Номер 4, страница 76 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Решаем устно. Параграф 8. Обыкновенные дроби. Глава 3. Дроби - номер 4, страница 76.

Условие.

4. Чему равно наименьшее общее кратное чисел:

1) 6 и 8;

2) 12 и 18;

3) 4 и 14;

4) 8 и 24?

Решение.

Решение 2.

1) 6 и 8;
Наименьшее общее кратное (НОК) — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел без остатка. Чтобы найти НОК для 6 и 8, разложим эти числа на простые множители.
Разложение числа 6: $6 = 2 \cdot 3$.
Разложение числа 8: $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$.
Для нахождения НОК нужно взять все простые множители, входящие в разложения, с наибольшим показателем степени и перемножить их.
В нашем случае это множители $2^3$ (так как степень 3 больше, чем 1) и $3^1$.
$НОК(6, 8) = 2^3 \cdot 3^1 = 8 \cdot 3 = 24$.
Ответ: 24

2) 12 и 18;
Найдем НОК для чисел 12 и 18. Разложим их на простые множители.
Разложение числа 12: $12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^1$.
Разложение числа 18: $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^1 \cdot 3^2$.
Выберем простые множители с наибольшими степенями из обоих разложений: это $2^2$ и $3^2$.
Найдем их произведение: $НОК(12, 18) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.
Ответ: 36

3) 4 и 14;
Найдем НОК для чисел 4 и 14 методом разложения на простые множители.
Разложение числа 4: $4 = 2 \cdot 2 = 2^2$.
Разложение числа 14: $14 = 2^1 \cdot 7^1$.
Выбираем множители в их наибольших степенях: $2^2$ и $7^1$.
Вычисляем НОК: $НОК(4, 14) = 2^2 \cdot 7^1 = 4 \cdot 7 = 28$.
Ответ: 28

4) 8 и 24;
В данном случае можно заметить, что число 24 делится на 8 без остатка ($24 : 8 = 3$). Существует правило: если одно из чисел делится нацело на другое, то наименьшее общее кратное этих чисел равно большему из них.
Следовательно, $НОК(8, 24) = 24$.
Можно также проверить это стандартным методом разложения на множители:
Разложение числа 8: $8 = 2^3$.
Разложение числа 24: $24 = 3 \cdot 8 = 2^3 \cdot 3^1$.
$НОК(8, 24) = 2^3 \cdot 3^1 = 8 \cdot 3 = 24$.
Ответ: 24