Страница 94 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

505. Расстояние между двумя деревнями равно 13,8 км. Из этих деревень по дороге в одном направлении одновременно отправились пешеход и велосипедист. Пешеход шёл впереди со скоростью 5,2 км/ч. Через 1,5 ч после начала движения его догнал велосипедист. Найдите скорость велосипедиста.

Для нахождения скорости велосипедиста решим задачу по действиям.

1. Сначала определим, какое расстояние прошел пешеход за 1,5 часа. Для этого умножим его скорость на время:

$S_{пеш} = 5,2 \text{ км/ч} \cdot 1,5 \text{ ч} = 7,8 \text{ км}$.

2. В момент начала движения пешеход был впереди велосипедиста на 13,8 км. Чтобы догнать пешехода, велосипедисту пришлось проехать это начальное расстояние плюс то расстояние, которое пешеход успел пройти за 1,5 часа. Таким образом, общее расстояние, которое преодолел велосипедист, равно:

$S_{вел} = 13,8 \text{ км} + 7,8 \text{ км} = 21,6 \text{ км}$.

3. Теперь, зная, что велосипедист проехал 21,6 км за 1,5 часа, мы можем найти его скорость. Для этого разделим пройденное им расстояние на время в пути:

$v_{вел} = \frac{S_{вел}}{t} = \frac{21,6 \text{ км}}{1,5 \text{ ч}} = 14,4 \text{ км/ч}$.

Ответ: 14,4 км/ч.

506. Какие цифры можно поставить вместо звёздочек, чтобы образовалось верное неравенство (в правой и левой частях неравенства звёздочкой обозначена одна и та же цифра):

1) $0,*3 > 0,5*$;

2) $0,*5 < 0,5*$?

1) Рассмотрим неравенство $0,*3 > 0,5*$.
Обозначим цифру, стоящую на месте звездочки, через $x$. Тогда неравенство примет вид $0,x3 > 0,5x$.
Для сравнения десятичных дробей последовательно сравнивают их разряды, начиная со старшего (слева направо).
Целые части обеих дробей равны нулю.
Сравним цифры в разряде десятых: $x$ и 5.
- Если $x > 5$, то левая часть неравенства будет больше правой, независимо от цифр в разряде сотых. Это верно для $x \in \{6, 7, 8, 9\}$. Например, при $x=6$ получаем $0,63 > 0,56$, что верно.
- Если $x = 5$, неравенство примет вид $0,53 > 0,55$. Так как цифры в разряде десятых равны, сравниваем цифры в разряде сотых: $3 < 5$. Следовательно, $0,53 < 0,55$, и исходное неравенство неверно. Значит, $x=5$ не подходит.
- Если $x < 5$, то левая часть неравенства будет меньше правой, так как ее цифра в разряде десятых меньше. Например, при $x=4$ получаем $0,43 > 0,54$, что неверно. Значит, цифры $0, 1, 2, 3, 4$ не подходят.
Таким образом, подходят только цифры, которые больше 5.
Ответ: 6, 7, 8, 9.

2) Рассмотрим неравенство $0,*5 < 0,5*$.
Обозначим цифру, стоящую на месте звездочки, через $x$. Тогда неравенство примет вид $0,x5 < 0,5x$.
Целые части дробей равны нулю.
Сравним цифры в разряде десятых: $x$ и 5.
- Если $x < 5$, то левая часть неравенства будет меньше правой, независимо от цифр в разряде сотых. Это верно для $x \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$. Например, при $x=4$ получаем $0,45 < 0,54$, что верно.
- Если $x = 5$, неравенство примет вид $0,55 < 0,55$. Это неверно, так как числа равны. Значит, $x=5$ не подходит.
- Если $x > 5$, то левая часть неравенства будет больше правой, так как ее цифра в разряде десятых больше. Например, при $x=6$ получаем $0,65 < 0,56$, что неверно. Значит, цифры $6, 7, 8, 9$ не подходят.
Таким образом, подходят только цифры, которые меньше 5.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.

507. Какие цифры можно поставить вместо звёздочек, чтобы образовалось верное неравенство (в правой и левой частях неравенства звёздочкой обозначена одна и та же цифра):

1) $0,8*6 < 0,*74;$

2) $6,7* < 6,*8?$

1) $0,8*6 < 0,*74$

Для решения этой задачи необходимо поразрядно сравнить числа слева и справа. Обозначим искомую цифру за $x$. Тогда неравенство будет выглядеть так: $0,8x6 < 0,x74$.

Целые части обоих чисел равны 0. Сравниваем цифры в разряде десятых. В левой части это 8, в правой — $x$.

Чтобы неравенство было верным, число слева должно быть меньше числа справа. Это возможно в двух случаях:

1. Цифра в разряде десятых у левого числа меньше, чем у правого: $8 < x$. Единственная цифра, удовлетворяющая этому условию, — это 9. Если подставить 9, получим $0,896 < 0,974$, что является верным неравенством.
2. Цифры в разряде десятых равны: $x = 8$. В этом случае нужно сравнить цифры в разряде сотых. Неравенство примет вид $0,886 < 0,874$. Сравнивая цифры в разряде сотых, получаем $8 < 7$, что является ложным. Значит, цифра 8 не подходит.

Таким образом, подходит только одна цифра.

Ответ: 9.

2) $6,7* < 6,*8$

Обозначим искомую цифру за $x$. Неравенство примет вид: $6,7x < 6,x8$.

Целые части чисел равны 6. Сравниваем цифры в разряде десятых. В левой части это 7, в правой — $x$.

Рассмотрим возможные случаи:

1. Цифра в разряде десятых у левого числа меньше, чем у правого: $7 < x$. Этому условию удовлетворяют цифры 8 и 9.
   • Если $x = 8$, получаем $6,78 < 6,88$. Это верно.
   • Если $x = 9$, получаем $6,79 < 6,98$. Это верно.
2. Цифры в разряде десятых равны: $x = 7$. Тогда нужно сравнить цифры в разряде сотых. Неравенство примет вид $6,77 < 6,78$. Сравнивая цифры в разряде сотых, получаем $7 < 8$, что является верным. Значит, цифра 7 тоже подходит.
3. Если цифра в разряде десятых у левого числа больше, чем у правого ($7 > x$), то неравенство будет неверным.

Следовательно, подходят цифры 7, 8 и 9.

Ответ: 7, 8, 9.

508. Найдите значение выражения, предварительно выразив величины в указанных единицах измерения:

1) в метрах: $34 \text{ дм} + 84,6 \text{ см};$

2) в тоннах: $261,5 \text{ кг} + 2,6 \text{ ц};$

3) в дециметрах: $3,4 \text{ дм} - 8,9 \text{ см};$

4) в арах: $5,6 \text{ а} - 15,7 \text{ м}^2.$

1) в метрах: 34 дм + 84,6 см;

Чтобы найти значение выражения, необходимо сначала перевести все величины в метры.

Мы знаем, что в одном метре 10 дециметров ($1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$), следовательно, $1 \text{ дм} = 0,1 \text{ м}$.

Переведем 34 дм в метры:

$34 \text{ дм} = 34 \times 0,1 \text{ м} = 3,4 \text{ м}$.

Также мы знаем, что в одном метре 100 сантиметров ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$), следовательно, $1 \text{ см} = 0,01 \text{ м}$.

Переведем 84,6 см в метры:

$84,6 \text{ см} = 84,6 \times 0,01 \text{ м} = 0,846 \text{ м}$.

Теперь сложим полученные значения:

$3,4 \text{ м} + 0,846 \text{ м} = 4,246 \text{ м}$.

Ответ: 4,246 м.

2) в тоннах: 261,5 кг + 2,6 ц;

Для решения этой задачи переведем все величины в тонны.

Мы знаем, что в одной тонне 1000 килограммов ($1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$), следовательно, $1 \text{ кг} = 0,001 \text{ т}$.

Переведем 261,5 кг в тонны:

$261,5 \text{ кг} = 261,5 \times 0,001 \text{ т} = 0,2615 \text{ т}$.

Также мы знаем, что в одной тонне 10 центнеров ($1 \text{ т} = 10 \text{ ц}$), следовательно, $1 \text{ ц} = 0,1 \text{ т}$.

Переведем 2,6 ц в тонны:

$2,6 \text{ ц} = 2,6 \times 0,1 \text{ т} = 0,26 \text{ т}$.

Теперь сложим полученные значения:

$0,2615 \text{ т} + 0,26 \text{ т} = 0,5215 \text{ т}$.

Ответ: 0,5215 т.

3) в дециметрах: 3,4 дм - 8,9 см;

Чтобы найти значение выражения, необходимо перевести все величины в дециметры.

Первая величина уже дана в дециметрах: $3,4 \text{ дм}$.

Мы знаем, что в одном дециметре 10 сантиметров ($1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$), следовательно, $1 \text{ см} = 0,1 \text{ дм}$.

Переведем 8,9 см в дециметры:

$8,9 \text{ см} = 8,9 \times 0,1 \text{ дм} = 0,89 \text{ дм}$.

Теперь выполним вычитание:

$3,4 \text{ дм} - 0,89 \text{ дм} = 2,51 \text{ дм}$.

Ответ: 2,51 дм.

4) в арах: 5,6 а - 15,7 м²;

Для решения этой задачи переведем все величины в ары.

Первая величина уже дана в арах: $5,6 \text{ а}$.

Мы знаем, что один ар (сотка) равен 100 квадратным метрам ($1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2$), следовательно, $1 \text{ м}^2 = 0,01 \text{ а}$.

Переведем 15,7 м² в ары:

$15,7 \text{ м}^2 = 15,7 \times 0,01 \text{ а} = 0,157 \text{ а}$.

Теперь выполним вычитание:

$5,6 \text{ а} - 0,157 \text{ а} = 5,443 \text{ а}$.

Ответ: 5,443 а.

509. Найдите значение выражения, предварительно выразив величины в указанных единицах измерения:

1) в сантиметрах: $9.2 \text{ см} + 78 \text{ мм}$;

2) в килограммах: $8.6 \text{ кг} - 740 \text{ г}$.

1) в сантиметрах: 9,2 см + 78 мм

Чтобы найти значение данного выражения, необходимо привести обе величины к одной единице измерения — сантиметрам. Первое слагаемое (9,2 см) уже дано в сантиметрах.

Переведем второе слагаемое (78 мм) в сантиметры. Известно, что в одном сантиметре 10 миллиметров:

$1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$

Следовательно, чтобы перевести миллиметры в сантиметры, нужно разделить их количество на 10:

$78 \text{ мм} = \frac{78}{10} \text{ см} = 7,8 \text{ см}$

Теперь выполним сложение величин, выраженных в сантиметрах:

$9,2 \text{ см} + 7,8 \text{ см} = 17,0 \text{ см}$

Ответ: 17 см.

2) в килограммах: 8,6 кг – 740 г

Чтобы найти значение этого выражения, необходимо привести обе величины к одной единице измерения — килограммам. Уменьшаемое (8,6 кг) уже дано в килограммах.

Переведем вычитаемое (740 г) в килограммы. Известно, что в одном килограмме 1000 граммов:

$1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$

Следовательно, чтобы перевести граммы в килограммы, нужно разделить их количество на 1000:

$740 \text{ г} = \frac{740}{1000} \text{ кг} = 0,74 \text{ кг}$

Теперь выполним вычитание величин, выраженных в килограммах:

$8,6 \text{ кг} - 0,74 \text{ кг} = 8,60 \text{ кг} - 0,74 \text{ кг} = 7,86 \text{ кг}$

Ответ: 7,86 кг.

510. Найдите разность двух чисел, если вычитаемое равно 8,4 и составляет 0,14 уменьшаемого.

Для решения этой задачи необходимо выполнить два действия: сначала найти уменьшаемое, а затем вычислить разность.

Обозначим уменьшаемое буквой $x$. По условию, вычитаемое равно 8,4, и это же число составляет 0,14 от уменьшаемого $x$. Мы можем составить уравнение:

$0.14 \cdot x = 8.4$

Теперь найдем $x$, разделив 8,4 на 0,14:

$x = \frac{8.4}{0.14}$

Чтобы упростить деление, умножим числитель и знаменатель на 100:

$x = \frac{8.4 \cdot 100}{0.14 \cdot 100} = \frac{840}{14} = 60$

Итак, уменьшаемое равно 60.

Теперь, когда мы знаем и уменьшаемое (60), и вычитаемое (8,4), мы можем найти их разность:

Разность = Уменьшаемое - Вычитаемое

$60 - 8.4 = 51.6$

Ответ: 51,6

511. Найдите сумму двух чисел, если одно слагаемое равно 14,4 и составляет 0,24 другого слагаемого.

Пусть первое слагаемое равно $a$, а второе слагаемое равно $b$.

Согласно условию задачи, нам известно значение первого слагаемого:
$a = 14,4$

Также по условию, первое слагаемое составляет 0,24 от второго. Это можно записать в виде математического выражения:
$a = 0,24 \cdot b$

Теперь мы можем найти второе слагаемое $b$, подставив известное значение $a$ в это выражение:
$14,4 = 0,24 \cdot b$

Чтобы найти $b$, нужно разделить 14,4 на 0,24:
$b = \frac{14,4}{0,24}$

Для удобства вычислений избавимся от дробей в делителе, умножив и числитель, и знаменатель на 100:
$b = \frac{14,4 \cdot 100}{0,24 \cdot 100} = \frac{1440}{24} = 60$

Итак, второе слагаемое равно 60.

Теперь найдем сумму двух чисел, сложив первое и второе слагаемые:
Сумма = $a + b = 14,4 + 60 = 74,4$

Ответ: 74,4

512. Из чисел 20, 45, 50, 125, 64, 505 выберите те, разложение которых на простые множители содержит только числа 2 и 5.

Чтобы выбрать из предложенного списка числа, разложение которых на простые множители содержит только числа 2 и 5, необходимо последовательно разложить каждое число на простые множители и проверить их состав.

1. Разложим число 20 на простые множители:
$20 = 2 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$.
Простые множители этого числа – 2 и 5. Следовательно, число 20 удовлетворяет условию.

2. Разложим число 45 на простые множители:
$45 = 5 \cdot 9 = 5 \cdot 3 \cdot 3 = 3^2 \cdot 5$.
В разложении присутствует простой множитель 3. Следовательно, число 45 не удовлетворяет условию.

3. Разложим число 50 на простые множители:
$50 = 2 \cdot 25 = 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2 \cdot 5^2$.
Простые множители этого числа – 2 и 5. Следовательно, число 50 удовлетворяет условию.

4. Разложим число 125 на простые множители:
$125 = 5 \cdot 25 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$.
Единственный простой множитель этого числа – 5. Следовательно, число 125 удовлетворяет условию.

5. Разложим число 64 на простые множители:
$64 = 2 \cdot 32 = 2 \cdot 2 \cdot 16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 8 = 2^6$.
Единственный простой множитель этого числа – 2. Следовательно, число 64 удовлетворяет условию.

6. Разложим число 505 на простые множители:
$505 = 5 \cdot 101$.
В разложении присутствует простой множитель 101. Следовательно, число 505 не удовлетворяет условию.

Таким образом, из предложенного списка условию удовлетворяют числа 20, 50, 125 и 64.

Ответ: 20, 50, 125, 64.

513. Можно ли несократимую дробь со знаменателем 3 привести к дроби со знаменателем 10? 100? 1000? Ответ обоснуйте.

Чтобы привести дробь с одним знаменателем к дроби с другим (большим) знаменателем, необходимо умножить числитель и знаменатель исходной дроби на одно и то же натуральное число. Это возможно только в том случае, если новый знаменатель делится нацело на исходный знаменатель.

В данной задаче исходный знаменатель равен 3. Чтобы привести несократимую дробь со знаменателем 3 к дробям со знаменателями 10, 100 или 1000, необходимо, чтобы эти числа делились на 3 без остатка.

Проверим это, используя признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Можно ли привести к дроби со знаменателем 10?

Для числа 10 сумма цифр равна $1 + 0 = 1$. Число 1 не делится на 3, следовательно, и 10 не делится на 3. Таким образом, нельзя найти такое натуральное число $k$, при умножении на которое знаменатель 3 стал бы равен 10 (т.е. $3 \cdot k = 10$).
Ответ: нет.

Можно ли привести к дроби со знаменателем 100?

Для числа 100 сумма цифр равна $1 + 0 + 0 = 1$. Число 1 не делится на 3, следовательно, и 100 не делится на 3.
Ответ: нет.

Можно ли привести к дроби со знаменателем 1000?

Для числа 1000 сумма цифр равна $1 + 0 + 0 + 0 = 1$. Число 1 не делится на 3, следовательно, и 1000 не делится на 3.
Ответ: нет.

Обобщение. Ни одно из чисел 10, 100, 1000 не делится нацело на 3. Поэтому несократимую дробь со знаменателем 3 невозможно привести к дроби с каким-либо из этих знаменателей путем домножения на целое число. Условие несократимости дроби важно, так как оно исключает возможность предварительного сокращения дроби (например, дробь $\frac{6}{3}$ сократима, она равна 2, и ее можно представить как $\frac{20}{10}$).

514. В некотором невисокосном году 53 субботы. Какой день недели выпадает на 14 февраля?

В невисокосном году 365 дней. Чтобы определить, сколько раз в году встречается каждый день недели, разделим общее количество дней на 7 (количество дней в неделе):
$365 = 52 \times 7 + 1$.
Это означает, что в невисокосном году 52 полные недели и еще 1 день. Следовательно, каждый день недели встречается 52 раза, и один день недели встречается 53 раза. Этот 53-й раз приходится на тот день недели, с которого начался год.

По условию задачи, в году было 53 субботы. Это значит, что год начался в субботу, то есть 1 января была суббота.

Теперь определим, какой по счету день в году — 14 февраля. Январь имеет 31 день. Таким образом, 14 февраля — это $31 + 14 = 45$-й день года.

Чтобы найти день недели 45-го дня, зная, что 1-й день — суббота, мы можем использовать цикличность дней недели. Дни недели повторяются каждые 7 дней. Найдем остаток от деления 45 на 7:
$45 \div 7 = 6$ (остаток 3).
Это значит, что день недели 45-го дня совпадает с днем недели 3-го дня года. Рассчитаем дни:
1-й день года — суббота.
2-й день года — воскресенье.
3-й день года — понедельник.
Следовательно, 14 февраля выпадает на понедельник.

Ответ: понедельник.