Номер 308, страница 70 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Многогранники. Глава 2. Геометрические фигуры - номер 308, страница 70.

Условие.

308. Существует ли пирамида, имеющая: 1) 1000 рёбер; 2) 555 рёбер? Если такая пирамида существует, то какой многоугольник является её основанием?

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи нужно установить связь между общим количеством рёбер пирамиды и количеством сторон многоугольника, лежащего в её основании.

Пусть в основании пирамиды лежит многоугольник с $n$ сторонами (n-угольник). У этого основания есть $n$ рёбер. Кроме того, каждая из $n$ вершин основания соединена с вершиной пирамиды боковым ребром. Таким образом, у пирамиды есть ещё $n$ боковых рёбер.

Общее количество рёбер пирамиды ($K$) равно сумме рёбер основания и боковых рёбер:
$K = n + n = 2n$

Из этой формулы следует, что общее количество рёбер любой пирамиды всегда является чётным числом, так как оно в два раза больше количества сторон основания. Также, поскольку в основании лежит многоугольник, число его сторон $n$ должно быть целым и не меньшим 3 ($n \geq 3$).

1) Существует ли пирамида, имеющая 1000 рёбер?

Поскольку число 1000 является чётным, такая пирамида может существовать. Найдём количество сторон её основания $n$ из формулы $K = 2n$:
$1000 = 2n$
$n = \frac{1000}{2} = 500$

Мы получили целое число $n = 500$, которое удовлетворяет условию $n \geq 3$. Следовательно, такая пирамида существует.

Ответ: Да, существует. Её основанием является 500-угольник.

2) Существует ли пирамида, имеющая 555 рёбер?

Число 555 является нечётным. Как мы выяснили, общее количество рёбер в пирамиде всегда должно быть чётным. Уже на этом основании можно сделать вывод, что такой пирамиды не существует.

Если мы попытаемся применить формулу:
$555 = 2n$
$n = \frac{555}{2} = 277.5$

Количество сторон многоугольника $n$ должно быть целым числом, а мы получили дробное значение. Это подтверждает, что пирамиды с 555 рёбрами не существует.

Ответ: Нет, не существует.