Страница 76 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Чему равен наибольший общий делитель чисел:

1) 12 и 16;

2) 15 и 30;

3) 24 и 56;

4) 39 и 65?

Наибольший общий делитель (НОД) — это самое большое натуральное число, на которое оба числа делятся без остатка. Чтобы найти НОД, можно разложить оба числа на простые множители, а затем найти произведение их общих множителей.

4. Чему равно наименьшее общее кратное чисел:

1) 6 и 8;

2) 12 и 18;

3) 4 и 14;

4) 8 и 24?

1) 6 и 8;
Наименьшее общее кратное (НОК) — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел без остатка. Чтобы найти НОК для 6 и 8, разложим эти числа на простые множители.
Разложение числа 6: $6 = 2 \cdot 3$.
Разложение числа 8: $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$.
Для нахождения НОК нужно взять все простые множители, входящие в разложения, с наибольшим показателем степени и перемножить их.
В нашем случае это множители $2^3$ (так как степень 3 больше, чем 1) и $3^1$.
$НОК(6, 8) = 2^3 \cdot 3^1 = 8 \cdot 3 = 24$.
Ответ: 24

2) 12 и 18;
Найдем НОК для чисел 12 и 18. Разложим их на простые множители.
Разложение числа 12: $12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^1$.
Разложение числа 18: $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^1 \cdot 3^2$.
Выберем простые множители с наибольшими степенями из обоих разложений: это $2^2$ и $3^2$.
Найдем их произведение: $НОК(12, 18) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.
Ответ: 36

3) 4 и 14;
Найдем НОК для чисел 4 и 14 методом разложения на простые множители.
Разложение числа 4: $4 = 2 \cdot 2 = 2^2$.
Разложение числа 14: $14 = 2^1 \cdot 7^1$.
Выбираем множители в их наибольших степенях: $2^2$ и $7^1$.
Вычисляем НОК: $НОК(4, 14) = 2^2 \cdot 7^1 = 4 \cdot 7 = 28$.
Ответ: 28

4) 8 и 24;
В данном случае можно заметить, что число 24 делится на 8 без остатка ($24 : 8 = 3$). Существует правило: если одно из чисел делится нацело на другое, то наименьшее общее кратное этих чисел равно большему из них.
Следовательно, $НОК(8, 24) = 24$.
Можно также проверить это стандартным методом разложения на множители:
Разложение числа 8: $8 = 2^3$.
Разложение числа 24: $24 = 3 \cdot 8 = 2^3 \cdot 3^1$.
$НОК(8, 24) = 2^3 \cdot 3^1 = 8 \cdot 3 = 24$.
Ответ: 24

5. В двух блюдах лежало поровну слив. Из первого блюда переложили во второе 6 слив. На сколько больше слив стало во втором блюде, чем в первом?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это первоначальное количество слив на каждом из двух блюд.

Когда из первого блюда переложили 6 слив, на нем осталось $x - 6$ слив.

Эти 6 слив добавили во второе блюдо, и на нем стало $x + 6$ слив.

Теперь, чтобы найти, на сколько больше слив стало во втором блюде, чем в первом, необходимо найти разность между количеством слив на втором и первом блюдах:
$(x + 6) - (x - 6)$

Раскроем скобки и выполним вычисление:
$x + 6 - x + 6 = 12$

Таким образом, разница в количестве слив не зависит от того, сколько их было изначально. Первое блюдо стало беднее на 6 слив, а второе богаче на 6 слив, поэтому общая разница между ними составила $6 + 6 = 12$ слив.

Ответ: на 12 слив.

6. Сначала книга подешевела на 24 р., а потом подорожала на 16 р. Как изменилась, увеличилась или уменьшилась, цена книги по сравнению с начальной ценой и на сколько рублей?

Для того чтобы определить итоговое изменение цены, необходимо последовательно учесть все изменения.

1. Сначала книга подешевела на 24 рубля. Это можно рассматривать как изменение цены на $-24$ рубля.

2. Затем книга подорожала на 16 рублей. Это изменение цены на $+16$ рублей.

Чтобы найти общее изменение, сложим эти два значения:

$-24 + 16 = -8$ рублей.

Полученное отрицательное число означает, что итоговая цена книги уменьшилась по сравнению с начальной. Величина изменения равна 8 рублям.

Ответ: цена книги уменьшилась на 8 рублей.

310. Прочитайте дроби: $\frac{1}{6}$, $\frac{4}{11}$, $\frac{9}{17}$, $\frac{12}{29}$. Назовите числитель и знаменатель каждой дроби.

Дробь $\frac{1}{6}$: читается как «одна шестая». Числитель дроби (число, которое стоит над чертой) равен 1. Знаменатель дроби (число, которое стоит под чертой) равен 6. Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделено целое, а числитель — сколько таких частей взято.
Ответ: числитель 1, знаменатель 6.

Дробь $\frac{4}{11}$: читается как «четыре одиннадцатых». У этой дроби числитель равен 4, а знаменатель равен 11.
Ответ: числитель 4, знаменатель 11.

Дробь $\frac{9}{17}$: читается как «девять семнадцатых». У этой дроби числитель равен 9, а знаменатель равен 17.
Ответ: числитель 9, знаменатель 17.

Дробь $\frac{12}{29}$: читается как «двенадцать двадцать девятых». У этой дроби числитель равен 12, а знаменатель равен 29.
Ответ: числитель 12, знаменатель 29.

311. Запишите в виде дроби число:

1) четыре девятых; $ \frac{4}{9} $

2) восемь тринадцатых; $ \frac{8}{13} $

3) тридцать пять сорок четвёртых; $ \frac{35}{44} $

4) шестнадцать семьдесят первых; $ \frac{16}{71} $

5) девяносто две сто двадцать третьих. $ \frac{92}{123} $

Чтобы записать число, данное в словесной форме, в виде дроби, необходимо определить числитель и знаменатель. Числитель — это число, которое показывает, сколько долей взято, а знаменатель — на сколько долей разделено целое.

1) четыре девятых;

В выражении "четыре девятых" число "четыре" (4) является числителем, а "девятых" (9) — знаменателем. Это означает, что мы взяли 4 части из 9 равных частей целого.

Записываем в виде дроби:

Ответ: $ \frac{4}{9} $

2) восемь тринадцатых;

В выражении "восемь тринадцатых" число "восемь" (8) является числителем, а "тринадцатых" (13) — знаменателем. Это означает, что мы взяли 8 частей из 13 равных частей целого.

Записываем в виде дроби:

Ответ: $ \frac{8}{13} $

3) тридцать пять сорок четвёртых;

В выражении "тридцать пять сорок четвёртых" число "тридцать пять" (35) является числителем, а "сорок четвёртых" (44) — знаменателем.

Записываем в виде дроби:

Ответ: $ \frac{35}{44} $

4) шестнадцать семьдесят первых;

В выражении "шестнадцать семьдесят первых" число "шестнадцать" (16) является числителем, а "семьдесят первых" (71) — знаменателем.

Записываем в виде дроби:

Ответ: $ \frac{16}{71} $

5) девяносто две сто двадцать третьих.

В выражении "девяносто две сто двадцать третьих" число "девяносто две" (92) является числителем, а "сто двадцать третьих" (123) — знаменателем.

Записываем в виде дроби:

Ответ: $ \frac{92}{123} $

312. Выразите в минутах: $7 \text{ с}$; $23 \text{ с}$.

Для того чтобы выразить секунды (с) в минутах (мин), необходимо использовать соотношение, что в одной минуте 60 секунд.
$1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$
Из этого следует, что 1 секунда равна $\frac{1}{60}$ минуты. Чтобы перевести секунды в минуты, нужно количество секунд разделить на 60.

7 с
Чтобы выразить 7 секунд в минутах, нужно 7 разделить на 60. Получим дробь.
$7 \text{ с} = \frac{7}{60} \text{ мин}$
Ответ: $\frac{7}{60}$ мин

23 с
Аналогично, чтобы выразить 23 секунды в минутах, нужно 23 разделить на 60.
$23 \text{ с} = \frac{23}{60} \text{ мин}$
Ответ: $\frac{23}{60}$ мин

313. Выразите в часах: 19 мин; 53 с.

Чтобы выразить заданные величины в часах, необходимо знать следующие соотношения единиц времени:

• $1 \text{ час} = 60 \text{ минут}$
• $1 \text{ минута} = 60 \text{ секунд}$
• $1 \text{ час} = 60 \times 60 = 3600 \text{ секунд}$

Исходя из этого, решим каждую подзадачу.

19 мин

Чтобы перевести минуты в часы, нужно количество минут разделить на 60, так как в одном часе 60 минут.
$19 \text{ мин} = \frac{19}{60} \text{ ч}$
Дробь $\frac{19}{60}$ является несократимой, так как число 19 — простое, а 60 на 19 не делится.
Ответ: $\frac{19}{60}$ ч.

53 с

Чтобы перевести секунды в часы, нужно количество секунд разделить на 3600, так как в одном часе 3600 секунд ($60 \text{ минут} \times 60 \text{ секунд}$).
$53 \text{ с} = \frac{53}{3600} \text{ ч}$
Дробь $\frac{53}{3600}$ является несократимой, так как число 53 — простое, а 3600 на 53 не делится.
Ответ: $\frac{53}{3600}$ ч.

314. На клумбе растут 38 роз, из них 15 роз белого цвета. Какую часть всех роз составляют белые?

Чтобы найти, какую часть от общего количества роз составляют белые, необходимо количество белых роз (часть) разделить на общее количество роз (целое). Это отношение записывается в виде дроби.

Общее количество роз на клумбе — 38.

Количество белых роз — 15.

Составим дробь, где в числителе будет количество белых роз, а в знаменателе — общее количество роз:$ \frac{15}{38} $.

Эта дробь является несократимой, так как числа 15 и 38 не имеют общих делителей, кроме 1.

Таким образом, белые розы составляют $ \frac{15}{38} $ всех роз.

Ответ: $ \frac{15}{38} $

315. Труба наполняет пустой бассейн водой за 7 ч. Какая часть бассейна будет наполнена водой через 4 ч после открытия трубы?

Примем весь объем бассейна, который нужно наполнить, за 1 (единицу).

Из условия известно, что труба наполняет весь бассейн за 7 часов. Чтобы найти, какую часть бассейна труба наполняет за 1 час, необходимо разделить весь объем (1) на общее время (7 часов). Эта величина называется производительностью.
$1 \div 7 = \frac{1}{7}$
Таким образом, производительность трубы составляет $\frac{1}{7}$ часть бассейна в час.

Теперь найдем, какая часть бассейна будет наполнена за 4 часа. для этого умножим производительность трубы на время ее работы:
$\frac{1}{7} \times 4 = \frac{4}{7}$

Следовательно, через 4 часа после открытия трубы будет наполнена $\frac{4}{7}$ часть бассейна.

Ответ: $\frac{4}{7}$

316. Назовите все правильные дроби со знаменателем 7.

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. И числитель, и знаменатель должны быть натуральными числами (целыми положительными числами).

В данной задаче нам дан знаменатель, равный 7. Чтобы дробь вида $\frac{a}{7}$ была правильной, ее числитель $a$ должен быть натуральным числом и удовлетворять условию $a < 7$.

Натуральными числами, которые меньше 7, являются: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Подставив каждое из этих чисел в числитель, мы получим все правильные дроби со знаменателем 7:

$\frac{1}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}$.

Ответ: $\frac{1}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}$.

317. Запишите все правильные дроби со знаменателем 9.

Правильная дробь — это такая дробь, у которой числитель меньше знаменателя. При этом числитель и знаменатель должны быть натуральными числами (целыми положительными числами).

В условии задачи указан знаменатель, равный 9. Чтобы дробь была правильной, её числитель должен быть натуральным числом, которое строго меньше 9.

Перечислим все натуральные числа, которые меньше 9:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Теперь запишем все правильные дроби с этими числителями и знаменателем 9.

Ответ: $\frac{1}{9}, \frac{2}{9}, \frac{3}{9}, \frac{4}{9}, \frac{5}{9}, \frac{6}{9}, \frac{7}{9}, \frac{8}{9}$.

318. Назовите все неправильные дроби с числителем 7.

Неправильная дробь — это такая обыкновенная дробь $ \frac{a}{b} $, у которой числитель $ a $ больше или равен знаменателю $ b $. Математически это записывается как $ a \ge b $. Также по определению дроби, её знаменатель $ b $ должен быть натуральным числом, то есть $ b \in \{1, 2, 3, ...\} $.

По условию задачи, числитель дроби $ a = 7 $. Нам нужно найти все возможные знаменатели $ b $, для которых дробь $ \frac{7}{b} $ будет неправильной.

Для этого знаменатель $ b $ должен удовлетворять двум условиям:
1. Он должен быть натуральным числом.
2. Он должен быть меньше или равен числителю, то есть $ b \le 7 $.

Выпишем все натуральные числа, которые удовлетворяют условию $ b \le 7 $. Это числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Теперь, подставив каждое из этих чисел в знаменатель дроби с числителем 7, мы получим все искомые неправильные дроби.

Ответ: $ \frac{7}{1}, \frac{7}{2}, \frac{7}{3}, \frac{7}{4}, \frac{7}{5}, \frac{7}{6}, \frac{7}{7} $.

319. Запишите все неправильные дроби с числителем 9.

Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю.

В нашем случае числитель равен 9. Чтобы дробь вида $\frac{9}{b}$ была неправильной, её знаменатель $b$ должен быть натуральным числом и удовлетворять условию $b \le 9$.

Таким образом, знаменатель $b$ может принимать следующие значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Перечислим все дроби, которые соответствуют этому условию:

$\frac{9}{1}, \frac{9}{2}, \frac{9}{3}, \frac{9}{4}, \frac{9}{5}, \frac{9}{6}, \frac{9}{7}, \frac{9}{8}, \frac{9}{9}$.

Ответ: $\frac{9}{1}, \frac{9}{2}, \frac{9}{3}, \frac{9}{4}, \frac{9}{5}, \frac{9}{6}, \frac{9}{7}, \frac{9}{8}, \frac{9}{9}$.

320. Преобразуйте неправильную дробь в смешанную дробь:

1) $\frac{7}{4}$;

2) $\frac{18}{11}$;

3) $\frac{45}{7}$;

4) $\frac{96}{23}$;

5) $\frac{100}{17}$.

Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанную, необходимо разделить числитель на знаменатель с остатком. Неполное частное от деления будет целой частью смешанной дроби, остаток — числителем дробной части, а знаменатель останется прежним.

1) Преобразуем дробь $\frac{7}{4}$.
Делим числитель 7 на знаменатель 4:
$7 \div 4 = 1$ (остаток 3).
Целая часть равна 1, числитель дробной части равен 3, знаменатель остается 4.
Таким образом, $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$.
Ответ: $1\frac{3}{4}$.

2) Преобразуем дробь $\frac{18}{11}$.
Делим числитель 18 на знаменатель 11:
$18 \div 11 = 1$ (остаток 7).
Целая часть равна 1, числитель дробной части равен 7, знаменатель остается 11.
Таким образом, $\frac{18}{11} = 1\frac{7}{11}$.
Ответ: $1\frac{7}{11}$.

3) Преобразуем дробь $\frac{45}{7}$.
Делим числитель 45 на знаменатель 7:
$45 \div 7 = 6$ (остаток 3), так как $6 \times 7 = 42$, а $45 - 42 = 3$.
Целая часть равна 6, числитель дробной части равен 3, знаменатель остается 7.
Таким образом, $\frac{45}{7} = 6\frac{3}{7}$.
Ответ: $6\frac{3}{7}$.

4) Преобразуем дробь $\frac{96}{23}$.
Делим числитель 96 на знаменатель 23:
$96 \div 23 = 4$ (остаток 4), так как $4 \times 23 = 92$, а $96 - 92 = 4$.
Целая часть равна 4, числитель дробной части равен 4, знаменатель остается 23.
Таким образом, $\frac{96}{23} = 4\frac{4}{23}$.
Ответ: $4\frac{4}{23}$.

5) Преобразуем дробь $\frac{100}{17}$.
Делим числитель 100 на знаменатель 17:
$100 \div 17 = 5$ (остаток 15), так как $5 \times 17 = 85$, а $100 - 85 = 15$.
Целая часть равна 5, числитель дробной части равен 15, знаменатель остается 17.
Таким образом, $\frac{100}{17} = 5\frac{15}{17}$.
Ответ: $5\frac{15}{17}$.

321. Запишите частное в виде дроби и преобразуйте результат в смешанную дробь:

1) $10 : 3$;

2) $20 : 13$;

3) $72 : 19$;

4) $423 : 50$.

1) Запишем частное $10 : 3$ в виде дроби. Делимое 10 становится числителем, а делитель 3 – знаменателем. Получается неправильная дробь:
$10 : 3 = \frac{10}{3}$.
Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанную, нужно выделить целую часть. Для этого разделим числитель на знаменатель с остатком:
$10 \div 3 = 3$ (остаток $1$).
Неполное частное (3) становится целой частью смешанной дроби, остаток (1) – числителем дробной части, а знаменатель (3) остается без изменений.
$\frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$.
Ответ: $3\frac{1}{3}$.

2) Запишем частное $20 : 13$ в виде дроби:
$20 : 13 = \frac{20}{13}$.
Теперь преобразуем эту неправильную дробь в смешанную. Разделим числитель 20 на знаменатель 13 с остатком:
$20 \div 13 = 1$ (остаток $7$).
Целая часть равна 1, числитель дробной части – 7, а знаменатель – 13.
$\frac{20}{13} = 1\frac{7}{13}$.
Ответ: $1\frac{7}{13}$.

3) Запишем частное $72 : 19$ в виде дроби:
$72 : 19 = \frac{72}{19}$.
Преобразуем дробь в смешанную, разделив числитель 72 на знаменатель 19 с остатком:
$72 \div 19 = 3$ (остаток $15$), поскольку $3 \times 19 = 57$ и $72 - 57 = 15$.
Целая часть равна 3, числитель дробной части – 15, а знаменатель – 19.
$\frac{72}{19} = 3\frac{15}{19}$.
Ответ: $3\frac{15}{19}$.

4) Запишем частное $423 : 50$ в виде дроби:
$423 : 50 = \frac{423}{50}$.
Преобразуем дробь в смешанную, разделив числитель 423 на знаменатель 50 с остатком:
$423 \div 50 = 8$ (остаток $23$), поскольку $8 \times 50 = 400$ и $423 - 400 = 23$.
Целая часть равна 8, числитель дробной части – 23, а знаменатель – 50.
$\frac{423}{50} = 8\frac{23}{50}$.
Ответ: $8\frac{23}{50}$.

322. Запишите смешанную дробь в виде неправильной дроби:

1) $1 \frac{14}{23};$

2) $2 \frac{5}{8};$

3) $6 \frac{2}{9};$

4) $3 \frac{3}{20};$

5) $4 \frac{6}{13}.$

Чтобы представить смешанную дробь в виде неправильной, необходимо целую часть дроби умножить на её знаменатель и к полученному произведению прибавить числитель. Результат этого действия будет числителем новой, неправильной дроби, а знаменатель останется прежним. В общем виде это правило можно записать формулой: $A\frac{b}{c} = \frac{A \cdot c + b}{c}$.

1)

Для дроби $1\frac{14}{23}$ выполним преобразование:

$1\frac{14}{23} = \frac{1 \cdot 23 + 14}{23} = \frac{23 + 14}{23} = \frac{37}{23}$.

Ответ: $\frac{37}{23}$.

2)

Для дроби $2\frac{5}{8}$ выполним преобразование:

$2\frac{5}{8} = \frac{2 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{16 + 5}{8} = \frac{21}{8}$.

Ответ: $\frac{21}{8}$.

3)

Для дроби $6\frac{2}{9}$ выполним преобразование:

$6\frac{2}{9} = \frac{6 \cdot 9 + 2}{9} = \frac{54 + 2}{9} = \frac{56}{9}$.

Ответ: $\frac{56}{9}$.

4)

Для дроби $3\frac{3}{20}$ выполним преобразование:

$3\frac{3}{20} = \frac{3 \cdot 20 + 3}{20} = \frac{60 + 3}{20} = \frac{63}{20}$.

Ответ: $\frac{63}{20}$.

5)

Для дроби $4\frac{6}{13}$ выполним преобразование:

$4\frac{6}{13} = \frac{4 \cdot 13 + 6}{13} = \frac{52 + 6}{13} = \frac{58}{13}$.

Ответ: $\frac{58}{13}$.