Страница 77 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

323. Запишите смешанную дробь в виде неправильной дроби:

1) $4\frac{1}{5}$;

2) $8\frac{5}{11}$;

3) $9\frac{5}{7}$;

4) $5\frac{7}{18}$.

Чтобы представить смешанную дробь в виде неправильной, необходимо выполнить следующие действия:

1. Умножить целую часть дроби на ее знаменатель.
2. К полученному произведению прибавить числитель дробной части.
3. Записать полученную сумму в числитель новой дроби, а знаменатель оставить прежним.

Формула для преобразования смешанной дроби $A\frac{b}{c}$ в неправильную выглядит так: $\frac{A \cdot c + b}{c}$.

Преобразуем смешанную дробь $4\frac{1}{5}$ в неправильную.

Умножим целую часть (4) на знаменатель (5) и прибавим числитель (1): $4 \cdot 5 + 1 = 20 + 1 = 21$.

Это будет новый числитель. Знаменатель (5) остается без изменений.

Таким образом, $4\frac{1}{5} = \frac{4 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{21}{5}$.

Ответ: $\frac{21}{5}$.

Преобразуем смешанную дробь $8\frac{5}{11}$ в неправильную.

Умножим целую часть (8) на знаменатель (11) и прибавим числитель (5): $8 \cdot 11 + 5 = 88 + 5 = 93$.

Это будет новый числитель. Знаменатель (11) остается без изменений.

Таким образом, $8\frac{5}{11} = \frac{8 \cdot 11 + 5}{11} = \frac{93}{11}$.

Ответ: $\frac{93}{11}$.

Преобразуем смешанную дробь $9\frac{5}{7}$ в неправильную.

Умножим целую часть (9) на знаменатель (7) и прибавим числитель (5): $9 \cdot 7 + 5 = 63 + 5 = 68$.

Это будет новый числитель. Знаменатель (7) остается без изменений.

Таким образом, $9\frac{5}{7} = \frac{9 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{68}{7}$.

Ответ: $\frac{68}{7}$.

Преобразуем смешанную дробь $5\frac{7}{18}$ в неправильную.

Умножим целую часть (5) на знаменатель (18) и прибавим числитель (7): $5 \cdot 18 + 7 = 90 + 7 = 97$.

Это будет новый числитель. Знаменатель (18) остается без изменений.

Таким образом, $5\frac{7}{18} = \frac{5 \cdot 18 + 7}{18} = \frac{97}{18}$.

Ответ: $\frac{97}{18}$.

324. Сократите дроби:

1) $\frac{6}{15}$; 2) $\frac{14}{49}$; 3) $\frac{10}{90}$; 4) $\frac{44}{55}$; 5) $\frac{25}{65}$; 6) $\frac{18}{69}$.

Чтобы сократить дробь, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя, а затем разделить на него и числитель, и знаменатель.

1) Рассмотрим дробь $\frac{6}{15}$.
Найдем наибольший общий делитель для чисел 6 и 15. Для этого разложим их на простые множители:
$6 = 2 \cdot 3$
$15 = 3 \cdot 5$
Общий множитель — это 3. Следовательно, НОД(6, 15) = 3.
Разделим числитель и знаменатель дроби на 3:
$\frac{6}{15} = \frac{6 \div 3}{15 \div 3} = \frac{2}{5}$
Ответ: $\frac{2}{5}$

2) Рассмотрим дробь $\frac{14}{49}$.
Найдем НОД для чисел 14 и 49. Разложим их на простые множители:
$14 = 2 \cdot 7$
$49 = 7 \cdot 7$
Общий множитель — это 7. НОД(14, 49) = 7.
Разделим числитель и знаменатель на 7:
$\frac{14}{49} = \frac{14 \div 7}{49 \div 7} = \frac{2}{7}$
Ответ: $\frac{2}{7}$

3) Рассмотрим дробь $\frac{10}{90}$.
Оба числа, 10 и 90, оканчиваются на 0, значит, они делятся на 10. Это и будет их наибольший общий делитель.
Разделим числитель и знаменатель на 10:
$\frac{10}{90} = \frac{10 \div 10}{90 \div 10} = \frac{1}{9}$
Ответ: $\frac{1}{9}$

4) Рассмотрим дробь $\frac{44}{55}$.
Найдем НОД для чисел 44 и 55. Разложим их на простые множители:
$44 = 4 \cdot 11 = 2 \cdot 2 \cdot 11$
$55 = 5 \cdot 11$
Общий множитель — это 11. НОД(44, 55) = 11.
Разделим числитель и знаменатель на 11:
$\frac{44}{55} = \frac{44 \div 11}{55 \div 11} = \frac{4}{5}$
Ответ: $\frac{4}{5}$

5) Рассмотрим дробь $\frac{25}{65}$.
Оба числа, 25 и 65, оканчиваются на 5, значит, они делятся на 5.
Найдем НОД для чисел 25 и 65:
$25 = 5 \cdot 5$
$65 = 5 \cdot 13$
Общий множитель — это 5. НОД(25, 65) = 5.
Разделим числитель и знаменатель на 5:
$\frac{25}{65} = \frac{25 \div 5}{65 \div 5} = \frac{5}{13}$
Ответ: $\frac{5}{13}$

6) Рассмотрим дробь $\frac{18}{69}$.
Найдем НОД для чисел 18 и 69. Проверим делимость на 3: сумма цифр числа 18 ($1+8=9$) делится на 3; сумма цифр числа 69 ($6+9=15$) делится на 3. Значит, оба числа делятся на 3.
Разложим на множители:
$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$
$69 = 3 \cdot 23$
Общий множитель — это 3. НОД(18, 69) = 3.
Разделим числитель и знаменатель на 3:
$\frac{18}{69} = \frac{18 \div 3}{69 \div 3} = \frac{6}{23}$
Число 23 является простым, поэтому дробь $\frac{6}{23}$ дальше не сокращается.
Ответ: $\frac{6}{23}$

325. Сократите дробь:

1) $\frac{8}{12}$;

2) $\frac{16}{28}$;

3) $\frac{25}{60}$;

4) $\frac{42}{48}$;

5) $\frac{20}{36}$;

6) $\frac{34}{54}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{8}{12}$, нужно разделить её числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД).
Найдём НОД для 8 и 12. Для этого разложим числа на простые множители:
$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2$
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$
Общие множители у этих чисел $2 \cdot 2 = 4$. Следовательно, НОД(8, 12) = 4.
Теперь разделим числитель и знаменатель дроби на 4:
$\frac{8}{12} = \frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

2) Чтобы сократить дробь $\frac{16}{28}$, найдём НОД для 16 и 28.
Разложим на простые множители:
$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$
$28 = 2 \cdot 2 \cdot 7$
Общие множители: $2 \cdot 2 = 4$. Значит, НОД(16, 28) = 4.
Разделим числитель и знаменатель на 4:
$\frac{16}{28} = \frac{16 \div 4}{28 \div 4} = \frac{4}{7}$.
Ответ: $\frac{4}{7}$.

3) Чтобы сократить дробь $\frac{25}{60}$, найдём НОД для 25 и 60.
Разложим на простые множители:
$25 = 5 \cdot 5$
$60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$
Единственный общий множитель — это 5. Значит, НОД(25, 60) = 5.
Разделим числитель и знаменатель на 5:
$\frac{25}{60} = \frac{25 \div 5}{60 \div 5} = \frac{5}{12}$.
Ответ: $\frac{5}{12}$.

4) Чтобы сократить дробь $\frac{42}{48}$, найдём НОД для 42 и 48.
Разложим на простые множители:
$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$
$48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$
Общие множители: $2 \cdot 3 = 6$. Значит, НОД(42, 48) = 6.
Разделим числитель и знаменатель на 6:
$\frac{42}{48} = \frac{42 \div 6}{48 \div 6} = \frac{7}{8}$.
Ответ: $\frac{7}{8}$.

5) Чтобы сократить дробь $\frac{20}{36}$, найдём НОД для 20 и 36.
Разложим на простые множители:
$20 = 2 \cdot 2 \cdot 5$
$36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$
Общие множители: $2 \cdot 2 = 4$. Значит, НОД(20, 36) = 4.
Разделим числитель и знаменатель на 4:
$\frac{20}{36} = \frac{20 \div 4}{36 \div 4} = \frac{5}{9}$.
Ответ: $\frac{5}{9}$.

6) Чтобы сократить дробь $\frac{34}{54}$, найдём НОД для 34 и 54.
Разложим на простые множители:
$34 = 2 \cdot 17$
$54 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$
Единственный общий множитель — это 2. Значит, НОД(34, 54) = 2.
Разделим числитель и знаменатель на 2:
$\frac{34}{54} = \frac{34 \div 2}{54 \div 2} = \frac{17}{27}$.
Ответ: $\frac{17}{27}$.

326. Сократите:

1) $\frac{8 \cdot 5}{15 \cdot 16}$,

2) $\frac{9 \cdot 13}{26 \cdot 3}$;

3) $\frac{28 \cdot 36}{45 \cdot 49}$;

4) $\frac{17 \cdot 8}{51 \cdot 44}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{8 \cdot 5}{15 \cdot 16}$, представим множители в знаменателе в виде произведения чисел, которые есть в числителе.

Заметим, что $15 = 3 \cdot 5$ и $16 = 2 \cdot 8$.

Подставим эти значения в знаменатель дроби:

$\frac{8 \cdot 5}{15 \cdot 16} = \frac{8 \cdot 5}{(3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 8)}$

Теперь сократим общие множители (8 и 5) в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{8} \cdot \cancel{5}}{3 \cdot \cancel{5} \cdot 2 \cdot \cancel{8}} = \frac{1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

2) Чтобы сократить дробь $\frac{9 \cdot 13}{26 \cdot 3}$, разложим множители в числителе и знаменателе, чтобы найти общие.

Заметим, что $9 = 3 \cdot 3$ и $26 = 2 \cdot 13$.

Подставим эти разложения в дробь:

$\frac{9 \cdot 13}{26 \cdot 3} = \frac{(3 \cdot 3) \cdot 13}{(2 \cdot 13) \cdot 3}$

Сократим общие множители (3 и 13):

$\frac{3 \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{13}}{2 \cdot \cancel{13} \cdot \cancel{3}} = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$

3) Чтобы сократить дробь $\frac{28 \cdot 36}{45 \cdot 49}$, разложим каждое число в числителе и знаменателе на множители.

Представим числа в виде произведений: $28 = 4 \cdot 7$, $36 = 4 \cdot 9$, $45 = 5 \cdot 9$ и $49 = 7 \cdot 7$.

Подставим эти разложения в дробь:

$\frac{28 \cdot 36}{45 \cdot 49} = \frac{(4 \cdot 7) \cdot (4 \cdot 9)}{(5 \cdot 9) \cdot (7 \cdot 7)}$

Сократим общие множители (7 и 9):

$\frac{4 \cdot \cancel{7} \cdot 4 \cdot \cancel{9}}{5 \cdot \cancel{9} \cdot \cancel{7} \cdot 7} = \frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 7} = \frac{16}{35}$

Ответ: $\frac{16}{35}$

4) Чтобы сократить дробь $\frac{17 \cdot 8}{51 \cdot 44}$, найдем общие множители, разложив числа.

Заметим, что $51 = 3 \cdot 17$. Также разложим $8 = 2 \cdot 4$ и $44 = 11 \cdot 4$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{17 \cdot 8}{51 \cdot 44} = \frac{17 \cdot (2 \cdot 4)}{(3 \cdot 17) \cdot (11 \cdot 4)}$

Сократим общие множители (17 и 4):

$\frac{\cancel{17} \cdot 2 \cdot \cancel{4}}{3 \cdot \cancel{17} \cdot 11 \cdot \cancel{4}} = \frac{2}{3 \cdot 11} = \frac{2}{33}$

Ответ: $\frac{2}{33}$

327. Сократите:

1) $ \frac{7 \cdot 9}{18 \cdot 14} $

2) $ \frac{64 \cdot 10}{25 \cdot 48} $

3) $ \frac{10 \cdot 57}{19 \cdot 30} $

4) $ \frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{4 \cdot 5 \cdot 6} $

1)

Дана дробь $\frac{7 \cdot 9}{18 \cdot 14}$.

Чтобы сократить дробь, разложим числа в знаменателе на множители для нахождения общих множителей с числителем.

Представим числа $18$ и $14$ в виде произведения: $18 = 2 \cdot 9$ и $14 = 2 \cdot 7$.

Подставим эти значения в знаменатель дроби:

$\frac{7 \cdot 9}{18 \cdot 14} = \frac{7 \cdot 9}{(2 \cdot 9) \cdot (2 \cdot 7)}$

Теперь мы видим общие множители в числителе и знаменателе. Сократим $7$ и $9$:

$\frac{\cancel{7} \cdot \cancel{9}}{2 \cdot \cancel{9} \cdot 2 \cdot \cancel{7}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

2)

Дана дробь $\frac{64 \cdot 10}{25 \cdot 48}$.

Разложим числа в числителе и знаменателе на удобные множители, чтобы найти общие.

Заметим, что $64$ и $48$ имеют общий делитель $16$: $64 = 16 \cdot 4$ и $48 = 16 \cdot 3$.

Также, $10$ и $25$ имеют общий делитель $5$: $10 = 5 \cdot 2$ и $25 = 5 \cdot 5$.

Подставим эти разложения в исходную дробь:

$\frac{64 \cdot 10}{25 \cdot 48} = \frac{(16 \cdot 4) \cdot (5 \cdot 2)}{(5 \cdot 5) \cdot (16 \cdot 3)}$

Сократим общие множители $16$ и $5$:

$\frac{(\cancel{16} \cdot 4) \cdot (\cancel{5} \cdot 2)}{(\cancel{5} \cdot 5) \cdot (\cancel{16} \cdot 3)} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 3} = \frac{8}{15}$

Ответ: $\frac{8}{15}$

3)

Дана дробь $\frac{10 \cdot 57}{19 \cdot 30}$.

Найдем общие делители у чисел в числителе и знаменателе.

Сначала сократим $10$ и $30$ на $10$. В числителе останется $1$, а в знаменателе $3$:

$\frac{\cancel{10}^1 \cdot 57}{19 \cdot \cancel{30}^3} = \frac{57}{19 \cdot 3}$

Теперь проверим, делятся ли оставшиеся числа. Заметим, что $57 = 3 \cdot 19$.

Подставим это значение в числитель:

$\frac{19 \cdot 3}{19 \cdot 3}$

Сократив одинаковые множители, получаем:

$\frac{\cancel{19} \cdot \cancel{3}}{\cancel{19} \cdot \cancel{3}} = 1$

Ответ: $1$

4)

Дана дробь $\frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{4 \cdot 5 \cdot 6}$.

Для сокращения найдем одинаковые множители в числителе и знаменателе.

Сразу виден общий множитель $4$, сократим его:

$\frac{2 \cdot 3 \cdot \cancel{4}}{\cancel{4} \cdot 5 \cdot 6} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 6}$

В числителе получилось произведение $2 \cdot 3 = 6$. Это число также есть в знаменателе.

Сократим дробь на $6$:

$\frac{6}{5 \cdot 6} = \frac{\cancel{6}^1}{5 \cdot \cancel{6}^1} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

328. Приведите дроби $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{5}{32}$ к знаменателю 64.

Чтобы привести дроби к новому знаменателю, необходимо найти для каждой дроби дополнительный множитель. Этот множитель равен частному от деления нового знаменателя (64) на старый знаменатель. Затем нужно умножить и числитель, и знаменатель исходной дроби на этот дополнительный множитель.

$\frac{1}{2}$

1. Найдем дополнительный множитель для дроби $\frac{1}{2}$. Разделим новый знаменатель 64 на старый 2:

$64 \div 2 = 32$

2. Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{2}$ на дополнительный множитель 32:

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 32}{2 \cdot 32} = \frac{32}{64}$

Ответ: $\frac{32}{64}$.

$\frac{3}{4}$

1. Найдем дополнительный множитель для дроби $\frac{3}{4}$. Разделим 64 на 4:

$64 \div 4 = 16$

2. Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{3}{4}$ на 16:

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 16}{4 \cdot 16} = \frac{48}{64}$

Ответ: $\frac{48}{64}$.

$\frac{3}{8}$

1. Найдем дополнительный множитель для дроби $\frac{3}{8}$. Разделим 64 на 8:

$64 \div 8 = 8$

2. Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{3}{8}$ на 8:

$\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8}{8 \cdot 8} = \frac{24}{64}$

Ответ: $\frac{24}{64}$.

$\frac{5}{32}$

1. Найдем дополнительный множитель для дроби $\frac{5}{32}$. Разделим 64 на 32:

$64 \div 32 = 2$

2. Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{5}{32}$ на 2:

$\frac{5}{32} = \frac{5 \cdot 2}{32 \cdot 2} = \frac{10}{64}$

Ответ: $\frac{10}{64}$.

329. Приведите дробь:

1) $ \frac{3}{8} $ к знаменателю 24;

2) $ \frac{1}{5} $ к знаменателю 30;

3) $ \frac{4}{19} $ к знаменателю 95;

4) $ \frac{8}{45} $ к знаменателю 180.

1) Чтобы привести дробь $\frac{3}{8}$ к знаменателю 24, необходимо найти дополнительный множитель. Для этого нужно новый знаменатель разделить на исходный знаменатель: $24 \div 8 = 3$.

Затем, согласно основному свойству дроби, умножаем и числитель, и знаменатель исходной дроби на полученный дополнительный множитель:

$\frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24}$

Ответ: $\frac{9}{24}$

2) Чтобы привести дробь $\frac{1}{5}$ к знаменателю 30, найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на старый: $30 \div 5 = 6$.

Теперь умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{5}$ на 6:

$\frac{1 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{6}{30}$

Ответ: $\frac{6}{30}$

3) Чтобы привести дробь $\frac{4}{19}$ к знаменателю 95, найдем дополнительный множитель: $95 \div 19 = 5$.

Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{4}{19}$ на 5:

$\frac{4 \cdot 5}{19 \cdot 5} = \frac{20}{95}$

Ответ: $\frac{20}{95}$

4) Чтобы привести дробь $\frac{8}{45}$ к знаменателю 180, найдем дополнительный множитель: $180 \div 45 = 4$.

Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{8}{45}$ на 4:

$\frac{8 \cdot 4}{45 \cdot 4} = \frac{32}{180}$

Ответ: $\frac{32}{180}$

330. Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби:

1) $ \frac{1}{4} $ и $ \frac{1}{6} $;

2) $ \frac{5}{6} $ и $ \frac{7}{18} $;

3) $ \frac{1}{12} $ и $ \frac{1}{18} $;

4) $ \frac{9}{14} $ и $ \frac{2}{21} $.

Чтобы привести дроби $ \frac{1}{4} $ и $ \frac{1}{6} $ к наименьшему общему знаменателю, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей, то есть чисел 4 и 6.

Найдем НОК(4, 6). Можно перечислить кратные для каждого числа:

Кратные 4: 4, 8, 12, 16, ...

Кратные 6: 6, 12, 18, 24, ...

Наименьшее общее кратное равно 12. Это и будет наименьший общий знаменатель.

Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби, разделив новый знаменатель на старый:

Для дроби $ \frac{1}{4} $ дополнительный множитель: $ 12 \div 4 = 3 $.

Для дроби $ \frac{1}{6} $ дополнительный множитель: $ 12 \div 6 = 2 $.

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель:

$ \frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12} $

$ \frac{1}{6} = \frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{2}{12} $

Ответ: $ \frac{3}{12} $ и $ \frac{2}{12} $.

Даны дроби $ \frac{5}{6} $ и $ \frac{7}{18} $. Найдем наименьший общий знаменатель для чисел 6 и 18.

Заметим, что 18 делится на 6 без остатка ($ 18 \div 6 = 3 $). В таком случае, большее число (18) и является наименьшим общим кратным.

Наименьший общий знаменатель равен 18.

Дробь $ \frac{7}{18} $ уже имеет нужный знаменатель.

Для дроби $ \frac{5}{6} $ найдем дополнительный множитель: $ 18 \div 6 = 3 $.

Умножим числитель и знаменатель этой дроби на 3:

$ \frac{5}{6} = \frac{5 \times 3}{6 \times 3} = \frac{15}{18} $

Ответ: $ \frac{15}{18} $ и $ \frac{7}{18} $.

Даны дроби $ \frac{1}{12} $ и $ \frac{1}{18} $. Найдем НОК для знаменателей 12 и 18, разложив их на простые множители.

$ 12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3 $

$ 18 = 2 \times 3 \times 3 = 2 \times 3^2 $

Чтобы найти НОК, берем каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях: $ 2^2 $ и $ 3^2 $.

НОК(12, 18) = $ 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36 $.

Наименьший общий знаменатель равен 36.

Найдем дополнительные множители:

Для $ \frac{1}{12} $: $ 36 \div 12 = 3 $.

Для $ \frac{1}{18} $: $ 36 \div 18 = 2 $.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{1}{12} = \frac{1 \times 3}{12 \times 3} = \frac{3}{36} $

$ \frac{1}{18} = \frac{1 \times 2}{18 \times 2} = \frac{2}{36} $

Ответ: $ \frac{3}{36} $ и $ \frac{2}{36} $.

Даны дроби $ \frac{9}{14} $ и $ \frac{2}{21} $. Найдем НОК для знаменателей 14 и 21, разложив их на простые множители.

$ 14 = 2 \times 7 $

$ 21 = 3 \times 7 $

Берем все простые множители из разложений в наибольшей степени: 2, 3 и 7.

НОК(14, 21) = $ 2 \times 3 \times 7 = 42 $.

Наименьший общий знаменатель равен 42.

Найдем дополнительные множители:

Для $ \frac{9}{14} $: $ 42 \div 14 = 3 $.

Для $ \frac{2}{21} $: $ 42 \div 21 = 2 $.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{9}{14} = \frac{9 \times 3}{14 \times 3} = \frac{27}{42} $

$ \frac{2}{21} = \frac{2 \times 2}{21 \times 2} = \frac{4}{42} $

Ответ: $ \frac{27}{42} $ и $ \frac{4}{42} $.

331. Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби:

1) $ \frac{10}{17} $ и $ \frac{13}{34} $;

2) $ \frac{1}{20} $ и $ \frac{1}{30} $;

3) $ \frac{7}{24} $ и $ \frac{5}{18} $;

4) $ \frac{3}{28} $, $ \frac{9}{14} $ и $ \frac{7}{8} $.

1) Даны дроби $ \frac{10}{17} $ и $ \frac{13}{34} $. Знаменатели дробей — 17 и 34. Наименьшее общее кратное (НОК) для этих чисел — 34, так как 34 делится на 17 без остатка ($34 \div 17 = 2$). Это и будет наименьший общий знаменатель (НОЗ).
Приведем дробь $ \frac{10}{17} $ к знаменателю 34. Для этого найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на старый: $34 \div 17 = 2$. Умножим числитель и знаменатель дроби на 2:
$ \frac{10}{17} = \frac{10 \cdot 2}{17 \cdot 2} = \frac{20}{34} $.
Вторая дробь $ \frac{13}{34} $ уже имеет знаменатель 34, поэтому ее изменять не нужно.
Ответ: $ \frac{20}{34} $ и $ \frac{13}{34} $.

2) Даны дроби $ \frac{1}{20} $ и $ \frac{1}{30} $. Знаменатели — 20 и 30. Найдем наименьший общий знаменатель, который равен НОК(20, 30).
Разложим знаменатели на простые множители:
$ 20 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5 $
$ 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 $
НОК(20, 30) = $ 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60 $.
Найдем дополнительные множители для каждой дроби:
Для $ \frac{1}{20} $ дополнительный множитель: $ 60 \div 20 = 3 $.
Для $ \frac{1}{30} $ дополнительный множитель: $ 60 \div 30 = 2 $.
Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель:
$ \frac{1}{20} = \frac{1 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{3}{60} $
$ \frac{1}{30} = \frac{1 \cdot 2}{30 \cdot 2} = \frac{2}{60} $
Ответ: $ \frac{3}{60} $ и $ \frac{2}{60} $.

3) Даны дроби $ \frac{7}{24} $ и $ \frac{5}{18} $. Знаменатели — 24 и 18. Найдем НОК(24, 18).
Разложим знаменатели на простые множители:
$ 24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3 $
$ 18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2 $
НОК(24, 18) = $ 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72 $.
Найдем дополнительные множители:
Для $ \frac{7}{24} $: $ 72 \div 24 = 3 $.
Для $ \frac{5}{18} $: $ 72 \div 18 = 4 $.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$ \frac{7}{24} = \frac{7 \cdot 3}{24 \cdot 3} = \frac{21}{72} $
$ \frac{5}{18} = \frac{5 \cdot 4}{18 \cdot 4} = \frac{20}{72} $
Ответ: $ \frac{21}{72} $ и $ \frac{20}{72} $.

4) Даны дроби $ \frac{3}{28} $, $ \frac{9}{14} $ и $ \frac{7}{8} $. Знаменатели — 28, 14 и 8. Найдем НОК(28, 14, 8).
Разложим знаменатели на простые множители:
$ 28 = 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7 $
$ 14 = 2 \cdot 7 $
$ 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 $
НОК(28, 14, 8) = $ 2^3 \cdot 7 = 8 \cdot 7 = 56 $.
Найдем дополнительные множители для каждой дроби:
Для $ \frac{3}{28} $: $ 56 \div 28 = 2 $.
Для $ \frac{9}{14} $: $ 56 \div 14 = 4 $.
Для $ \frac{7}{8} $: $ 56 \div 8 = 7 $.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$ \frac{3}{28} = \frac{3 \cdot 2}{28 \cdot 2} = \frac{6}{56} $
$ \frac{9}{14} = \frac{9 \cdot 4}{14 \cdot 4} = \frac{36}{56} $
$ \frac{7}{8} = \frac{7 \cdot 7}{8 \cdot 7} = \frac{49}{56} $
Ответ: $ \frac{6}{56} $, $ \frac{36}{56} $ и $ \frac{49}{56} $.

332. Сравните числа:

1) $ \frac{9}{25} $ и $ \frac{4}{25} $;

2) $ \frac{5}{23} $ и $ \frac{5}{24} $;

3) $ \frac{34}{34} $ и 1;

4) $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{4}{3} $;

5) $ \frac{2}{5} $ и $ \frac{3}{10} $;

6) $ \frac{5}{9} $ и $ \frac{7}{12} $;

7) $ \frac{39}{50} $ и $ \frac{7}{10} $;

8) $ \frac{11}{24} $ и $ \frac{13}{30} $.

1) Чтобы сравнить дроби $\frac{9}{25}$ и $\frac{4}{25}$, нужно посмотреть на их числители, так как знаменатели у них одинаковые. У какой дроби числитель больше, та дробь и больше. Сравниваем числители: $9 > 4$. Следовательно, $\frac{9}{25} > \frac{4}{25}$.
Ответ: $\frac{9}{25} > \frac{4}{25}$.

2) Чтобы сравнить дроби $\frac{5}{23}$ и $\frac{5}{24}$, нужно посмотреть на их знаменатели, так как числители у них одинаковые. У какой дроби знаменатель меньше, та дробь и больше. Сравниваем знаменатели: $23 < 24$. Следовательно, $\frac{5}{23} > \frac{5}{24}$.
Ответ: $\frac{5}{23} > \frac{5}{24}$.

3) Сравниваем дробь $\frac{34}{34}$ и число 1. Дробь, у которой числитель равен знаменателю, всегда равна единице. Так как $34 = 34$, то $\frac{34}{34} = 1$.
Ответ: $\frac{34}{34} = 1$.

4) Сравниваем дроби $\frac{3}{4}$ и $\frac{4}{3}$. Дробь $\frac{3}{4}$ является правильной (числитель меньше знаменателя), поэтому она меньше 1. Дробь $\frac{4}{3}$ является неправильной (числитель больше знаменателя), поэтому она больше 1. Следовательно, $\frac{3}{4} < \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{3}{4} < \frac{4}{3}$.

5) Сравниваем дроби $\frac{2}{5}$ и $\frac{3}{10}$. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 10 - это 10. Приведем дробь $\frac{2}{5}$ к знаменателю 10, умножив числитель и знаменатель на 2: $\frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10}$. Теперь сравниваем дроби $\frac{4}{10}$ и $\frac{3}{10}$. Так как $4 > 3$, то $\frac{4}{10} > \frac{3}{10}$, а значит $\frac{2}{5} > \frac{3}{10}$.
Ответ: $\frac{2}{5} > \frac{3}{10}$.

6) Сравниваем дроби $\frac{5}{9}$ и $\frac{7}{12}$. Найдем наименьший общий знаменатель для 9 и 12. НОК(9, 12) = 36. Приведем дроби к этому знаменателю. Для первой дроби дополнительный множитель $36 / 9 = 4$, для второй - $36 / 12 = 3$.
$\frac{5}{9} = \frac{5 \times 4}{9 \times 4} = \frac{20}{36}$
$\frac{7}{12} = \frac{7 \times 3}{12 \times 3} = \frac{21}{36}$
Теперь сравниваем $\frac{20}{36}$ и $\frac{21}{36}$. Так как $20 < 21$, то $\frac{20}{36} < \frac{21}{36}$, а значит $\frac{5}{9} < \frac{7}{12}$.
Ответ: $\frac{5}{9} < \frac{7}{12}$.

7) Сравниваем дроби $\frac{39}{50}$ и $\frac{7}{10}$. Общий знаменатель - 50. Приведем дробь $\frac{7}{10}$ к знаменателю 50: $\frac{7 \times 5}{10 \times 5} = \frac{35}{50}$. Теперь сравниваем $\frac{39}{50}$ и $\frac{35}{50}$. Так как $39 > 35$, то $\frac{39}{50} > \frac{35}{50}$, а значит $\frac{39}{50} > \frac{7}{10}$.
Ответ: $\frac{39}{50} > \frac{7}{10}$.

8) Сравниваем дроби $\frac{11}{24}$ и $\frac{13}{30}$. Найдем наименьший общий знаменатель для 24 и 30. НОК(24, 30) = 120. Приведем дроби к этому знаменателю. Для первой дроби дополнительный множитель $120 / 24 = 5$, для второй - $120 / 30 = 4$.
$\frac{11}{24} = \frac{11 \times 5}{24 \times 5} = \frac{55}{120}$
$\frac{13}{30} = \frac{13 \times 4}{30 \times 4} = \frac{52}{120}$
Теперь сравниваем $\frac{55}{120}$ и $\frac{52}{120}$. Так как $55 > 52$, то $\frac{55}{120} > \frac{52}{120}$, а значит $\frac{11}{24} > \frac{13}{30}$.
Ответ: $\frac{11}{24} > \frac{13}{30}$.

333. Сравните числа:

1) $ \frac{16}{23} $ и $ \frac{9}{23} $;

2) $ \frac{3}{98} $ и $ \frac{3}{94} $;

3) $ 1 $ и $ \frac{22}{19} $;

4) $ \frac{3}{8} $ и $ \frac{1}{2} $;

5) $ \frac{5}{7} $ и $ \frac{2}{3} $;

6) $ \frac{5}{16} $ и $ \frac{7}{24} $;

7) $ \frac{8}{15} $ и $ \frac{11}{20} $;

8) $ \frac{13}{18} $ и $ \frac{19}{27} $.

1) Сравним дроби $\frac{16}{23}$ и $\frac{9}{23}$.
У этих дробей одинаковые знаменатели. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.
Так как $16 > 9$, то $\frac{16}{23} > \frac{9}{23}$.
Ответ: $\frac{16}{23} > \frac{9}{23}$.

2) Сравним дроби $\frac{3}{98}$ и $\frac{3}{94}$.
У этих дробей одинаковые числители. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.
Так как $98 > 94$, то $\frac{3}{98} < \frac{3}{94}$.
Ответ: $\frac{3}{98} < \frac{3}{94}$.

3) Сравним $1$ и $\frac{22}{19}$.
Дробь $\frac{22}{19}$ является неправильной, так как ее числитель (22) больше знаменателя (19). Любая неправильная дробь больше единицы.
Другой способ: представим $1$ в виде дроби со знаменателем 19: $1 = \frac{19}{19}$.
Теперь сравним $\frac{19}{19}$ и $\frac{22}{19}$. Так как $19 < 22$, то $\frac{19}{19} < \frac{22}{19}$, следовательно $1 < \frac{22}{19}$.
Ответ: $1 < \frac{22}{19}$.

4) Сравним $\frac{3}{8}$ и $\frac{1}{2}$.
Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 2 это 8.
Приведем дробь $\frac{1}{2}$ к знаменателю 8: $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 4}{2 \times 4} = \frac{4}{8}$.
Теперь сравним дроби $\frac{3}{8}$ и $\frac{4}{8}$. Так как $3 < 4$, то $\frac{3}{8} < \frac{4}{8}$.
Следовательно, $\frac{3}{8} < \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{8} < \frac{1}{2}$.

5) Сравним $\frac{5}{7}$ и $\frac{2}{3}$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7 и 3 это $7 \times 3 = 21$.
$\frac{5}{7} = \frac{5 \times 3}{7 \times 3} = \frac{15}{21}$
$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 7}{3 \times 7} = \frac{14}{21}$
Сравним дроби $\frac{15}{21}$ и $\frac{14}{21}$. Так как $15 > 14$, то $\frac{15}{21} > \frac{14}{21}$.
Следовательно, $\frac{5}{7} > \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{5}{7} > \frac{2}{3}$.

6) Сравним $\frac{5}{16}$ и $\frac{7}{24}$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 16 и 24 это 48.
$\frac{5}{16} = \frac{5 \times 3}{16 \times 3} = \frac{15}{48}$
$\frac{7}{24} = \frac{7 \times 2}{24 \times 2} = \frac{14}{48}$
Сравним дроби $\frac{15}{48}$ и $\frac{14}{48}$. Так как $15 > 14$, то $\frac{15}{48} > \frac{14}{48}$.
Следовательно, $\frac{5}{16} > \frac{7}{24}$.
Ответ: $\frac{5}{16} > \frac{7}{24}$.

7) Сравним $\frac{8}{15}$ и $\frac{11}{20}$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 15 и 20 это 60.
$\frac{8}{15} = \frac{8 \times 4}{15 \times 4} = \frac{32}{60}$
$\frac{11}{20} = \frac{11 \times 3}{20 \times 3} = \frac{33}{60}$
Сравним дроби $\frac{32}{60}$ и $\frac{33}{60}$. Так как $32 < 33$, то $\frac{32}{60} < \frac{33}{60}$.
Следовательно, $\frac{8}{15} < \frac{11}{20}$.
Ответ: $\frac{8}{15} < \frac{11}{20}$.

8) Сравним $\frac{13}{18}$ и $\frac{19}{27}$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 18 и 27 это 54.
$\frac{13}{18} = \frac{13 \times 3}{18 \times 3} = \frac{39}{54}$
$\frac{19}{27} = \frac{19 \times 2}{27 \times 2} = \frac{38}{54}$
Сравним дроби $\frac{39}{54}$ и $\frac{38}{54}$. Так как $39 > 38$, то $\frac{39}{54} > \frac{38}{54}$.
Следовательно, $\frac{13}{18} > \frac{19}{27}$.
Ответ: $\frac{13}{18} > \frac{19}{27}$.

334. Длина первого бревна равна 11 м, а второго – 13 м. Первое бревно распилили на 7 равных частей, а второе – на 8 равных частей. Одна часть какого бревна длиннее: первого или второго?

Для того чтобы ответить на вопрос, необходимо найти длину одной части каждого бревна, а затем сравнить полученные значения.

1. Длина первого бревна составляет 11 м, и его распилили на 7 равных частей. Следовательно, длина одной части первого бревна равна $ \frac{11}{7} $ м.

2. Длина второго бревна составляет 13 м, и его распилили на 8 равных частей. Следовательно, длина одной части второго бревна равна $ \frac{13}{8} $ м.

3. Теперь необходимо сравнить две дроби: $ \frac{11}{7} $ и $ \frac{13}{8} $. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 7 и 8 является их произведение: $ 7 \times 8 = 56 $.

Приведем дроби к знаменателю 56:
$ \frac{11}{7} = \frac{11 \times 8}{7 \times 8} = \frac{88}{56} $
$ \frac{13}{8} = \frac{13 \times 7}{8 \times 7} = \frac{91}{56} $

4. Сравним полученные дроби. Так как числитель 88 меньше числителя 91 ($ 88 < 91 $), то и дробь $ \frac{88}{56} $ меньше дроби $ \frac{91}{56} $.Следовательно, $ \frac{11}{7} < \frac{13}{8} $.

Таким образом, одна часть второго бревна длиннее, чем одна часть первого бревна.

Ответ: одна часть второго бревна длиннее.