перпендикулярные третьей?

Ответ на этот вопрос зависит от того, где расположены эти прямые: на одной плоскости (в двумерном пространстве) или в трехмерном пространстве. Рассмотрим оба случая.

На плоскости (планиметрия)

В евклидовой геометрии на плоскости существует теорема: две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.

Пусть даны три прямые a, b и c, лежащие в одной плоскости.

По условию, прямая a перпендикулярна прямой c ($a \perp c$), и прямая b перпендикулярна прямой c ($b \perp c$).

Рассмотрим прямую c как секущую для прямых a и b. Углы, образованные при пересечении прямой c с прямыми a и b, являются прямыми, то есть равны $90^\circ$. Эти углы могут рассматриваться как соответственные. Так как соответственные углы равны, то по признаку параллельности прямых, прямые a и b параллельны ($a \parallel b$).

По определению, параллельные прямые на плоскости не имеют общих точек, то есть не пересекаются (если только они не совпадают, что является вырожденным случаем).

Ответ: На плоскости две различные прямые, перпендикулярные третьей прямой, не пересекаются, так как они параллельны друг другу.

В пространстве (стереометрия)

В трехмерном пространстве ситуация сложнее. Две прямые, перпендикулярные третьей, могут иметь три варианта взаимного расположения.

Пусть даны три прямые a, b и c в пространстве, причем $a \perp c$ и $b \perp c$.

Возможны следующие случаи:

1. Прямые пересекаются. Например, в декартовой системе координат Oxyz возьмем в качестве прямой c ось аппликат (Oz). В качестве прямых a и b возьмем оси абсцисс (Ox) и ординат (Oy) соответственно. Ось Ox перпендикулярна оси Oz, и ось Oy также перпендикулярна оси Oz. При этом оси Ox и Oy пересекаются в начале координат.

2. Прямые параллельны. Этот случай возникает, когда все три прямые (или по крайней мере прямые a и b и их точки пересечения с c) лежат в одной плоскости. Тогда задача сводится к случаю на плоскости, и прямые a и b будут параллельны. Например, пусть c — это вертикальная линия, а a и b — две параллельные горизонтальные линии, каждая из которых пересекает c под прямым углом.

3. Прямые скрещиваются. Скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости, не пересекаются и не параллельны. Возьмем снова в качестве прямой c ось Oz. Пусть прямая a — это ось Ox (она перпендикулярна Oz в точке (0,0,0)). А прямая b пусть проходит через точку (0,0,1) на оси Oz и параллельна оси Oy. Прямая b также перпендикулярна оси Oz. Однако прямые a и b не пересекаются и не параллельны — они скрещиваются.

Таким образом, в пространстве две прямые, перпендикулярные третьей, могут как пересекаться, так и не пересекаться.

Ответ: В пространстве две прямые, перпендикулярные третьей, могут пересекаться, но не обязательно. Они также могут быть параллельны или скрещиваться.