Страница 87 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Чему равно значение выражения:

1) $(1 - \frac{3}{4}) \cdot 12;$

2) $(1 - \frac{1}{7}) : 6?$

1) $\left(1-\frac{3}{4}\right)\cdot12$

Чтобы решить это выражение, сначала выполним действие в скобках. Для этого нужно из 1 вычесть $\frac{3}{4}$. Представим 1 как дробь со знаменателем 4:

$1 = \frac{4}{4}$

Теперь выполним вычитание:

$1-\frac{3}{4} = \frac{4}{4}-\frac{3}{4} = \frac{4-3}{4} = \frac{1}{4}$

Следующим шагом умножим полученный результат на 12:

$\frac{1}{4}\cdot12 = \frac{1 \cdot 12}{4} = \frac{12}{4} = 3$

Ответ: 3

2) $\left(1-\frac{1}{7}\right):6$

Сначала выполним вычитание в скобках. Представим 1 в виде дроби со знаменателем 7:

$1 = \frac{7}{7}$

Теперь вычтем дроби:

$1-\frac{1}{7} = \frac{7}{7}-\frac{1}{7} = \frac{7-1}{7} = \frac{6}{7}$

Теперь разделим полученную дробь на 6. Деление на число равносильно умножению на число, обратное ему (то есть на $\frac{1}{6}$):

$\frac{6}{7}:6 = \frac{6}{7}\cdot\frac{1}{6} = \frac{6 \cdot 1}{7 \cdot 6}$

Сократим 6 в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{6}}{7}\cdot\frac{1}{\cancel{6}} = \frac{1}{7}$

Ответ: $\frac{1}{7}$

2. Упростите выражение:

1) $3a \cdot \frac{1}{6}b;$

2) $8x \cdot \frac{1}{24}y.$

1) Чтобы упростить выражение $3a \cdot \frac{1}{6}b$, необходимо перемножить числовые коэффициенты и переменные. Воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами умножения, чтобы сгруппировать их:

$3a \cdot \frac{1}{6}b = (3 \cdot \frac{1}{6}) \cdot (a \cdot b)$

Теперь вычислим произведение числовых коэффициентов:

$3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{3}{1} \cdot \frac{1}{6} = \frac{3}{6}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$\frac{3}{6} = \frac{3 \div 3}{6 \div 3} = \frac{1}{2}$

Теперь объединим полученный коэффициент с произведением переменных:

$\frac{1}{2}ab$

Ответ: $\frac{1}{2}ab$

2) Для упрощения выражения $8x \cdot \frac{1}{24}y$ поступим аналогичным образом. Сгруппируем и перемножим числовые коэффициенты и переменные отдельно:

$8x \cdot \frac{1}{24}y = (8 \cdot \frac{1}{24}) \cdot (x \cdot y)$

Найдем произведение числовых коэффициентов:

$8 \cdot \frac{1}{24} = \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{24} = \frac{8}{24}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 8 и 24 равен 8. Разделим на него числитель и знаменатель:

$\frac{8}{24} = \frac{8 \div 8}{24 \div 8} = \frac{1}{3}$

Результатом является коэффициент $\frac{1}{3}$. Умножим его на произведение переменных:

$\frac{1}{3}xy$

Ответ: $\frac{1}{3}xy$

3. Решите уравнение:

1) $ \frac{1}{5}x = 5; $

2) $ 7 : x = \frac{1}{7}. $

Дано уравнение: $\frac{1}{5}x = 5$.

В данном уравнении $x$ — это неизвестный множитель. Чтобы его найти, необходимо произведение (5) разделить на известный множитель ($\frac{1}{5}$).

$x = 5 : \frac{1}{5}$

Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю (то есть на перевернутую дробь):

$x = 5 \cdot \frac{5}{1} = 25$

Проверим результат, подставив значение $x$ в исходное уравнение:

$\frac{1}{5} \cdot 25 = \frac{25}{5} = 5$

$5 = 5$

Равенство верно, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: 25

Дано уравнение: $7 : x = \frac{1}{7}$.

В данном уравнении $x$ — это неизвестный делитель. Чтобы его найти, необходимо делимое (7) разделить на частное ($\frac{1}{7}$).

$x = 7 : \frac{1}{7}$

Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю:

$x = 7 \cdot \frac{7}{1} = 49$

Проверим результат, подставив значение $x$ в исходное уравнение:

$7 : 49 = \frac{7}{49} = \frac{1}{7}$

$\frac{1}{7} = \frac{1}{7}$

Равенство верно, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: 49

4. Значение какого из данных произведений делится нацело на 8:

1) $12 \cdot 5$;

2) $4 \cdot 66$;

3) $18 \cdot 6$?

Чтобы определить, значение какого из произведений делится нацело на 8, нужно проверить каждый из предложенных вариантов. Делимость на 8 означает, что при делении числа на 8 в остатке получается 0.

1) $12 \cdot 5$

Сначала вычислим значение произведения:

$12 \cdot 5 = 60$.

Теперь проверим, делится ли 60 на 8 без остатка:

$60 \div 8 = 7$ (остаток 4).

Так как есть остаток, произведение $12 \cdot 5$ не делится нацело на 8.

Ответ: не делится.

2) $4 \cdot 66$

Вычислим значение произведения:

$4 \cdot 66 = 264$.

Проверим, делится ли 264 на 8 без остатка. Для этого можно выполнить деление в столбик или заметить, что $264 = 240 + 24$. Оба слагаемых делятся на 8:

$264 \div 8 = (240 + 24) \div 8 = 240 \div 8 + 24 \div 8 = 30 + 3 = 33$.

Так как результат деления — целое число, произведение $4 \cdot 66$ делится нацело на 8.

Ответ: делится.

3) $18 \cdot 6$

Вычислим значение произведения:

$18 \cdot 6 = 108$.

Проверим, делится ли 108 на 8 без остатка:

$108 \div 8 = 13$ (остаток 4).

Так как есть остаток, произведение $18 \cdot 6$ не делится нацело на 8.

Ответ: не делится.

Таким образом, единственное произведение, значение которого делится нацело на 8, это $4 \cdot 66$.

5. Можно ли сократить на 3 дробь:

1) $\frac{285}{341}$;

2) $\frac{1902}{2754}$?

Чтобы дробь можно было сократить на 3, необходимо, чтобы и ее числитель, и ее знаменатель делились на 3. Воспользуемся признаком делимости на 3: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

1) $\frac{285}{341}$

Проверим числитель 285. Сумма его цифр равна $2 + 8 + 5 = 15$. Число 15 делится на 3, следовательно, 285 делится на 3.

Проверим знаменатель 341. Сумма его цифр равна $3 + 4 + 1 = 8$. Число 8 не делится на 3, следовательно, 341 не делится на 3.

Так как знаменатель дроби не делится на 3, то всю дробь сократить на 3 нельзя.

Ответ: нельзя.

2) $\frac{1902}{2754}$

Проверим числитель 1902. Сумма его цифр равна $1 + 9 + 0 + 2 = 12$. Число 12 делится на 3, следовательно, 1902 делится на 3.

Проверим знаменатель 2754. Сумма его цифр равна $2 + 7 + 5 + 4 = 18$. Число 18 делится на 3, следовательно, 2754 делится на 3.

Так как и числитель, и знаменатель дроби делятся на 3, то всю дробь можно сократить на 3.

Ответ: можно.

6. Сократимой или несократимой дробью является значение выражения $ \frac{4563}{10^3-1} $?

Для того чтобы определить, является ли значение выражения сократимой или несократимой дробью, нужно выяснить, имеют ли числитель и знаменатель этой дроби общие делители, отличные от 1.

Рассмотрим выражение $\frac{4563}{10^3 - 1}$.

Сначала упростим знаменатель:$10^3 - 1 = 1000 - 1 = 999$.

Таким образом, нам нужно проанализировать дробь $\frac{4563}{999}$.

Дробь является сократимой, если ее числитель и знаменатель имеют общий делитель больше 1. Воспользуемся признаками делимости, чтобы найти общие делители.

Проверим делимость на 3. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

• Для числителя 4563: сумма цифр равна $4 + 5 + 6 + 3 = 18$. Так как 18 делится на 3, то и число 4563 делится на 3.
• Для знаменателя 999: сумма цифр равна $9 + 9 + 9 = 27$. Так как 27 делится на 3, то и число 999 делится на 3.

Поскольку и числитель, и знаменатель делятся на 3, у них есть общий делитель, равный 3. Этого достаточно, чтобы утверждать, что дробь является сократимой.

Можно также найти наибольший общий делитель (НОД) этих чисел, чтобы полностью сократить дробь.$999 = 9 \times 111 = 9 \times 3 \times 37 = 3^3 \times 37$.Проверим, делится ли 4563 на 27 ($3^3$):Сумма цифр 4563 равна 18, что делится на 9. Значит, 4563 делится на 9.$4563 \div 9 = 507$.Сумма цифр 507 равна $5 + 0 + 7 = 12$, что делится на 3. Значит, 507 делится на 3.$507 \div 3 = 169$.Следовательно, $4563 = 9 \times 507 = 9 \times 3 \times 169 = 27 \times 169$.

Теперь мы можем сократить дробь:$\frac{4563}{999} = \frac{27 \times 169}{27 \times 37} = \frac{169}{37}$.

Так как исходная дробь была успешно сокращена, она является сократимой.

Ответ: сократимой.