Страница 70 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

307. На рисунке 93 изображены куб и его развёртка. Сколько точек находится на нижней грани куба?

Рис. 93

Чтобы определить количество точек на нижней грани куба, необходимо найти грань, которая является противоположной его верхней грани. Из изображения собранного куба видно, что на его верхней грани находится 6 точек.

Для того чтобы узнать, какая грань противоположна грани с 6 точками, нужно проанализировать развёртку куба, представленную на рисунке. Развёртка имеет крестообразную форму. Вертикальный столбец развёртки состоит из трёх граней: с 6, 4 и 1 точкой. При сворачивании куба из такой развёртки грани, которые находятся на концах одного прямого участка из трёх и более граней, становятся противоположными. В данном случае это грани с 6 и 1 точкой.

Следовательно, грань с 1 точкой противоположна грани с 6 точками. Поскольку на верхней грани изображенного куба 6 точек, на его нижней грани должна находиться 1 точка.

Ответ: 1

308. Существует ли пирамида, имеющая: 1) 1000 рёбер; 2) 555 рёбер? Если такая пирамида существует, то какой многоугольник является её основанием?

Для решения этой задачи нужно установить связь между общим количеством рёбер пирамиды и количеством сторон многоугольника, лежащего в её основании.

Пусть в основании пирамиды лежит многоугольник с $n$ сторонами (n-угольник). У этого основания есть $n$ рёбер. Кроме того, каждая из $n$ вершин основания соединена с вершиной пирамиды боковым ребром. Таким образом, у пирамиды есть ещё $n$ боковых рёбер.

Общее количество рёбер пирамиды ($K$) равно сумме рёбер основания и боковых рёбер:
$K = n + n = 2n$

Из этой формулы следует, что общее количество рёбер любой пирамиды всегда является чётным числом, так как оно в два раза больше количества сторон основания. Также, поскольку в основании лежит многоугольник, число его сторон $n$ должно быть целым и не меньшим 3 ($n \geq 3$).

1) Существует ли пирамида, имеющая 1000 рёбер?

Поскольку число 1000 является чётным, такая пирамида может существовать. Найдём количество сторон её основания $n$ из формулы $K = 2n$:
$1000 = 2n$
$n = \frac{1000}{2} = 500$

Мы получили целое число $n = 500$, которое удовлетворяет условию $n \geq 3$. Следовательно, такая пирамида существует.

Ответ: Да, существует. Её основанием является 500-угольник.

2) Существует ли пирамида, имеющая 555 рёбер?

Число 555 является нечётным. Как мы выяснили, общее количество рёбер в пирамиде всегда должно быть чётным. Уже на этом основании можно сделать вывод, что такой пирамиды не существует.

Если мы попытаемся применить формулу:
$555 = 2n$
$n = \frac{555}{2} = 277.5$

Количество сторон многоугольника $n$ должно быть целым числом, а мы получили дробное значение. Это подтверждает, что пирамиды с 555 рёбрами не существует.

Ответ: Нет, не существует.

309. Может ли произведение каких-либо семи последовательных натуральных чисел быть равным 123 456 789 101 112?

Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся свойствами делимости чисел.

Рассмотрим произведение любых семи последовательных натуральных чисел. Обозначим первое из них как $n$. Тогда произведение $P$ будет иметь вид:
$P = n \cdot (n+1) \cdot (n+2) \cdot (n+3) \cdot (n+4) \cdot (n+5) \cdot (n+6)$

Ключевое свойство заключается в том, что среди любых семи последовательных натуральных чисел одно из них обязательно делится на 7. Поскольку один из множителей в произведении $P$ делится на 7, то и само произведение $P$ должно делиться на 7 без остатка.

Теперь проверим, делится ли число $123 \, 456 \, 789 \, 101 \, 112$ на 7. Для этого можно воспользоваться признаком делимости на 7 или выполнить деление.

Применим признак делимости на 7, который заключается в знакочередующемся суммировании и вычитании групп по три цифры справа налево.

Разделим число на группы: $123, 456, 789, 101, 112$.

Вычислим знакочередующуюся сумму:$S = 112 - 101 + 789 - 456 + 123$

$112 - 101 = 11$
$11 + 789 = 800$
$800 - 456 = 344$
$344 + 123 = 467$

Теперь нужно проверить, делится ли результат, число 467, на 7.

$467 \div 7 = 66$ с остатком 5.
$467 = 7 \cdot 66 + 5$

Так как 467 не делится на 7 нацело, то и исходное число $123 \, 456 \, 789 \, 101 \, 112$ не делится на 7.

Поскольку произведение любых семи последовательных натуральных чисел всегда должно делиться на 7, а данное число на 7 не делится, оно не может быть таким произведением.

Ответ: нет, не может.

1. На луче AB, изображённом на рисунке 94, отметили точки M, K, P. Сколько отрезков при этом образовалось?

А) 3 отрезка

Б) 4 отрезка

В) 5 отрезков

Г) 6 отрезков

Рис. 94

A M K P B

Для решения задачи необходимо определить, какие точки на прямой могут служить концами отрезков, и затем подсчитать общее количество таких отрезков.

В условии задачи указано, что дан луч AB, на котором отмечены точки M, K и P. Луч имеет начальную точку, но не имеет конечной. В обозначении луча AB точка A является его началом, а точка B — это любая другая точка на луче, которая задает его направление. Таким образом, для построения отрезков мы должны использовать точку начала луча A и отмеченные на нем точки M, K, P. Всего получается 4 точки.

Теперь посчитаем, сколько всего отрезков можно составить, используя эти 4 точки (A, M, K, P). Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Перечислим все возможные отрезки, начиная с самой левой точки:

• Отрезки, начинающиеся в точке A: AM, AK, AP. (Всего 3 отрезка)
• Отрезки, начинающиеся в точке M (не считая уже названный AM): MK, MP. (Всего 2 отрезка)
• Отрезок, начинающийся в точке K (не считая уже названные AK и MK): KP. (Всего 1 отрезок)

Сложим количество всех найденных отрезков: $3 + 2 + 1 = 6$.

Этот же результат можно получить с помощью формулы для числа сочетаний. Количество отрезков, которое можно образовать из $n$ различных точек на прямой, вычисляется как число сочетаний из $n$ по 2:$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$В нашем случае количество точек $n=4$. Подставим это значение в формулу:$C_4^2 = \frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Следовательно, на луче образовалось 6 отрезков.

Ответ: Г) 6 отрезков

2. Сколько лучей изображено на рисунке 95?

А) 9 лучей

Б) 6 лучей

В) 8 лучей

Г) 10 лучей

Рис. 95

Чтобы найти количество лучей на рисунке, нужно посчитать все лучи, которые можно образовать с помощью отмеченных точек. Луч — это часть прямой, имеющая начальную точку и уходящая в бесконечность в одном направлении. Каждая точка на прямой может служить началом для двух противоположно направленных лучей.

На рисунке изображены две прямые, пересекающиеся в точке C. На этих прямых отмечены точки, которые будут служить началами лучей.

Рассмотрим первую прямую, на которой лежат точки A, B, C, D. Началами лучей на ней являются точки B и C.

• Из точки B исходят два луча: луч BA (в направлении точки A) и луч BC (в направлении точки C).
• Из точки C исходят два луча: луч CA (в направлении точки A) и луч CD (в направлении точки D).

Таким образом, на первой прямой всего $2 + 2 = 4$ луча.

Теперь рассмотрим вторую прямую, на которой лежат точки M, N, C, K, P. Началами лучей на ней являются точки N, C и K.

• Из точки N исходят два луча: луч NM (в направлении точки M) и луч NC (в направлении точки C).
• Из точки K исходят два луча: луч KM (в направлении точки M) и луч KP (в направлении точки P).
• Из точки C, лежащей на этой прямой, также исходят два луча: луч CN (в направлении точки N) и луч CK (в направлении точки K).

Таким образом, на второй прямой всего $2 + 2 + 2 = 6$ лучей.

Общее количество лучей на рисунке равно сумме лучей на обеих прямых: $4 + 6 = 10$.

Ответ: 10 лучей.

3. Угол $ABF$, изображённый на рисунке 96, является развёрнутым, луч $BD$ – биссектриса угла $CBF$, $\angle ABC = 50^\circ$. Какова градусная мера угла $ABD$?

А) $130^\circ$

Б) $115^\circ$

В) $125^\circ$

Г) $110^\circ$

Рис. 96

По условию задачи, угол $ABF$ является развёрнутым. Градусная мера развёрнутого угла равна $180°$.

Угол $ABF$ состоит из двух смежных углов: $∠ABC$ и $∠CBF$. Сумма смежных углов равна $180°$. Таким образом, мы можем записать:
$∠ABC + ∠CBF = 180°$

Нам известна градусная мера угла $ABC$, которая составляет $50°$. Подставим это значение в формулу, чтобы найти величину угла $CBF$:
$50° + ∠CBF = 180°$
$∠CBF = 180° - 50°$
$∠CBF = 130°$

Из условия известно, что луч $BD$ является биссектрисой угла $CBF$. Биссектриса делит угол пополам. Следовательно, чтобы найти угол $CBD$, нужно разделить угол $CBF$ на 2:
$∠CBD = \frac{∠CBF}{2} = \frac{130°}{2} = 65°$

Чтобы найти искомый угол $ABD$, необходимо сложить градусные меры углов $ABC$ и $CBD$, из которых он состоит:
$∠ABD = ∠ABC + ∠CBD$
$∠ABD = 50° + 65° = 115°$

Ответ: $115°$.