Страница 68 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

293. Фигура, изображённая на рисунке 86, составлена из кубов с ребром 1 см. Найдите объём фигуры.

Рис. 86

Для того чтобы найти объём фигуры, необходимо посчитать общее количество кубов, из которых она состоит, и умножить это число на объём одного куба.

По условию, фигура составлена из кубов с ребром 1 см. Объём одного такого куба ($V_{куба}$) вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ — длина ребра:
$V_{куба} = 1^3 = 1 \text{ см}^3$.

Далее, посчитаем общее количество кубов в фигуре, суммируя их по слоям, начиная с самого нижнего:
- Первый (нижний) слой состоит из 12 кубов.
- Второй слой состоит из 6 кубов.
- Третий слой состоит из 2 кубов.
- Четвёртый (верхний) слой состоит из 1 куба.
Общее количество кубов ($N$) в фигуре равно сумме кубов во всех слоях:
$N = 12 + 6 + 2 + 1 = 21$ куб.

Теперь можно найти объём всей фигуры ($V_{фигуры}$), умножив общее количество кубов на объём одного куба:
$V_{фигуры} = N \times V_{куба} = 21 \times 1 \text{ см}^3 = 21 \text{ см}^3$.

Ответ: 21 см³.

294. Выразите:

1) в кубических миллиметрах:

38 $cm^3$;

42 $cm^3$ 68 $mm^3$;

2) в кубических дециметрах:

264 $m^3$;

14 000 $cm^3$.

1) Чтобы выразить величины в кубических миллиметрах (мм³), воспользуемся соотношением: так как $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$, то $1 \text{ см}^3 = (10 \text{ мм})^3 = 1000 \text{ мм}^3$.

$38 \text{ см}^3$
Чтобы перевести кубические сантиметры в кубические миллиметры, умножаем значение на 1000:
$38 \text{ см}^3 = 38 \times 1000 \text{ мм}^3 = 38\;000 \text{ мм}^3$.
Ответ: $38\;000 \text{ мм}^3$.

$42 \text{ см}^3\;68 \text{ мм}^3$
Сначала переводим кубические сантиметры в кубические миллиметры и прибавляем оставшиеся миллиметры:
$42 \text{ см}^3 = 42 \times 1000 \text{ мм}^3 = 42\;000 \text{ мм}^3$.
$42\;000 \text{ мм}^3 + 68 \text{ мм}^3 = 42\;068 \text{ мм}^3$.
Ответ: $42\;068 \text{ мм}^3$.

2) Для выражения величин в кубических дециметрах (дм³) используются следующие соотношения. Поскольку $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$, то $1 \text{ м}^3 = (10 \text{ дм})^3 = 1000 \text{ дм}^3$. Поскольку $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$, то $1 \text{ дм}^3 = (10 \text{ см})^3 = 1000 \text{ см}^3$, что означает $1 \text{ см}^3 = \frac{1}{1000} \text{ дм}^3$.

$264 \text{ м}^3$
Чтобы перевести кубические метры в кубические дециметры, умножаем значение на 1000:
$264 \text{ м}^3 = 264 \times 1000 \text{ дм}^3 = 264\;000 \text{ дм}^3$.
Ответ: $264\;000 \text{ дм}^3$.

$14\;000 \text{ см}^3$
Чтобы перевести кубические сантиметры в кубические дециметры, делим значение на 1000:
$14\;000 \text{ см}^3 = \frac{14\;000}{1000} \text{ дм}^3 = 14 \text{ дм}^3$.
Ответ: $14 \text{ дм}^3$.

295. Выразите в кубических сантиметрах:

$8 \text{ дм}^3$; $378 000 \text{ мм}^3$; $8 \text{ м}^3 4 \text{ дм}^3 6 \text{ см}^3$.

8 дм³

Для перевода кубических дециметров (дм³) в кубические сантиметры (см³) необходимо знать соотношение между этими единицами. В одном дециметре 10 сантиметров: $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.
Для объемных единиц это соотношение будет в кубе: $1 \text{ дм}^3 = (10 \text{ см})^3 = 10 \times 10 \times 10 \text{ см}^3 = 1000 \text{ см}^3$.
Теперь умножим данное значение на 1000, чтобы перевести его в см³:
$8 \text{ дм}^3 = 8 \times 1000 \text{ см}^3 = 8000 \text{ см}^3$.
Ответ: $8000 \text{ см}^3$.

378 000 мм³

Для перевода кубических миллиметров (мм³) в кубические сантиметры (см³) воспользуемся соотношением: $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
Возведя обе части в куб, получаем: $1 \text{ см}^3 = (10 \text{ мм})^3 = 1000 \text{ мм}^3$.
Следовательно, чтобы перевести мм³ в см³, нужно разделить значение на 1000:
$378 000 \text{ мм}^3 = \frac{378 000}{1000} \text{ см}^3 = 378 \text{ см}^3$.
Ответ: $378 \text{ см}^3$.

8 м³ 4 дм³ 6 см³

В этом случае необходимо перевести каждую часть величины в кубические сантиметры, а затем сложить полученные значения.
1. Перевод кубических метров (м³) в кубические сантиметры (см³):
Так как $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$, то $1 \text{ м}^3 = (100 \text{ см})^3 = 1 000 000 \text{ см}^3$.
$8 \text{ м}^3 = 8 \times 1 000 000 \text{ см}^3 = 8 000 000 \text{ см}^3$.
2. Перевод кубических дециметров (дм³) в кубические сантиметры (см³):
Так как $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$, то $1 \text{ дм}^3 = (10 \text{ см})^3 = 1000 \text{ см}^3$.
$4 \text{ дм}^3 = 4 \times 1000 \text{ см}^3 = 4000 \text{ см}^3$.
3. Значение 6 см³ уже дано в нужных единицах.
4. Складываем все полученные значения:
$8 000 000 \text{ см}^3 + 4000 \text{ см}^3 + 6 \text{ см}^3 = 8 004 006 \text{ см}^3$.
Ответ: $8 004 006 \text{ см}^3$.

296. Вычислите площадь поверхности и объём прямоугольного параллелепипеда, развёртка которого изображена на рисунке 87.

Рис. 87

3 см

8 см

2 см

Для нахождения площади поверхности и объёма прямоугольного параллелепипеда необходимо сначала определить его три измерения: длину ($a$), ширину ($b$) и высоту ($h$).

Из развёртки, показанной на рисунке, видно, что одна из граней (основание) имеет размеры 8 см и 3 см. Боковые грани имеют высоту 2 см. Таким образом, измерения параллелепипеда следующие:

Длина $a = 8$ см,
Ширина $b = 3$ см,
Высота $h = 2$ см.

Площадь поверхности

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда ($S$) — это сумма площадей всех его шести граней. Формула для её вычисления:

$S = 2(ab + ah + bh)$

Подставим в формулу значения длины, ширины и высоты:

$S = 2 \cdot (8 \cdot 3 + 8 \cdot 2 + 3 \cdot 2)$

$S = 2 \cdot (24 + 16 + 6)$

$S = 2 \cdot 46$

$S = 92$ см²

Ответ: 92 см².

Объём

Объём прямоугольного параллелепипеда ($V$) вычисляется как произведение его длины, ширины и высоты. Формула для вычисления объёма:

$V = a \cdot b \cdot h$

Подставим известные значения в формулу:

$V = 8 \cdot 3 \cdot 2$

$V = 24 \cdot 2$

$V = 48$ см³

Ответ: 48 см³.

297. Вычислите площадь поверхности и объём прямоугольного параллелепипеда, развёртка которого изображена на рисунке 88.

Рис. 88

12 см

6 см

7 см

Для решения задачи сначала определим размеры прямоугольного параллелепипеда (длину $a$, ширину $b$ и высоту $c$) по его развёртке, изображённой на рисунке.

Из развёртки видно, что высота боковых граней, которая является высотой параллелепипеда, равна 6 см. Таким образом, $c = 6$ см.

Прямоугольник, примыкающий снизу, — это одно из оснований. Одна из его сторон равна 7 см. Эта сторона является либо длиной, либо шириной параллелепипеда. Пусть это будет ширина, то есть $b = 7$ см.

Длина 12 см, указанная на рисунке, соответствует сумме ширин двух соседних боковых граней. Эти ширины равны сторонам основания, $a$ и $b$. Следовательно, мы можем записать уравнение: $a + b = 12$ см.

Теперь найдём длину $a$, подставив известное значение $b = 7$ см:
$a + 7 = 12$
$a = 12 - 7 = 5$ см.

Итак, мы определили все три измерения прямоугольного параллелепипеда: $a = 5$ см, $b = 7$ см, $c = 6$ см. Теперь можем вычислить его площадь поверхности и объём.

Площадь поверхности

Площадь полной поверхности ($S$) — это сумма площадей всех шести граней. Формула для её вычисления:
$S = 2(ab + ac + bc)$
Подставим наши значения:
$S = 2 \times (5 \times 7 + 5 \times 6 + 7 \times 6)$
$S = 2 \times (35 + 30 + 42)$
$S = 2 \times 107$
$S = 214$ см².

Ответ: 214 см².

Объём

Объём ($V$) прямоугольного параллелепипеда вычисляется как произведение трёх его измерений:
$V = a \times b \times c$
Подставим наши значения:
$V = 5 \times 7 \times 6$
$V = 35 \times 6$
$V = 210$ см³.

Ответ: 210 см³.

298. На покраску куба, изображённого на рисунке 89, а, ушло 450 г краски. Часть куба вырезали. Сколько необходимо граммов краски, чтобы покрасить часть поверхности полученного многогранника, выделенную на рисунке 89, б голубым цветом?

Рис. 89

а

б

1. Сначала определим площадь полной поверхности исходного куба, изображенного на рисунке 89, а. Куб составлен из маленьких кубиков. Посчитав количество маленьких кубиков вдоль одного ребра, видим, что ребро большого куба состоит из 5 маленьких.

2. Площадь одной грани большого куба равна площади квадрата со стороной 5 единиц (маленьких квадратиков), то есть $S_{грани} = 5 \times 5 = 25$ маленьких квадратов.

3. У куба 6 одинаковых граней, поэтому площадь его полной поверхности составляет $S_{полн} = 6 \times S_{грани} = 6 \times 25 = 150$ маленьких квадратов.

4. По условию, на покраску этой поверхности ушло 450 г краски. Рассчитаем, сколько граммов краски требуется для покраски одного маленького квадрата: $450 \text{ г} / 150 = 3$ г.

5. Теперь рассмотрим многогранник, полученный после вырезания части куба (рисунок 89, б). Нас интересует площадь поверхности, выделенной голубым цветом. Эта поверхность образовалась на месте вырезанного из угла куба меньшего размера.

6. По рисунку видно, что вырезанная часть — это куб с ребром, равным 3 маленьким кубикам. Голубая поверхность — это три внутренние грани этого вырезанного куба.

7. Площадь одной такой голубой грани равна $3 \times 3 = 9$ маленьких квадратов.

8. Так как таких граней три, общая площадь голубой поверхности равна $S_{голуб} = 3 \times 9 = 27$ маленьких квадратов.

9. Чтобы найти, сколько краски необходимо для покраски голубой части, умножим ее площадь на расход краски на один маленький квадрат: $27 \times 3 \text{ г} = 81$ г.

Ответ: 81 г.