Страница 72 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

9. На рисунке 100 изображён круг с центром O, радиус которого равен r. Укажите неверное утверждение.

А) $OA = r$

Б) $OB < r$

В) $OC > r$

Г) $OD < r$

Рис. 100

Для того чтобы найти неверное утверждение, необходимо проанализировать положение каждой из точек (A, B, C, D) относительно круга с центром в точке $O$ и радиусом $r$.

• Если точка лежит на окружности, которая ограничивает круг, то расстояние от центра до этой точки равно радиусу ($d = r$).
• Если точка лежит внутри круга, то расстояние от центра до этой точки меньше радиуса ($d < r$).
• Если точка лежит вне круга, то расстояние от центра до этой точки больше радиуса ($d > r$).

Рассмотрим каждое из предложенных утверждений:

А) $OA = r$
Точка $A$ находится на окружности. Согласно определению, расстояние от центра до любой точки на окружности равно радиусу. Таким образом, утверждение $OA = r$ является верным.

Б) $OB < r$
Точка $B$ находится внутри круга. Расстояние от центра до любой точки внутри круга всегда меньше радиуса. Таким образом, утверждение $OB < r$ является верным.

В) $OC > r$
Точка $C$ находится вне круга. Расстояние от центра до любой точки вне круга всегда больше радиуса. Таким образом, утверждение $OC > r$ является верным.

Г) $OD < r$
Точка $D$ находится на окружности. Расстояние от центра до точки $D$ должно быть равно радиусу, то есть $OD = r$. Утверждение, что $OD < r$, противоречит этому. Таким образом, утверждение $OD < r$ является неверным.

Следовательно, неверным является утверждение Г.

Ответ: Г

10. Укажите отрезок, являющийся боковым ребром пирамиды, изображённой на рисунке 101.

А) $MB$

Б) $AE$

В) $AP$

Г) $BE$

Рис. 101

Пирамида — это многогранник, у которого одна грань (называемая основанием) — произвольный многоугольник, а остальные грани (называемые боковыми гранями) — треугольники, имеющие общую вершину. Эта общая вершина называется вершиной пирамиды.

В пирамиде, изображенной на рисунке 101, вершиной является точка $M$, а основанием — пятиугольник $APFEB$. Вершины основания — это точки $A$, $P$, $F$, $E$ и $B$.

Боковым ребром пирамиды называется отрезок, который соединяет вершину пирамиды с одной из вершин её основания.

Рассмотрим предложенные варианты:

А) MB
Этот отрезок соединяет вершину пирамиды $M$ с вершиной основания $B$. По определению, $MB$ является боковым ребром.

Б) AE
Этот отрезок соединяет две вершины основания, $A$ и $E$. Он является диагональю основания, а не боковым ребром.

В) AP
Этот отрезок соединяет две соседние вершины основания, $A$ и $P$. Он является ребром (стороной) основания, а не боковым ребром.

Г) BE
Этот отрезок соединяет две соседние вершины основания, $B$ и $E$. Он является ребром (стороной) основания, а не боковым ребром.

Следовательно, из всех предложенных вариантов только отрезок $MB$ является боковым ребром пирамиды.

Ответ: А

11. Определите объём прямоугольного параллелепипеда, длина которого равна 10 см, ширина – 4 см, а высота на 5 см больше длины.

А) $200 \text{ см}^3$

Б) $360 \text{ см}^3$

В) $600 \text{ см}^3$

Г) $900 \text{ см}^3$

Для того чтобы определить объём прямоугольного параллелепипеда, необходимо найти произведение его длины, ширины и высоты. Формула для вычисления объёма ($V$) выглядит следующим образом:

$V = l \cdot w \cdot h$, где $l$ – длина, $w$ – ширина, $h$ – высота.

Из условия задачи нам известны следующие величины:

• Длина ($l$) = 10 см
• Ширина ($w$) = 4 см

Высота ($h$) на 5 см больше длины. Вычислим значение высоты:

$h = l + 5 \text{ см} = 10 \text{ см} + 5 \text{ см} = 15 \text{ см}$

Теперь, зная все три измерения, мы можем рассчитать объём параллелепипеда, подставив значения в формулу:

$V = 10 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} \cdot 15 \text{ см} = 600 \text{ см}^3$

Полученный объём равен 600 см³, что соответствует варианту ответа В).

Ответ: 600 см³

12. Объем куба равен $27 \text{ см}^3$. Найдите площадь его поверхности.

А) $72 \text{ см}^2$

Б) $54 \text{ см}^2$

В) $36 \text{ см}^2$

Г) $27 \text{ см}^2$

Для решения этой задачи необходимо сначала найти длину ребра куба, используя его объем, а затем вычислить площадь его поверхности.

1. Нахождение длины ребра куба.
Объем куба ($V$) вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ – длина его ребра.
По условию задачи, объем равен $27 \text{ см}^3$.
$a^3 = 27 \text{ см}^3$
Чтобы найти длину ребра $a$, извлечем кубический корень из 27:
$a = \sqrt[3]{27} = 3 \text{ см}$

2. Нахождение площади поверхности куба.
Площадь поверхности куба ($S$) состоит из площадей шести его граней. Каждая грань является квадратом со стороной $a$. Площадь одной грани равна $a^2$. Таким образом, площадь всей поверхности вычисляется по формуле:
$S = 6a^2$
Подставим найденное значение длины ребра $a = 3 \text{ см}$ в эту формулу:
$S = 6 \cdot (3 \text{ см})^2 = 6 \cdot 9 \text{ см}^2 = 54 \text{ см}^2$

Таким образом, площадь поверхности куба равна 54 см². Это соответствует варианту ответа Б.

Ответ: 54 см²