Страница 71 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

4. Сколько четырёхугольников изображено на рисунке 97?

А) 2 Б) 6 В) 4 Г) 8

Рис. 97

Для того чтобы подсчитать количество четырёхугольников на рисунке, будем систематически находить все возможные фигуры, состоящие из четырех сторон. Для удобства мысленно пронумеруем вершины шестиугольника, начиная с левой верхней и двигаясь по часовой стрелке от 1 до 6. Пусть диагонали соединяют вершины (2) и (5), а также (3) и (6). Точку их пересечения обозначим G.

Можно выделить две группы четырёхугольников:

1. Малые четырёхугольники, которые образуются при пересечении диагоналей. Таких четырёхугольников два:

• Четырёхугольник в левой верхней части фигуры, образованный вершинами (1), (2), G и (6).
• Четырёхугольник в правой нижней части фигуры, образованный вершинами (3), (4), (5) и G.

2. Большие четырёхугольники, сторонами которых являются стороны исходного шестиугольника и целые диагонали. Таких четырёхугольников четыре:

• Верхний четырёхугольник, образованный вершинами (1), (2), (3) и (6). Его стороны — (1)-(2), (2)-(3), (3)-(6) и (6)-(1).
• Правый четырёхугольник, образованный вершинами (2), (3), (4) и (5). Его стороны — (2)-(3), (3)-(4), (4)-(5) и (5)-(2).
• Нижний четырёхугольник, образованный вершинами (3), (4), (5) и (6). Его стороны — (3)-(4), (4)-(5), (5)-(6) и (6)-(3).
• Левый четырёхугольник, образованный вершинами (1), (2), (5) и (6). Его стороны — (1)-(2), (2)-(5), (5)-(6) и (6)-(1).

Сложим количество четырёхугольников из обеих групп: $2 + 4 = 6$.
Таким образом, на рисунке изображено 6 четырёхугольников. Этот вариант соответствует ответу Б).

Ответ: Б) 6

5. Периметр равнобедренного треугольника равен 32 см, а его основание – 12 см. Найдите боковую сторону треугольника.

А) 8 см

Б) 20 см

В) 10 см

Г) 4 см

Периметр равнобедренного треугольника вычисляется как сумма длин всех его сторон. У равнобедренного треугольника две боковые стороны равны. Обозначим длину боковой стороны как $a$, а длину основания как $b$. Тогда формула для периметра $P$ будет выглядеть так: $P = a + a + b = 2a + b$.

Из условия задачи нам известно:
Периметр $P = 32$ см.
Основание $b = 12$ см.

Подставим эти значения в формулу периметра, чтобы найти длину боковой стороны $a$:
$32 = 2a + 12$

Сначала найдем сумму длин двух равных боковых сторон. для этого вычтем из периметра длину основания:
$2a = 32 - 12$
$2a = 20$ см

Теперь, чтобы найти длину одной боковой стороны, разделим полученную сумму на 2:
$a = \frac{20}{2}$
$a = 10$ см

Таким образом, длина боковой стороны треугольника составляет 10 см. Это соответствует варианту В).
Ответ: 10 см

6. Площадь поля, имеющего форму прямоугольника, равна 48 га.

Найдите длину поля, если его ширина равна 400 м.

А) 12 м

В) 1200 м

Б) 120 м

Г) 12 000 м

Рис. 98

Для решения задачи необходимо найти длину прямоугольного поля, зная его площадь и ширину. Сначала приведем все единицы измерения к единой системе. Площадь дана в гектарах (га), а ширина — в метрах (м). Переведем площадь из гектаров в квадратные метры ($м^2$).

Известно, что 1 гектар равен 10 000 квадратных метров:

$1 \text{ га} = 10 \: 000 \text{ м}^2$

Следовательно, площадь поля в квадратных метрах равна:

$S = 48 \text{ га} = 48 \times 10 \: 000 \text{ м}^2 = 480 \: 000 \text{ м}^2$

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле:

$S = a \times b$, где $S$ — площадь, $a$ — длина, $b$ — ширина.

В нашем случае известны площадь $S = 480 \: 000 \text{ м}^2$ и ширина $b = 400 \text{ м}$. Чтобы найти длину $a$, нужно площадь разделить на ширину:

$a = \frac{S}{b}$

Подставим известные значения в формулу:

$a = \frac{480 \: 000 \text{ м}^2}{400 \text{ м}} = 1200 \text{ м}$

Таким образом, длина поля равна 1200 м. Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту В).

Ответ: В) 1200 м

7. На рисунке 98 изображён план земельного участка, площадь которого равна $800 м^2$. Чему равна площадь сада?

А) $200 м^2$

В) $400 м^2$

Б) $160 м^2$

Г) $20 м^2$

Рис. 98

Пруд

Сад

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить общее количество клеток на плане.

План земельного участка представляет собой прямоугольную сетку. Посчитаем количество клеток по горизонтали и вертикали. Ширина участка составляет 10 клеток, а высота — 8 клеток. Чтобы найти общее количество клеток, перемножим эти значения:

$10 \times 8 = 80$ клеток.

2. Вычислить площадь одной клетки.

По условию, общая площадь всего земельного участка равна 800 м². Зная общее количество клеток (80), мы можем найти, какая площадь приходится на одну клетку, разделив общую площадь на количество клеток:

$S_{\text{клетки}} = \frac{800 \text{ м}^2}{80 \text{ клеток}} = 10 \text{ м}^2$.

Таким образом, площадь одной клетки на плане составляет 10 м².

3. Посчитать количество клеток, занимаемых садом.

Сад на плане обозначен зелёным цветом. Посчитаем количество зелёных клеток по рядам, начиная снизу:

- Нижний ряд: 6 клеток.
- Средний ряд: 4 клетки.
- Верхний ряд: 2 клетки.

Теперь сложим количество клеток во всех рядах, чтобы найти общую площадь сада в клетках:

$6 + 4 + 2 = 12$ клеток.

4. Найти площадь сада в квадратных метрах.

Чтобы найти реальную площадь сада, нужно умножить количество клеток, которые он занимает, на площадь одной клетки:

$S_{\text{сада}} = 12 \text{ клеток} \times 10 \frac{\text{м}^2}{\text{клетка}} = 120 \text{ м}^2$.

Полученный результат (120 м²) не соответствует ни одному из предложенных вариантов ответа. Вероятно, в условии задачи или в вариантах ответа есть опечатка. Однако, на основе предоставленных данных, верный расчёт приводит к значению 120 м².

Ответ: 120 м².

8. На каком из рисунков отрезок $AB$ является диаметром окружности с центром $O$ (рис. 99)?

Рис. 99

А) Б) В) Г)

Диаметром окружности называется отрезок, который соединяет две точки на окружности и проходит через её центр. Чтобы определить, на каком из рисунков отрезок AB является диаметром, необходимо проверить выполнение этих двух условий для каждого случая.

А) На данном рисунке отрезок AB соединяет две точки на окружности, то есть является её хордой. Однако он не проходит через центр окружности O. Следовательно, AB не является диаметром.

Б) На этом рисунке прямая, на которой лежит отрезок AB, проходит через центр O, но концы отрезка (точки A и B) находятся за пределами окружности. Следовательно, отрезок AB не является диаметром.

В) Здесь, как и в случае А, отрезок AB является хордой, так как его концы лежат на окружности, но он не проходит через центр O. Следовательно, AB не является диаметром.

Г) На этом рисунке отрезок AB соединяет две точки на окружности, и при этом он проходит через её центр O. Оба условия для диаметра выполняются.

Таким образом, отрезок AB является диаметром окружности только на рисунке Г.

Ответ: Г