Номер 331, страница 77 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Обыкновенные дроби. Глава 3. Дроби - номер 331, страница 77.

Условие.

331. Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби:

1) $ \frac{10}{17} $ и $ \frac{13}{34} $;

2) $ \frac{1}{20} $ и $ \frac{1}{30} $;

3) $ \frac{7}{24} $ и $ \frac{5}{18} $;

4) $ \frac{3}{28} $, $ \frac{9}{14} $ и $ \frac{7}{8} $.

Решение.

Решение 2.

1) Даны дроби $ \frac{10}{17} $ и $ \frac{13}{34} $. Знаменатели дробей — 17 и 34. Наименьшее общее кратное (НОК) для этих чисел — 34, так как 34 делится на 17 без остатка ($34 \div 17 = 2$). Это и будет наименьший общий знаменатель (НОЗ).
Приведем дробь $ \frac{10}{17} $ к знаменателю 34. Для этого найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на старый: $34 \div 17 = 2$. Умножим числитель и знаменатель дроби на 2:
$ \frac{10}{17} = \frac{10 \cdot 2}{17 \cdot 2} = \frac{20}{34} $.
Вторая дробь $ \frac{13}{34} $ уже имеет знаменатель 34, поэтому ее изменять не нужно.
Ответ: $ \frac{20}{34} $ и $ \frac{13}{34} $.

2) Даны дроби $ \frac{1}{20} $ и $ \frac{1}{30} $. Знаменатели — 20 и 30. Найдем наименьший общий знаменатель, который равен НОК(20, 30).
Разложим знаменатели на простые множители:
$ 20 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5 $
$ 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 $
НОК(20, 30) = $ 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60 $.
Найдем дополнительные множители для каждой дроби:
Для $ \frac{1}{20} $ дополнительный множитель: $ 60 \div 20 = 3 $.
Для $ \frac{1}{30} $ дополнительный множитель: $ 60 \div 30 = 2 $.
Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель:
$ \frac{1}{20} = \frac{1 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{3}{60} $
$ \frac{1}{30} = \frac{1 \cdot 2}{30 \cdot 2} = \frac{2}{60} $
Ответ: $ \frac{3}{60} $ и $ \frac{2}{60} $.

3) Даны дроби $ \frac{7}{24} $ и $ \frac{5}{18} $. Знаменатели — 24 и 18. Найдем НОК(24, 18).
Разложим знаменатели на простые множители:
$ 24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3 $
$ 18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2 $
НОК(24, 18) = $ 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72 $.
Найдем дополнительные множители:
Для $ \frac{7}{24} $: $ 72 \div 24 = 3 $.
Для $ \frac{5}{18} $: $ 72 \div 18 = 4 $.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$ \frac{7}{24} = \frac{7 \cdot 3}{24 \cdot 3} = \frac{21}{72} $
$ \frac{5}{18} = \frac{5 \cdot 4}{18 \cdot 4} = \frac{20}{72} $
Ответ: $ \frac{21}{72} $ и $ \frac{20}{72} $.

4) Даны дроби $ \frac{3}{28} $, $ \frac{9}{14} $ и $ \frac{7}{8} $. Знаменатели — 28, 14 и 8. Найдем НОК(28, 14, 8).
Разложим знаменатели на простые множители:
$ 28 = 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7 $
$ 14 = 2 \cdot 7 $
$ 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 $
НОК(28, 14, 8) = $ 2^3 \cdot 7 = 8 \cdot 7 = 56 $.
Найдем дополнительные множители для каждой дроби:
Для $ \frac{3}{28} $: $ 56 \div 28 = 2 $.
Для $ \frac{9}{14} $: $ 56 \div 14 = 4 $.
Для $ \frac{7}{8} $: $ 56 \div 8 = 7 $.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$ \frac{3}{28} = \frac{3 \cdot 2}{28 \cdot 2} = \frac{6}{56} $
$ \frac{9}{14} = \frac{9 \cdot 4}{14 \cdot 4} = \frac{36}{56} $
$ \frac{7}{8} = \frac{7 \cdot 7}{8 \cdot 7} = \frac{49}{56} $
Ответ: $ \frac{6}{56} $, $ \frac{36}{56} $ и $ \frac{49}{56} $.