Страница 83 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

391. Мыши в знак примирения подарили коту 9 кг 450 г корма «Мурзик». За первую неделю кот съел $\frac{8}{21}$ подарка, а за вторую неделю – $\frac{9}{13}$ остатка. Сколько граммов корма «Мурзик» съел кот за вторую неделю?

Для решения задачи выполним действия по шагам.

1. Сначала переведем общую массу корма в граммы, так как ответ требуется дать в граммах. Мы знаем, что в 1 килограмме 1000 граммов.

$9 \text{ кг } 450 \text{ г} = 9 \cdot 1000 \text{ г} + 450 \text{ г} = 9000 \text{ г} + 450 \text{ г} = 9450 \text{ г}$

Таким образом, общее количество корма составляет 9450 граммов.

2. Теперь найдем, сколько граммов корма кот съел за первую неделю. По условию, это $\frac{8}{21}$ от всего подарка.

$9450 \cdot \frac{8}{21} = \frac{9450 \cdot 8}{21} = 450 \cdot 8 = 3600 \text{ г}$

Итак, за первую неделю было съедено 3600 г корма.

3. Далее вычислим, сколько корма осталось после первой недели. Для этого из общей массы вычтем массу съеденного корма.

$9450 \text{ г} - 3600 \text{ г} = 5850 \text{ г}$

После первой недели осталось 5850 г корма.

4. Наконец, определим, сколько граммов корма кот съел за вторую неделю. По условию, это $\frac{9}{13}$ от остатка.

$5850 \cdot \frac{9}{13} = \frac{5850 \cdot 9}{13} = 450 \cdot 9 = 4050 \text{ г}$

Ответ: 4050 г.

392. Илья Муромец заготовил для своего коня на зиму 4 ц 90 кг овса. В декабре конь съел $\frac{3}{7}$ всего запаса овса, а в январе — $\frac{9}{14}$ остатка.

Сколько килограммов овса конь съел в январе?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем общий вес заготовленного овса в килограммах.

Известно, что 1 центнер (ц) равен 100 килограммам (кг). Илья Муромец заготовил 4 ц 90 кг овса.

$4 \text{ ц } 90 \text{ кг} = 4 \cdot 100 \text{ кг} + 90 \text{ кг} = 490 \text{ кг}$.

2. Рассчитаем, сколько овса конь съел в декабре.

В декабре конь съел $ \frac{3}{7} $ от всего запаса. Найдем эту величину:

$490 \cdot \frac{3}{7} = \frac{490 \cdot 3}{7} = 70 \cdot 3 = 210 \text{ кг}$.

3. Определим, сколько овса осталось после декабря.

Для этого из общего запаса вычтем количество, съеденное в декабре:

$490 - 210 = 280 \text{ кг}$.

4. Рассчитаем, сколько овса конь съел в январе.

В январе конь съел $ \frac{9}{14} $ от остатка. Найдем, сколько это в килограммах:

$280 \cdot \frac{9}{14} = \frac{280 \cdot 9}{14} = 20 \cdot 9 = 180 \text{ кг}$.

Ответ: 180 кг.

393. Фермеры Иван, Пётр и Семён вырастили вместе 612 т ячменя и поделили урожай между собой. Ивану досталось $\frac{5}{17}$ всего урожая, Петру – $\frac{9}{16}$ остатка. Сколько тонн ячменя получил Семён?

Для решения задачи необходимо выполнить несколько последовательных действий.

1. Найдем, сколько тонн ячменя получил Иван.

Согласно условию, Ивану досталось $\frac{5}{17}$ всего урожая. Общий урожай составляет 612 тонн. Чтобы найти долю Ивана в тоннах, нужно общий урожай умножить на его долю:

$612 \cdot \frac{5}{17} = \frac{612 \cdot 5}{17}$

Сначала разделим 612 на 17:

$612 \div 17 = 36$

Теперь умножим полученный результат на 5:

$36 \cdot 5 = 180$ (т)

Итак, Иван получил 180 тонн ячменя.

2. Найдем, сколько тонн ячменя осталось после Ивана.

Для этого вычтем долю Ивана из общего урожая:

$612 - 180 = 432$ (т)

Остаток урожая составил 432 тонны.

3. Найдем, сколько тонн ячменя получил Пётр.

Петру досталось $\frac{9}{16}$ остатка. Чтобы найти долю Петра, нужно остаток умножить на его долю:

$432 \cdot \frac{9}{16} = \frac{432 \cdot 9}{16}$

Сначала разделим 432 на 16:

$432 \div 16 = 27$

Теперь умножим полученный результат на 9:

$27 \cdot 9 = 243$ (т)

Таким образом, Пётр получил 243 тонны ячменя.

4. Найдем, сколько тонн ячменя получил Семён.

Семёну достался весь урожай, который остался после того, как свои доли забрали Иван и Пётр. Это можно вычислить, вычтя долю Петра из остатка после Ивана:

$432 - 243 = 189$ (т)

Ответ: 189 тонн.

394. Три студента Игорь, Гена и Андрей поехали в Астрахань на уборку арбузов. Вместе они заработали 40 960 р. и разделили их в соответствии с тем, кто как работал. Игорь получил $\frac{11}{32}$ заработанных денег, Гена – $\frac{5}{8}$ остатка. Сколько рублей заработал Андрей?

Для решения задачи выполним действия по порядку.

1. Сначала вычислим, сколько денег заработал Игорь. Его доля составляет $\frac{11}{32}$ от общей суммы в 40 960 рублей.

$40960 \cdot \frac{11}{32} = \frac{40960 \cdot 11}{32} = 1280 \cdot 11 = 14080$ рублей.

2. Теперь найдем остаток денег после того, как Игорь получил свою часть. Для этого вычтем его заработок из общей суммы.

$40960 - 14080 = 26880$ рублей.

3. Далее определим заработок Гены. Он получил $\frac{5}{8}$ от оставшейся суммы.

$26880 \cdot \frac{5}{8} = \frac{26880 \cdot 5}{8} = 3360 \cdot 5 = 16800$ рублей.

4. Сумма, которую заработал Андрей, — это та часть денег, которая осталась после выплат Игорю и Гене. Чтобы найти её, нужно из остатка после Игоря (26 880 рублей) вычесть заработок Гены.

$26880 - 16800 = 10080$ рублей.

Ответ: 10080 рублей.

395. В детский санаторий завезли бананы, апельсины и мандарины. Масса апельсинов составляет $ \frac{12}{35} $ массы бананов, а масса мандаринов – $ \frac{7}{12} $ массы апельсинов. Сколько килограммов апельсинов и мандаринов вместе завезли в санаторий, если бананов завезли 245 кг?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько последовательных действий.

1. Вычислим массу апельсинов.
По условию, масса апельсинов составляет $ \frac{12}{35} $ от массы бананов. Масса бананов равна 245 кг. Чтобы найти часть от числа, нужно умножить это число на соответствующую дробь.
$ 245 \cdot \frac{12}{35} = \frac{245 \cdot 12}{35} $
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 35. $ 245 \div 35 = 7 $.
$ 7 \cdot 12 = 84 $ (кг) – масса апельсинов.

2. Вычислим массу мандаринов.
Масса мандаринов составляет $ \frac{7}{12} $ от массы апельсинов. Мы уже знаем, что масса апельсинов равна 84 кг.
$ 84 \cdot \frac{7}{12} = \frac{84 \cdot 7}{12} $
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 12. $ 84 \div 12 = 7 $.
$ 7 \cdot 7 = 49 $ (кг) – масса мандаринов.

3. Найдем, сколько килограммов апельсинов и мандаринов вместе завезли в санаторий.
Для этого сложим массу апельсинов и массу мандаринов.
$ 84 + 49 = 133 $ (кг).

Ответ: 133 кг.

396. Путешествуя на катере по Волге, турист в первый день проплыл 72 км, во второй день – $\frac{7}{8}$ того расстояния, что проплыл в первый день, а в третий – $\frac{8}{9}$ того, что проплыл во второй день. На сколько километров меньше проплыл турист в третий день, чем во второй?

Для решения задачи сначала определим, какое расстояние турист проплыл во второй и третий дни, а затем найдем разницу между этими расстояниями.

1. Расстояние, пройденное во второй день.
Во второй день турист проплыл $ \frac{7}{8} $ от расстояния, пройденного в первый день (72 км). Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь:
$ 72 \cdot \frac{7}{8} = \frac{72 \cdot 7}{8} = 9 \cdot 7 = 63 $ (км).
Таким образом, во второй день турист проплыл 63 км.

2. Расстояние, пройденное в третий день.
В третий день он проплыл $ \frac{8}{9} $ от расстояния, пройденного во второй день (63 км):
$ 63 \cdot \frac{8}{9} = \frac{63 \cdot 8}{9} = 7 \cdot 8 = 56 $ (км).
Таким образом, в третий день турист проплыл 56 км.

3. Разница в расстоянии.
Чтобы узнать, на сколько километров меньше турист проплыл в третий день, чем во второй, вычтем расстояние третьего дня из расстояния второго дня:
$ 63 - 56 = 7 $ (км).

Ответ: на 7 километров меньше проплыл турист в третий день, чем во второй.

397. Найдите значение выражения:

1) $(2\frac{7}{10} - 1\frac{8}{15})^2 \cdot \frac{9}{14}$

2) $9\frac{5}{6} - (4 - 6\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{7}) : 1\frac{5}{22}$

1) $(2\frac{7}{10} - 1\frac{8}{15})^2 \cdot \frac{9}{14}$

Решим выражение по действиям, соблюдая порядок операций.

1. Выполним вычитание в скобках. Для этого преобразуем смешанные числа в неправильные дроби и приведем их к общему знаменателю.

$2\frac{7}{10} = \frac{2 \cdot 10 + 7}{10} = \frac{27}{10}$

$1\frac{8}{15} = \frac{1 \cdot 15 + 8}{15} = \frac{23}{15}$

Общий знаменатель для 10 и 15 равен 30.

$\frac{27}{10} - \frac{23}{15} = \frac{27 \cdot 3}{30} - \frac{23 \cdot 2}{30} = \frac{81}{30} - \frac{46}{30} = \frac{81 - 46}{30} = \frac{35}{30}$

Сократим полученную дробь на 5:

$\frac{35}{30} = \frac{7}{6}$

2. Возведем результат в квадрат.

$(\frac{7}{6})^2 = \frac{7^2}{6^2} = \frac{49}{36}$

3. Выполним умножение.

$\frac{49}{36} \cdot \frac{9}{14}$

Сократим дроби перед умножением: 49 и 14 делятся на 7, а 36 и 9 делятся на 9.

$\frac{49 \cdot 9}{36 \cdot 14} = \frac{(7 \cdot 7) \cdot 9}{(4 \cdot 9) \cdot (2 \cdot 7)} = \frac{7}{4 \cdot 2} = \frac{7}{8}$

Ответ: $\frac{7}{8}$

2) $9\frac{5}{6} - (4 - 6\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{7}) : 1\frac{5}{22}$

Решим выражение по действиям, соблюдая порядок операций.

1. Первым действием выполним умножение в скобках. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

$6\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{7} = \frac{49}{8} \cdot \frac{2}{7}$

Сократим дроби (49 и 7 на 7, 8 и 2 на 2) и выполним умножение:

$\frac{^7\cancel{49}}{_4\cancel{8}} \cdot \frac{^\cancel{1}2}{_1\cancel{7}} = \frac{7}{4}$

2. Выполним вычитание в скобках.

$4 - \frac{7}{4} = \frac{16}{4} - \frac{7}{4} = \frac{16 - 7}{4} = \frac{9}{4}$

3. Выполним деление. Преобразуем смешанное число $1\frac{5}{22}$ в неправильную дробь.

$1\frac{5}{22} = \frac{1 \cdot 22 + 5}{22} = \frac{27}{22}$

Теперь разделим результат, полученный в скобках, на эту дробь. Деление заменяем умножением на обратную дробь.

$\frac{9}{4} : \frac{27}{22} = \frac{9}{4} \cdot \frac{22}{27}$

Сократим дроби (9 и 27 на 9, 4 и 22 на 2) и выполним умножение:

$\frac{^1\cancel{9}}{_2\cancel{4}} \cdot \frac{^{11}\cancel{22}}{_3\cancel{27}} = \frac{1 \cdot 11}{2 \cdot 3} = \frac{11}{6}$

4. Выполним последнее действие — вычитание. Преобразуем $9\frac{5}{6}$ в неправильную дробь.

$9\frac{5}{6} - \frac{11}{6} = \frac{9 \cdot 6 + 5}{6} - \frac{11}{6} = \frac{59}{6} - \frac{11}{6} = \frac{59 - 11}{6} = \frac{48}{6} = 8$

Ответ: 8

398. Найдите значение выражения:

1) $ (3\frac{1}{3})^2 - 2\frac{13}{16} \cdot 2\frac{2}{5} $

2) $ 5 \cdot \left(\frac{9}{14} + \frac{5}{7}\right) - 1\frac{1}{3} \cdot \frac{56}{75} $

1) $(3\frac{1}{3})^2 - 2\frac{13}{16} \cdot 2\frac{2}{5}$

Для решения этого выражения, сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби, а затем выполним действия в соответствии с порядком их выполнения (сначала возведение в степень и умножение, затем вычитание).

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$
$2\frac{13}{16} = \frac{2 \cdot 16 + 13}{16} = \frac{32 + 13}{16} = \frac{45}{16}$
$2\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{12}{5}$

Выражение принимает вид: $(\frac{10}{3})^2 - \frac{45}{16} \cdot \frac{12}{5}$

2. Выполним возведение в степень:
$(\frac{10}{3})^2 = \frac{10^2}{3^2} = \frac{100}{9}$

3. Выполним умножение, предварительно сократив дроби:
$\frac{45}{16} \cdot \frac{12}{5} = \frac{45 \cdot 12}{16 \cdot 5} = \frac{9 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 4}{4 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{9 \cdot 3}{4} = \frac{27}{4}$

4. Выполним вычитание. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 4 это 36.
$\frac{100}{9} - \frac{27}{4} = \frac{100 \cdot 4}{9 \cdot 4} - \frac{27 \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{400}{36} - \frac{243}{36} = \frac{400 - 243}{36} = \frac{157}{36}$

5. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{157}{36} = 4\frac{13}{36}$

Ответ: $4\frac{13}{36}$

2) $5 \cdot (\frac{9}{14} + \frac{5}{7}) - 1\frac{1}{3} \div \frac{56}{75}$

Решим это выражение по действиям, соблюдая порядок их выполнения (сначала действия в скобках, затем умножение и деление, и в конце вычитание).

1. Выполним сложение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю 14:
$\frac{9}{14} + \frac{5}{7} = \frac{9}{14} + \frac{5 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{9}{14} + \frac{10}{14} = \frac{9+10}{14} = \frac{19}{14}$

2. Выполним умножение:
$5 \cdot \frac{19}{14} = \frac{5}{1} \cdot \frac{19}{14} = \frac{95}{14}$

3. Выполним деление. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$
Теперь выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь и сократив:
$\frac{4}{3} \div \frac{56}{75} = \frac{4}{3} \cdot \frac{75}{56} = \frac{4 \cdot 75}{3 \cdot 56} = \frac{1 \cdot 25}{1 \cdot 14} = \frac{25}{14}$

4. Выполним вычитание:
$\frac{95}{14} - \frac{25}{14} = \frac{95-25}{14} = \frac{70}{14}$

5. Сократим полученную дробь:
$\frac{70}{14} = 5$

Ответ: $5$

399. Решите уравнение:

1) $7\frac{3}{10} + \frac{25}{28}x = 8\frac{13}{35}$;

2) $\frac{3}{8}x + \frac{7}{12}x - \frac{5}{6}x = \frac{9}{32}$;

3) $2\frac{1}{3} : x - 1\frac{1}{6} = 1\frac{5}{9}$;

4) $2\frac{1}{3} : \left(x - 1\frac{1}{6}\right) = 1\frac{5}{9}$.

1) $7\frac{3}{10} + \frac{25}{28}x = 8\frac{13}{35}$

Перенесем $7\frac{3}{10}$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$\frac{25}{28}x = 8\frac{13}{35} - 7\frac{3}{10}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$8\frac{13}{35} = \frac{8 \cdot 35 + 13}{35} = \frac{280 + 13}{35} = \frac{293}{35}$

$7\frac{3}{10} = \frac{7 \cdot 10 + 3}{10} = \frac{73}{10}$

Подставим дроби в уравнение и найдем разность, приведя дроби к общему знаменателю 70 (НОК(35, 10) = 70):

$\frac{25}{28}x = \frac{293}{35} - \frac{73}{10} = \frac{293 \cdot 2}{35 \cdot 2} - \frac{73 \cdot 7}{10 \cdot 7} = \frac{586}{70} - \frac{511}{70} = \frac{75}{70}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{75}{70} = \frac{15}{14}$

Теперь уравнение имеет вид:

$\frac{25}{28}x = \frac{15}{14}$

Найдем $x$, разделив правую часть на коэффициент при $x$:

$x = \frac{15}{14} : \frac{25}{28} = \frac{15}{14} \cdot \frac{28}{25} = \frac{15 \cdot 28}{14 \cdot 25} = \frac{(3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 14)}{14 \cdot (5 \cdot 5)} = \frac{3 \cdot 2}{5} = \frac{6}{5}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$x = 1\frac{1}{5}$

Ответ: $1\frac{1}{5}$.

2) $\frac{3}{8}x + \frac{7}{12}x - \frac{5}{6}x = \frac{9}{32}$

Вынесем $x$ за скобки:

$(\frac{3}{8} + \frac{7}{12} - \frac{5}{6})x = \frac{9}{32}$

Выполним действия в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 24 (НОК(8, 12, 6) = 24):

$\frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} + \frac{7 \cdot 2}{12 \cdot 2} - \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{9}{24} + \frac{14}{24} - \frac{20}{24} = \frac{9 + 14 - 20}{24} = \frac{3}{24}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{3}{24} = \frac{1}{8}$

Уравнение принимает вид:

$\frac{1}{8}x = \frac{9}{32}$

Найдем $x$:

$x = \frac{9}{32} : \frac{1}{8} = \frac{9}{32} \cdot 8 = \frac{9 \cdot 8}{32} = \frac{9}{4}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$x = 2\frac{1}{4}$

Ответ: $2\frac{1}{4}$.

3) $2\frac{1}{3} : x - 1\frac{1}{6} = 1\frac{5}{9}$

В данном уравнении $2\frac{1}{3} : x$ является уменьшаемым. Чтобы его найти, нужно к разности прибавить вычитаемое:

$2\frac{1}{3} : x = 1\frac{5}{9} + 1\frac{1}{6}$

Преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби:

$2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$; $1\frac{5}{9} = \frac{14}{9}$; $1\frac{1}{6} = \frac{7}{6}$

Уравнение принимает вид:

$\frac{7}{3} : x = \frac{14}{9} + \frac{7}{6}$

Выполним сложение в правой части, приведя дроби к общему знаменателю 18 (НОК(9, 6) = 18):

$\frac{14 \cdot 2}{9 \cdot 2} + \frac{7 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{28}{18} + \frac{21}{18} = \frac{49}{18}$

Получаем уравнение:

$\frac{7}{3} : x = \frac{49}{18}$

Чтобы найти неизвестный делитель $x$, нужно делимое разделить на частное:

$x = \frac{7}{3} : \frac{49}{18} = \frac{7}{3} \cdot \frac{18}{49} = \frac{7 \cdot 18}{3 \cdot 49} = \frac{1 \cdot 6}{1 \cdot 7} = \frac{6}{7}$

Ответ: $\frac{6}{7}$.

4) $2\frac{1}{3} : (x - 1\frac{1}{6}) = 1\frac{5}{9}$

В данном уравнении выражение в скобках $(x - 1\frac{1}{6})$ является неизвестным делителем. Чтобы его найти, нужно делимое разделить на частное.

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$; $1\frac{1}{6} = \frac{7}{6}$; $1\frac{5}{9} = \frac{14}{9}$

Уравнение принимает вид:

$\frac{7}{3} : (x - \frac{7}{6}) = \frac{14}{9}$

Находим выражение в скобках:

$x - \frac{7}{6} = \frac{7}{3} : \frac{14}{9} = \frac{7}{3} \cdot \frac{9}{14} = \frac{7 \cdot 9}{3 \cdot 14} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \frac{3}{2}$

Теперь решаем простое уравнение:

$x - \frac{7}{6} = \frac{3}{2}$

Чтобы найти уменьшаемое $x$, нужно к разности прибавить вычитаемое:

$x = \frac{3}{2} + \frac{7}{6}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$x = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{7}{6} = \frac{9}{6} + \frac{7}{6} = \frac{16}{6}$

Сократим дробь и преобразуем ее в смешанное число:

$x = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$

Ответ: $2\frac{2}{3}$.