Страница 88 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

425. Прочитайте десятичную дробь:

1) $1.4$;

2) $16.7$;

3) $4.42$;

4) $3.254$;

5) $0.4$;

6) $0.04$;

7) $0.004$;

8) $4.02$;

9) $0.402$.

1) В дроби $1,4$ целая часть равна 1 (одна), а дробная часть — 4 десятых. Поэтому дробь читается как "одна целая четыре десятых".
Ответ: одна целая четыре десятых.

2) В дроби $16,7$ целая часть равна 16 (шестнадцать), а дробная часть — 7 десятых. Поэтому дробь читается как "шестнадцать целых семь десятых".
Ответ: шестнадцать целых семь десятых.

3) В дроби $4,42$ целая часть равна 4 (четыре), а дробная часть — 42 сотых. Поэтому дробь читается как "четыре целых сорок две сотых".
Ответ: четыре целых сорок две сотых.

4) В дроби $3,254$ целая часть равна 3 (три), а дробная часть — 254 тысячных. Поэтому дробь читается как "три целых двести пятьдесят четыре тысячных".
Ответ: три целых двести пятьдесят четыре тысячных.

5) В дроби $0,4$ целая часть равна 0 (ноль), а дробная часть — 4 десятых. Поэтому дробь читается как "ноль целых четыре десятых".
Ответ: ноль целых четыре десятых.

6) В дроби $0,04$ целая часть равна 0 (ноль), а дробная часть — 4 сотых. Поэтому дробь читается как "ноль целых четыре сотых".
Ответ: ноль целых четыре сотых.

7) В дроби $0,004$ целая часть равна 0 (ноль), а дробная часть — 4 тысячных. Поэтому дробь читается как "ноль целых четыре тысячных".
Ответ: ноль целых четыре тысячных.

8) В дроби $4,02$ целая часть равна 4 (четыре), а дробная часть — 2 сотых. Поэтому дробь читается как "четыре целых две сотых".
Ответ: четыре целых две сотых.

9) В дроби $0,402$ целая часть равна 0 (ноль), а дробная часть — 402 тысячных. Поэтому дробь читается как "ноль целых четыреста две тысячных".
Ответ: ноль целых четыреста две тысячных.

426. Какое число надо подставить вместо звёздочки, чтобы образовалось верное равенство:

1) $\frac{7}{*} = 0,7;$

2) $\frac{*}{10} = 0,6;$

3) $\frac{19}{*} = 0,19;$

4) $\frac{*}{100} = 0,08;$

5) $\frac{39}{*} = 0,0039;$

6) $\frac{*}{1000} = 0,025?$

1) В равенстве $\frac{7}{*} = 0.7$ звёздочка ($*$) обозначает неизвестный знаменатель (делитель). Чтобы найти неизвестный делитель, нужно числитель (делимое) разделить на частное.

$* = 7 \div 0.7$

Для выполнения деления на десятичную дробь, умножим делимое и делитель на 10, чтобы делитель стал целым числом:

$* = (7 \cdot 10) \div (0.7 \cdot 10) = 70 \div 7 = 10$

Проверка: $\frac{7}{10} = 0.7$.

Ответ: 10

2) В равенстве $\frac{*}{10} = 0.6$ звёздочка ($*$) обозначает неизвестный числитель (делимое). Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на знаменатель (делитель).

$* = 0.6 \cdot 10$

При умножении десятичной дроби на 10, запятая сдвигается на один знак вправо:

$* = 6$

Проверка: $\frac{6}{10} = 0.6$.

Ответ: 6

3) В равенстве $\frac{19}{*} = 0.19$ звёздочка ($*$) обозначает неизвестный знаменатель (делитель). Чтобы его найти, нужно числитель (делимое) разделить на частное.

$* = 19 \div 0.19$

Умножим делимое и делитель на 100, чтобы делитель стал целым числом:

$* = (19 \cdot 100) \div (0.19 \cdot 100) = 1900 \div 19 = 100$

Проверка: $\frac{19}{100} = 0.19$.

Ответ: 100

4) В равенстве $\frac{*}{100} = 0.08$ звёздочка ($*$) обозначает неизвестный числитель (делимое). Чтобы его найти, нужно частное умножить на знаменатель (делитель).

$* = 0.08 \cdot 100$

При умножении десятичной дроби на 100, запятая сдвигается на два знака вправо:

$* = 8$

Проверка: $\frac{8}{100} = 0.08$.

Ответ: 8

5) В равенстве $\frac{39}{*} = 0.0039$ звёздочка ($*$) обозначает неизвестный знаменатель (делитель). Чтобы его найти, нужно числитель (делимое) разделить на частное.

$* = 39 \div 0.0039$

Умножим делимое и делитель на 10000, чтобы делитель стал целым числом:

$* = (39 \cdot 10000) \div (0.0039 \cdot 10000) = 390000 \div 39 = 10000$

Проверка: $\frac{39}{10000} = 0.0039$.

Ответ: 10000

6) В равенстве $\frac{*}{1000} = 0.025$ звёздочка ($*$) обозначает неизвестный числитель (делимое). Чтобы его найти, нужно частное умножить на знаменатель (делитель).

$* = 0.025 \cdot 1000$

При умножении десятичной дроби на 1000, запятая сдвигается на три знака вправо:

$* = 25$

Проверка: $\frac{25}{1000} = 0.025$.

Ответ: 25

427. Запишите в виде десятичной дроби:

1) $6 \frac{27}{100};$

2) $17 \frac{24}{1000};$

3) $\frac{574}{1000};$

4) $5 \frac{1}{1000};$

5) $\frac{9}{100};$

6) $\frac{3}{10000}.$

1) Чтобы записать смешанное число $6 \frac{27}{100}$ в виде десятичной дроби, нужно к целой части, равной 6, прибавить дробную часть, представленную в виде десятичной дроби. Дробь $\frac{27}{100}$ читается как «двадцать семь сотых», что в десятичной записи равно 0,27. Таким образом, $6 \frac{27}{100} = 6 + 0,27 = 6,27$.
Ответ: 6,27.

2) Целая часть смешанного числа $17 \frac{24}{1000}$ равна 17. Для преобразования дробной части $\frac{24}{1000}$ в десятичную дробь, нужно обратить внимание на знаменатель 1000, который содержит три нуля. Это означает, что после запятой должно быть три цифры. Так как в числителе 24 всего две цифры, мы добавляем один ноль слева: 0,024. Складывая целую и дробную части, получаем $17 + 0,024 = 17,024$.
Ответ: 17,024.

3) Для преобразования обыкновенной дроби $\frac{574}{1000}$ в десятичную, нужно числитель 574 разделить на знаменатель 1000. Это эквивалентно сдвигу десятичной запятой в числе 574 на три знака влево (по числу нулей в знаменателе). Получаем 0,574.
Ответ: 0,574.

4) Целая часть числа $5 \frac{1}{1000}$ равна 5. Дробная часть $\frac{1}{1000}$ («одна тысячная») имеет в знаменателе 1000 (три нуля), поэтому в ее десятичной записи должно быть три цифры после запятой. Записываем числитель 1 и добавляем перед ним два нуля: 0,001. В результате получаем $5 + 0,001 = 5,001$.
Ответ: 5,001.

5) Чтобы записать дробь $\frac{9}{100}$ в виде десятичной, нужно посмотреть на знаменатель 100 (два нуля). Это значит, что в десятичной записи после запятой должно быть две цифры. Так как числитель 9 содержит только одну цифру, мы дописываем перед ним один ноль. Получается 0,09.
Ответ: 0,09.

6) В дроби $\frac{3}{10000}$ знаменатель 10000 содержит четыре нуля. Следовательно, в десятичной записи этой дроби после запятой должно быть четыре цифры. Записываем числитель 3 и дополняем его слева тремя нулями, чтобы получить нужное количество знаков. Получаем 0,0003.
Ответ: 0,0003.

428. Запишите в виде десятичной дроби:

1) $21 \frac{3}{10};$

2) $5 \frac{144}{1000};$

3) $1 \frac{5}{100};$

4) $2 \frac{4}{1000};$

5) $\frac{6}{1000};$

6) $2 \frac{5}{100000}.$

1) Чтобы записать смешанное число $21\frac{3}{10}$ в виде десятичной дроби, нужно целую часть, равную 21, записать перед запятой. Дробная часть $\frac{3}{10}$ означает три десятых. Так как в знаменателе стоит 10 (один ноль), после запятой будет одна цифра. Таким образом, $21\frac{3}{10} = 21,3$. Ответ: 21,3.

2) В смешанном числе $5\frac{144}{1000}$ целая часть равна 5. Дробная часть $\frac{144}{1000}$ означает сто сорок четыре тысячных. В знаменателе 1000 (три ноля), значит, после запятой должно быть три цифры. Числитель 144 как раз состоит из трех цифр. Получаем $5\frac{144}{1000} = 5,144$. Ответ: 5,144.

3) В числе $1\frac{5}{100}$ целая часть равна 1. Дробная часть $\frac{5}{100}$ означает пять сотых. В знаменателе 100 (два ноля), поэтому после запятой должно быть две цифры. Так как в числителе только одна цифра (5), перед ней нужно дописать один ноль. Получается 0,05. Таким образом, $1\frac{5}{100} = 1,05$. Ответ: 1,05.

4) В смешанном числе $2\frac{4}{1000}$ целая часть равна 2. Дробная часть $\frac{4}{1000}$ означает четыре тысячных. В знаменателе 1000 (три ноля), поэтому после запятой должно быть три цифры. Так как в числителе только одна цифра (4), перед ней нужно дописать два ноля. Получается 0,004. Таким образом, $2\frac{4}{1000} = 2,004$. Ответ: 2,004.

5) В дроби $\frac{6}{1000}$ целая часть отсутствует, то есть равна нулю. В знаменателе 1000 (три ноля), значит, после запятой должно быть три цифры. В числителе стоит цифра 6, поэтому перед ней дописываем два ноля. Получаем 0,006. Ответ: 0,006.

6) В смешанном числе $2\frac{5}{100000}$ целая часть равна 2. Дробная часть $\frac{5}{100000}$ означает пять стотысячных. В знаменателе 100 000 (пять нолей), поэтому после запятой должно быть пять цифр. В числителе стоит цифра 5, значит, перед ней нужно дописать четыре ноля. Получается 0,00005. Таким образом, $2\frac{5}{100000} = 2,00005$. Ответ: 2,00005.

429. Выделите целую и дробную части числа и запишите данное число в виде десятичной дроби:

1) $ \frac{47}{10}; $

2) $ \frac{978}{100}; $

3) $ \frac{9132}{1000}; $

4) $ \frac{1059}{1000}. $

1)

Рассмотрим дробь $\frac{47}{10}$.

Чтобы выделить целую и дробную части, нужно разделить числитель на знаменатель с остатком.$47 \div 10 = 4$ (остаток $7$).

Таким образом, целая часть равна $4$, а дробная часть — $\frac{7}{10}$. В виде смешанного числа это записывается как $4\frac{7}{10}$.

Чтобы записать число в виде десятичной дроби, нужно выполнить деление. Так как в знаменателе стоит $10$ (один ноль), в числителе $47$ нужно отделить запятой один знак справа:

$\frac{47}{10} = 4,7$.

Ответ: $4\frac{7}{10}$; $4,7$.

2)

Рассмотрим дробь $\frac{978}{100}$.

Выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель с остатком:$978 \div 100 = 9$ (остаток $78$).

Таким образом, целая часть равна $9$, а дробная часть — $\frac{78}{100}$. В виде смешанного числа это записывается как $9\frac{78}{100}$.

Чтобы записать число в виде десятичной дроби, разделим числитель на знаменатель. Так как в знаменателе стоит $100$ (два ноля), в числителе $978$ нужно отделить запятой два знака справа:

$\frac{978}{100} = 9,78$.

Ответ: $9\frac{78}{100}$; $9,78$.

3)

Рассмотрим дробь $\frac{9132}{1000}$.

Выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель с остатком:$9132 \div 1000 = 9$ (остаток $132$).

Таким образом, целая часть равна $9$, а дробная часть — $\frac{132}{1000}$. В виде смешанного числа это записывается как $9\frac{132}{1000}$.

Чтобы записать число в виде десятичной дроби, разделим числитель на знаменатель. Так как в знаменателе стоит $1000$ (три ноля), в числителе $9132$ нужно отделить запятой три знака справа:

$\frac{9132}{1000} = 9,132$.

Ответ: $9\frac{132}{1000}$; $9,132$.

4)

Рассмотрим дробь $\frac{1059}{1000}$.

Выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель с остатком:$1059 \div 1000 = 1$ (остаток $59$).

Таким образом, целая часть равна $1$, а дробная часть — $\frac{59}{1000}$. В виде смешанного числа это записывается как $1\frac{59}{1000}$.

Чтобы записать число в виде десятичной дроби, разделим числитель на знаменатель. Так как в знаменателе стоит $1000$ (три ноля), в числителе $1059$ нужно отделить запятой три знака справа:

$\frac{1059}{1000} = 1,059$.

Ответ: $1\frac{59}{1000}$; $1,059$.

430. Запишите в виде десятичной дроби частное:

1) $37 : 10;$

2) $3 : 10;$

3) $564 : 100;$

4) $2648 : 100;$

5) $3592 : 1000;$

6) $74 : 1000.$

1) Чтобы записать частное $37 : 10$ в виде десятичной дроби, нужно представить его в виде обыкновенной дроби со знаменателем 10, а затем преобразовать. При делении на 10 запятая в числе 37 (которая подразумевается после 7) сдвигается на один знак влево.
$37 : 10 = \frac{37}{10} = 3,7$.
Ответ: $3,7$.

2) Для частного $3 : 10$ действуем аналогично. Представим его в виде дроби $\frac{3}{10}$. Так как в числителе одна цифра, при сдвиге запятой влево перед ней нужно поставить 0.
$3 : 10 = \frac{3}{10} = 0,3$.
Ответ: $0,3$.

3) Чтобы записать частное $564 : 100$ в виде десятичной дроби, нужно в числе 564 сдвинуть запятую на два знака влево, так как мы делим на 100.
$564 : 100 = \frac{564}{100} = 5,64$.
Ответ: $5,64$.

4) Для частного $2648 : 100$ также сдвигаем запятую на два знака влево.
$2648 : 100 = \frac{2648}{100} = 26,48$.
Ответ: $26,48$.

5) При делении на 1000 запятая в исходном числе сдвигается на три знака влево.
$3592 : 1000 = \frac{3592}{1000} = 3,592$.
Ответ: $3,592$.

6) В частном $74 : 1000$ нам нужно сдвинуть запятую на три знака влево. В числе 74 всего две цифры, поэтому слева от него необходимо дописать один ноль, чтобы можно было отделить три знака.
$74 : 1000 = \frac{74}{1000} = 0,074$.
Ответ: $0,074$.

431. Запишите число в виде обыкновенной или смешанной дроби:

1) $46.52$;

2) $0.68$;

3) $0.234$;

4) $0.007$.

1) Чтобы преобразовать десятичное число 46,52 в смешанную дробь, нужно выделить целую и дробную части. Целая часть числа равна 46. Дробная часть 0,52 соответствует 52 сотым. Запишем это в виде дроби и сократим её.

$ 46,52 = 46\frac{52}{100} $

Сократим дробную часть $ \frac{52}{100} $. Наибольший общий делитель для 52 и 100 — это 4.

$ \frac{52 \div 4}{100 \div 4} = \frac{13}{25} $

Таким образом, получаем смешанную дробь.

Ответ: $ 46\frac{13}{25} $

2) Десятичное число 0,68 читается как "шестьдесят восемь сотых". Чтобы записать его в виде обыкновенной дроби, нужно число 68 записать в числитель, а 100 — в знаменатель.

$ 0,68 = \frac{68}{100} $

Теперь сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 68 и 100 — это 4.

$ \frac{68 \div 4}{100 \div 4} = \frac{17}{25} $

Ответ: $ \frac{17}{25} $

3) Десятичное число 0,234 читается как "двести тридцать четыре тысячных". Запишем его в виде обыкновенной дроби, где 234 — числитель, а 1000 — знаменатель.

$ 0,234 = \frac{234}{1000} $

Сократим эту дробь. Оба числа, числитель и знаменатель, являются четными, поэтому их можно разделить на 2.

$ \frac{234 \div 2}{1000 \div 2} = \frac{117}{500} $

У чисел 117 и 500 нет общих делителей кроме 1, поэтому дробь является несократимой.

Ответ: $ \frac{117}{500} $

4) Десятичное число 0,007 читается как "семь тысячных". Для преобразования в обыкновенную дробь запишем 7 в числитель, а 1000 в знаменатель.

$ 0,007 = \frac{7}{1000} $

Число 7 является простым, а 1000 на 7 не делится. Следовательно, эта дробь несократимая.

Ответ: $ \frac{7}{1000} $

432. Запишите число в виде обыкновенной или смешанной дроби:

1) 2,7; 2) 1,39; 3) 0,069; 4) 0,03.

1) 2,7;

Чтобы представить десятичное число 2,7 в виде смешанной дроби, мы выделяем целую часть и дробную часть. Целая часть – это 2. Дробная часть – 0,7, что означает «семь десятых». Записываем это как дробь $\frac{7}{10}$. Соединив целую и дробную части, получаем смешанную дробь.

$2,7 = 2\frac{7}{10}$

Ответ: $2\frac{7}{10}$

2) 1,39;

Для числа 1,39 целая часть равна 1. Дробная часть 0,39 означает «тридцать девять сотых», что записывается как $\frac{39}{100}$. Таким образом, мы получаем смешанную дробь.

$1,39 = 1\frac{39}{100}$

Ответ: $1\frac{39}{100}$

3) 0,069;

В десятичном числе 0,069 целая часть равна нулю, поэтому мы записываем его в виде обыкновенной дроби. Число 69 (цифры после запятой) становится числителем. Так как после запятой три цифры, знаменатель будет $10^3 = 1000$.

$0,069 = \frac{69}{1000}$

Ответ: $\frac{69}{1000}$

4) 0,03.

В числе 0,03 целая часть равна нулю. Дробная часть 0,03 означает «три сотых». Число 3 становится числителем. Так как после запятой две цифры, знаменатель будет $10^2 = 100$. В результате получаем обыкновенную дробь.

$0,03 = \frac{3}{100}$

Ответ: $\frac{3}{100}$

433. Среди чисел 5,2; 5,002; 5,02; 5,20; 5,200 укажите равные числа.

Чтобы найти равные числа среди десятичных дробей, необходимо сравнить их значения, используя основное свойство десятичной дроби. Свойство гласит, что значение десятичной дроби не изменится, если в конце её дробной части приписать или отбросить любое количество нулей.

Рассмотрим данные числа: 5,2; 5,002; 5,02; 5,20; 5,200.

Проанализируем каждое число, отбрасывая конечные нули в дробной части, чтобы привести их к простейшему виду:

1. Число 5,2 уже записано в простейшем виде.

2. В числе 5,002 нули находятся между запятой и значащей цифрой (2), а не в конце, поэтому их отбрасывать нельзя. Это число не равно 5,2.

3. В числе 5,02 ноль также находится между запятой и значащей цифрой (2), поэтому его нельзя отбросить. Это число не равно 5,2 и не равно 5,002.

4. У числа 5,20 в конце дробной части есть ноль. Мы можем его отбросить, при этом значение числа не изменится: $5,20 = 5,2$.

5. У числа 5,200 в конце дробной части есть два нуля. Мы можем их отбросить, и значение числа также не изменится: $5,200 = 5,2$.

Таким образом, после упрощения мы видим, что три числа из списка имеют одинаковое значение:

$5,2 = 5,20 = 5,200$

Ответ: равными являются числа 5,2; 5,20 и 5,200.

434. Сравните числа:

1) $8,3$ и $8,5;$

2) $4,4$ и $3,7;$

3) $9,4$ и $9,42;$

4) $1,59$ и $1,611;$

5) $0,4$ и $0,07;$

6) $6,4$ и $6,089.$

Для сравнения десятичных дробей используется правило поразрядного сравнения, слева направо.

1) Сравним числа 8,3 и 8,5.
Сначала сравниваем целые части чисел (цифры слева от запятой). У обоих чисел целая часть равна 8.
Поскольку целые части равны, сравниваем дробные части, начиная с первого знака после запятой (разряд десятых).
У числа 8,3 в разряде десятых стоит цифра 3.
У числа 8,5 в разряде десятых стоит цифра 5.
Так как $3 < 5$, то и число 8,3 меньше числа 8,5.
Ответ: $8,3 < 8,5$.

2) Сравним числа 4,4 и 3,7.
Сравниваем целые части чисел. У числа 4,4 целая часть равна 4, а у числа 3,7 целая часть равна 3.
Так как $4 > 3$, то число 4,4 больше числа 3,7. Дальнейшее сравнение дробных частей не требуется.
Ответ: $4,4 > 3,7$.

3) Сравним числа 9,4 и 9,42.
Сравниваем целые части: 9 = 9. Целые части равны.
Сравниваем разряд десятых: 4 = 4. Они также равны.
Чтобы продолжить сравнение, уравняем количество цифр после запятой, добавив ноль в конце числа 9,4. Получим 9,40. Значение числа при этом не изменится.
Теперь сравниваем разряд сотых у чисел 9,40 и 9,42.
У числа 9,40 в разряде сотых стоит 0.
У числа 9,42 в разряде сотых стоит 2.
Так как $0 < 2$, то $9,40 < 9,42$, а значит и $9,4 < 9,42$.
Ответ: $9,4 < 9,42$.

4) Сравним числа 1,59 и 1,611.
Сравниваем целые части: 1 = 1. Целые части равны.
Сравниваем разряд десятых. У числа 1,59 в разряде десятых стоит цифра 5. У числа 1,611 в разряде десятых стоит цифра 6.
Так как $5 < 6$, то число 1,59 меньше числа 1,611.
Ответ: $1,59 < 1,611$.

5) Сравним числа 0,4 и 0,07.
Сравниваем целые части: 0 = 0. Целые части равны.
Сравниваем разряд десятых. У числа 0,4 в разряде десятых стоит цифра 4. У числа 0,07 в разряде десятых стоит цифра 0.
Так как $4 > 0$, то число 0,4 больше числа 0,07.
Ответ: $0,4 > 0,07$.

6) Сравним числа 6,4 и 6,089.
Сравниваем целые части: 6 = 6. Целые части равны.
Сравниваем разряд десятых. У числа 6,4 в разряде десятых стоит цифра 4. У числа 6,089 в разряде десятых стоит цифра 0.
Так как $4 > 0$, то число 6,4 больше числа 6,089.
Ответ: $6,4 > 6,089$.

435. Сравните числа:

1) $38,6$ и $38,63$;

2) $28,358$ и $28,4$;

3) $0,072$ и $0,3$.

1) Сравним числа 38,6 и 38,63.
Для сравнения десятичных дробей сначала сравнивают их целые части. Целые части у обоих чисел одинаковы и равны 38.
Далее сравниваем дробные части поразрядно, слева направо. Для удобства можно уравнять количество знаков после запятой, добавив к числу 38,6 ноль в конце. Получим 38,60.
Теперь сравним 38,60 и 38,63.
Цифра в разряде десятых (первая после запятой) у обоих чисел одинакова — это 6.
Переходим к следующему разряду — сотым. У числа 38,60 в разряде сотых стоит 0, а у числа 38,63 — 3.
Поскольку $0 < 3$, то и число 38,60 меньше числа 38,63.
Следовательно, $38,6 < 38,63$.
Ответ: $38,6 < 38,63$.

2) Сравним числа 28,358 и 28,4.
Целые части этих чисел равны (28).
Сравниваем дробные части. Уравняем число знаков после запятой, дописав нули к числу 28,4. Получим 28,400.
Сравниваем числа 28,358 и 28,400.
Начинаем сравнение с разряда десятых. У числа 28,358 в этом разряде стоит цифра 3, а у числа 28,400 — цифра 4.
Так как $3 < 4$, то дальнейшее сравнение не требуется. Делаем вывод, что $28,358 < 28,400$.
Следовательно, $28,358 < 28,4$.
Ответ: $28,358 < 28,4$.

3) Сравним числа 0,072 и 0,3.
Целые части обоих чисел равны 0.
Сравниваем дробные части. Уравняем количество знаков после запятой: число 0,3 запишем как 0,300.
Теперь сравним 0,072 и 0,300.
Смотрим на цифры в разряде десятых. У первого числа это 0, у второго — 3.
Поскольку $0 < 3$, то $0,072 < 0,300$.
Следовательно, $0,072 < 0,3$.
Ответ: $0,072 < 0,3$.