Номер 309, страница 70 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Многогранники. Глава 2. Геометрические фигуры - номер 309, страница 70.

Условие.

309. Может ли произведение каких-либо семи последовательных натуральных чисел быть равным 123 456 789 101 112?

Решение.

Решение 2.

Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся свойствами делимости чисел.

Рассмотрим произведение любых семи последовательных натуральных чисел. Обозначим первое из них как $n$. Тогда произведение $P$ будет иметь вид:
$P = n \cdot (n+1) \cdot (n+2) \cdot (n+3) \cdot (n+4) \cdot (n+5) \cdot (n+6)$

Ключевое свойство заключается в том, что среди любых семи последовательных натуральных чисел одно из них обязательно делится на 7. Поскольку один из множителей в произведении $P$ делится на 7, то и само произведение $P$ должно делиться на 7 без остатка.

Теперь проверим, делится ли число $123 \, 456 \, 789 \, 101 \, 112$ на 7. Для этого можно воспользоваться признаком делимости на 7 или выполнить деление.

Применим признак делимости на 7, который заключается в знакочередующемся суммировании и вычитании групп по три цифры справа налево.

Разделим число на группы: $123, 456, 789, 101, 112$.

Вычислим знакочередующуюся сумму:$S = 112 - 101 + 789 - 456 + 123$

$112 - 101 = 11$
$11 + 789 = 800$
$800 - 456 = 344$
$344 + 123 = 467$

Теперь нужно проверить, делится ли результат, число 467, на 7.

$467 \div 7 = 66$ с остатком 5.
$467 = 7 \cdot 66 + 5$

Так как 467 не делится на 7 нацело, то и исходное число $123 \, 456 \, 789 \, 101 \, 112$ не делится на 7.

Поскольку произведение любых семи последовательных натуральных чисел всегда должно делиться на 7, а данное число на 7 не делится, оно не может быть таким произведением.

Ответ: нет, не может.