Страница 84 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

400. Решите уравнение:

1) $\frac{11}{18} - \frac{14}{27} x = \frac{5}{12}$;

2) $\frac{1}{3} x + \frac{1}{4} x + \frac{1}{5} x = 1\frac{19}{75}$.

1)
Исходное уравнение: $\frac{11}{18} - \frac{14}{27}x = \frac{5}{12}$.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое $\frac{14}{27}x$, нужно из уменьшаемого $\frac{11}{18}$ вычесть разность $\frac{5}{12}$.
$\frac{14}{27}x = \frac{11}{18} - \frac{5}{12}$
Приведем дроби в правой части к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 18 и 12 равно 36.
$\frac{14}{27}x = \frac{11 \cdot 2}{18 \cdot 2} - \frac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3}$
$\frac{14}{27}x = \frac{22}{36} - \frac{15}{36}$
$\frac{14}{27}x = \frac{7}{36}$
Теперь найдем $x$. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение $\frac{7}{36}$ разделить на известный множитель $\frac{14}{27}$.
$x = \frac{7}{36} \div \frac{14}{27}$
Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь:
$x = \frac{7}{36} \cdot \frac{27}{14}$
Сократим дроби перед умножением: 7 и 14 делим на 7; 36 и 27 делим на 9.
$x = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{2}$
$x = \frac{3}{8}$
Ответ: $x = \frac{3}{8}$.

2)
Исходное уравнение: $\frac{1}{3}x + \frac{1}{4}x + \frac{1}{5}x = 1\frac{19}{75}$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки в левой части уравнения:
$x \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\right) = 1\frac{19}{75}$
Сложим дроби в скобках. Наименьшее общее кратное для 3, 4 и 5 равно 60.
$\frac{1 \cdot 20}{60} + \frac{1 \cdot 15}{60} + \frac{1 \cdot 12}{60} = \frac{20+15+12}{60} = \frac{47}{60}$
Уравнение принимает вид:
$\frac{47}{60}x = 1\frac{19}{75}$
Преобразуем смешанное число в правой части в неправильную дробь:
$1\frac{19}{75} = \frac{1 \cdot 75 + 19}{75} = \frac{94}{75}$
Теперь уравнение выглядит так:
$\frac{47}{60}x = \frac{94}{75}$
Найдем $x$, разделив произведение $\frac{94}{75}$ на известный множитель $\frac{47}{60}$.
$x = \frac{94}{75} \div \frac{47}{60}$
$x = \frac{94}{75} \cdot \frac{60}{47}$
Сократим дроби: 94 и 47 делим на 47; 75 и 60 делим на 15.
$x = \frac{2}{5} \cdot \frac{4}{1}$
$x = \frac{8}{5}$
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$x = 1\frac{3}{5}$
Ответ: $x = 1\frac{3}{5}$.

401. Автомобиль едет со скоростью $75 \text{ км}/\text{ч}$. Выразите скорость автомобиля в метрах в минуту.

Чтобы выразить скорость из километров в час (км/ч) в метры в минуту (м/мин), нужно выполнить два преобразования: перевести километры в метры и часы в минуты.

1. Перевод километров в метры.

В одном километре содержится 1000 метров. Поэтому, чтобы перевести 75 км в метры, нужно умножить это значение на 1000.

$75 \text{ км} = 75 \times 1000 \text{ м} = 75000 \text{ м}$

2. Перевод часов в минуты.

В одном часе содержится 60 минут.

$1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$

3. Расчет новой скорости.

Теперь мы знаем, что автомобиль проезжает 75000 метров за 60 минут. Чтобы найти скорость в метрах в минуту, нужно разделить расстояние в метрах на время в минутах:

$\text{Скорость} = \frac{75000 \text{ м}}{60 \text{ мин}}$

Выполним вычисление:

$\frac{75000}{60} = \frac{7500}{6} = 1250 \text{ м/мин}$

Таким образом, скорость автомобиля составляет 1250 метров в минуту.

Ответ: $1250 \text{ м/мин}$.

402. Велосипедист едет со скоростью 15 км/ч. Выразите скорость велосипедиста в метрах в секунду.

Чтобы выразить скорость из километров в час (км/ч) в метры в секунду (м/с), необходимо перевести километры в метры, а часы — в секунды.

1. Сначала переведем расстояние. Мы знаем, что в одном километре содержится 1000 метров. Следовательно, 15 километров — это:

$15 \ км = 15 \times 1000 \ м = 15000 \ м$

2. Теперь переведем время. В одном часе 60 минут, а в каждой минуте — 60 секунд. Значит, в одном часе:

$1 \ ч = 60 \ мин \times 60 \ с = 3600 \ с$

3. Теперь, когда у нас есть расстояние в метрах и время в секундах, мы можем найти скорость в м/с, разделив расстояние на время:

$Скорость = \frac{15000 \ м}{3600 \ с}$

Сократим полученную дробь для упрощения:

$\frac{15000}{3600} = \frac{150}{36}$

Далее сократим дробь $\frac{150}{36}$, разделив числитель и знаменатель на 6:

$\frac{150 \div 6}{36 \div 6} = \frac{25}{6}$

Полученную неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа:

$\frac{25}{6} = 4 \frac{1}{6} \ м/с$

Ответ: $4 \frac{1}{6}$ м/с.

403. Длина трамвайного маршрута $15\frac{3}{4}$ км. На маршруте есть 12 остановок, на каждой из которых трамвай стоит $1\frac{1}{6}$ мин. За какое время трамвай преодолеет весь маршрут, если его скорость равна $13\frac{1}{8}$ км/ч?

Чтобы найти общее время, которое трамвай потратит на преодоление всего маршрута, необходимо сложить время его движения и общее время, затраченное на остановки.

1. Вычисление времени движения трамвая
Время движения ($t_{движ}$) можно найти, разделив длину маршрута ($S$) на скорость трамвая ($v$).
Длина маршрута: $S = 15\frac{3}{4}$ км.
Скорость трамвая: $v = 13\frac{1}{8}$ км/ч.
Переведем смешанные числа в неправильные дроби для удобства вычислений:
$S = 15\frac{3}{4} = \frac{15 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{63}{4}$ км.
$v = 13\frac{1}{8} = \frac{13 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{105}{8}$ км/ч.
Теперь найдем время движения в часах:
$t_{движ} = \frac{S}{v} = \frac{63/4}{105/8} = \frac{63}{4} \cdot \frac{8}{105} = \frac{63 \cdot 8}{4 \cdot 105} = \frac{63 \cdot 2}{105} = \frac{126}{105}$ ч.
Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 126 и 105 — это 21.
$t_{движ} = \frac{126 \div 21}{105 \div 21} = \frac{6}{5}$ ч.
Переведем время движения в минуты, умножив на 60 (т.к. в 1 часе 60 минут):
$t_{движ} = \frac{6}{5} \cdot 60 = 6 \cdot 12 = 72$ минуты.

2. Вычисление общего времени остановок
На маршруте 12 остановок, и на каждой трамвай стоит $1\frac{1}{6}$ минуты.
Переведем время одной остановки в неправильную дробь:
$1\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{7}{6}$ минуты.
Общее время остановок ($t_{ост}$) равно произведению количества остановок на время одной остановки:
$t_{ост} = 12 \cdot \frac{7}{6} = \frac{12 \cdot 7}{6} = 2 \cdot 7 = 14$ минут.

3. Вычисление общего времени в пути
Общее время ($t_{общ}$) равно сумме времени движения и времени остановок:
$t_{общ} = t_{движ} + t_{ост} = 72 \text{ мин} + 14 \text{ мин} = 86$ минут.
Представим полученное время в часах и минутах:
$86$ минут = $60$ минут + $26$ минут = $1$ час $26$ минут.

Ответ: 1 час 26 минут.

404. Длина маршрута, который автобус проезжает за $\frac{7}{10}$ ч, равна $20\frac{1}{4}$ км. Автобус движется по маршруту со скоростью 45 км / ч и делает 10 остановок. Сколько времени длится каждая остановка автобуса, если на каждой из них он стоит одинаковое время?

Сначала определим чистое время движения автобуса. Для этого необходимо разделить длину маршрута на скорость автобуса. Длина маршрута составляет $S = 20\frac{1}{4}$ км, а скорость автобуса $v = 45$ км/ч. Переведём смешанную дробь в неправильную:

$S = 20\frac{1}{4} = \frac{20 \times 4 + 1}{4} = \frac{81}{4}$ км.

Теперь можем найти время, которое автобус провёл в движении ($t_{движения}$):

$t_{движения} = \frac{S}{v} = \frac{81/4}{45} = \frac{81}{4 \times 45} = \frac{9}{20}$ часа.

Общее время, затраченное на весь маршрут, включая остановки, составляет $\frac{7}{10}$ часа. Чтобы найти суммарное время всех остановок ($t_{остановок}$), вычтем время движения из общего времени маршрута:

$t_{остановок} = \frac{7}{10} - \frac{9}{20}$

Для выполнения вычитания приведём дроби к общему знаменателю 20:

$\frac{7}{10} = \frac{14}{20}$

$t_{остановок} = \frac{14}{20} - \frac{9}{20} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$ часа.

Это общее время, затраченное на все 10 остановок. Поскольку все остановки были одинаковой продолжительности, найдём время одной остановки, разделив общее время остановок на их количество:

Время одной остановки $= \frac{1/4}{10} = \frac{1}{4 \times 10} = \frac{1}{40}$ часа.

Для большей наглядности переведём часы в минуты, зная, что в 1 часе 60 минут:

$\frac{1}{40} \times 60 = \frac{60}{40} = \frac{3}{2} = 1.5$ минуты.

Ответ: 1.5 минуты.

405. Первый рабочий может выполнить задание за 45 ч, а второй – за 30 ч. За сколько часов они выполнят это задание, работая вместе? Какую часть задания при этом выполнит каждый из них?

Для решения задачи примем весь объем работы за 1 (единицу).

За сколько часов они выполнят это задание, работая вместе?

1. Определим производительность каждого рабочего. Производительность — это часть работы, которую рабочий выполняет за 1 час.

• Производительность первого рабочего: $P_1 = \frac{1}{45}$ задания в час.
• Производительность второго рабочего: $P_2 = \frac{1}{30}$ задания в час.

2. Найдем общую производительность при совместной работе, сложив их индивидуальные производительности.

$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{45} + \frac{1}{30}$

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 45 и 30 — это 90.

$P_{общ} = \frac{2}{90} + \frac{3}{90} = \frac{5}{90}$

Сократим полученную дробь:

$P_{общ} = \frac{5 \div 5}{90 \div 5} = \frac{1}{18}$ задания в час.

3. Теперь найдем общее время ($T_{общ}$), за которое они выполнят всю работу. Для этого нужно весь объем работы (1) разделить на общую производительность.

$T_{общ} = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{1}{18}} = 18$ часов.

Ответ: Работая вместе, они выполнят задание за 18 часов.

Какую часть задания при этом выполнит каждый из них?

Чтобы найти, какую часть задания выполнил каждый рабочий, необходимо его индивидуальную производительность умножить на общее время работы (18 часов).

• Часть задания, выполненная первым рабочим ($W_1$):
  $W_1 = P_1 \times T_{общ} = \frac{1}{45} \times 18 = \frac{18}{45}$. Сократим дробь на 9: $W_1 = \frac{2}{5}$.
• Часть задания, выполненная вторым рабочим ($W_2$):
  $W_2 = P_2 \times T_{общ} = \frac{1}{30} \times 18 = \frac{18}{30}$. Сократим дробь на 6: $W_2 = \frac{3}{5}$.

Для проверки можно сложить выполненные части: $\frac{2}{5} + \frac{3}{5} = \frac{5}{5} = 1$, что составляет все задание.

Ответ: Первый рабочий выполнит $\frac{2}{5}$ задания, а второй — $\frac{3}{5}$ задания.

406. Первый тракторист может вспахать поле за 12 ч, а второй – за 24 ч. За сколько часов они могут вместе вспахать поле? Какую часть поля при этом вспашет каждый из них?

За сколько часов они могут вместе вспахать поле?

Для решения этой задачи необходимо сначала определить производительность каждого тракториста, то есть какую часть поля каждый из них вспахивает за один час.

1. Производительность первого тракториста:
Если он вспахивает все поле (которое мы принимаем за 1) за 12 часов, то его производительность составляет $ \frac{1}{12} $ поля в час.

2. Производительность второго тракториста:
Если он вспахивает все поле за 24 часа, то его производительность составляет $ \frac{1}{24} $ поля в час.

3. Совместная производительность:
Чтобы найти, какую часть поля они вспашут вместе за один час, нужно сложить их производительности:
$ \frac{1}{12} + \frac{1}{24} = \frac{2}{24} + \frac{1}{24} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8} $
Вместе они вспахивают $ \frac{1}{8} $ поля в час.

4. Время на выполнение всей работы вместе:
Чтобы найти общее время, нужно всю работу (1) разделить на их совместную производительность ($ \frac{1}{8} $):
$ t = 1 \div \frac{1}{8} = 1 \times 8 = 8 $ часов.

Ответ: вместе они могут вспахать поле за 8 часов.

Какую часть поля при этом вспашет каждый из них?

Чтобы найти, какую часть поля вспашет каждый, нужно производительность каждого тракториста умножить на общее время работы (8 часов).

1. Часть поля, вспаханная первым трактористом:
$ \frac{1}{12} \text{ (поля/час)} \times 8 \text{ (часов)} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} $ поля.

2. Часть поля, вспаханная вторым трактористом:
$ \frac{1}{24} \text{ (поля/час)} \times 8 \text{ (часов)} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3} $ поля.

Проверка: $ \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1 $ (все поле).

Ответ: первый тракторист вспашет $ \frac{2}{3} $ поля, а второй — $ \frac{1}{3} $ поля.

407. Из двух портов, расстояние между которыми равно 576 миль, одновременно навстречу друг другу вышли яхта капитана Рунгеля и корабль юнги Солнышкина. Яхта капитана Рунгеля проходила за день 42 мили, что составляет $\frac{7}{9}$ того, что проходил за день корабль Солнышкина. Через сколько дней после начала движения встретятся мореплаватели?

Для решения задачи необходимо выполнить три действия: найти скорость второго судна, затем их общую скорость (скорость сближения) и, наконец, время до встречи.

1. Найдём скорость корабля юнги Солнышкина.

Из условия известно, что скорость яхты капитана Рунгеля, равная 42 милям в день, составляет $ \frac{7}{9} $ от скорости корабля Солнышкина. Чтобы найти целое число по его дроби, нужно значение этой дроби разделить на саму дробь.

$ 42 : \frac{7}{9} = 42 \cdot \frac{9}{7} = \frac{42 \cdot 9}{7} = 6 \cdot 9 = 54 $ (мили в день).

Таким образом, скорость корабля Солнышкина составляет 54 мили в день.

2. Вычислим скорость сближения.

Так как суда движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей.

$ v_{сближения} = 42 + 54 = 96 $ (миль в день).

3. Рассчитаем время до встречи.

Чтобы найти, через сколько дней мореплаватели встретятся, необходимо общее расстояние между ними разделить на их скорость сближения.

$ t = \frac{S}{v_{сближения}} = \frac{576}{96} = 6 $ (дней).

Ответ: мореплаватели встретятся через 6 дней.

408. Из городов Радостный и Весёлый выехали одновременно навстречу друг другу Петя и Миша. Петя ехал со скоростью 32 км/ч, что составляло $\frac{8}{11}$ скорости движения Миши. Через сколько часов после начала движения они встретятся, если расстояние между городами равно 304 км?

Для того чтобы определить, через сколько часов встретятся Петя и Миша, необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти скорость движения Миши.

Из условия задачи известно, что скорость Пети составляет $32 \text{ км/ч}$. Эта величина составляет $\frac{8}{11}$ от скорости движения Миши. Пусть скорость Миши равна $v_М$. Тогда мы можем составить уравнение:

$\frac{8}{11} \cdot v_М = 32$

Чтобы найти $v_М$, нужно $32$ разделить на дробь $\frac{8}{11}$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$v_М = 32 \div \frac{8}{11} = 32 \cdot \frac{11}{8} = \frac{32 \cdot 11}{8} = 4 \cdot 11 = 44 \text{ км/ч}$

Таким образом, скорость движения Миши составляет $44 \text{ км/ч}$.

2. Найти скорость сближения.

Поскольку Петя и Миша движутся навстречу друг другу, их общая скорость, с которой они сближаются (скорость сближения), равна сумме их скоростей:

$v_{сближения} = v_{Пети} + v_{Миши} = 32 \text{ км/ч} + 44 \text{ км/ч} = 76 \text{ км/ч}$

3. Найти время до встречи.

Время, через которое они встретятся, можно найти, разделив расстояние между городами на скорость сближения. Расстояние между городами по условию равно $304 \text{ км}$.

$t = \frac{S}{v_{сближения}}$

Подставим известные значения в формулу:

$t = \frac{304 \text{ км}}{76 \text{ км/ч}} = 4 \text{ ч}$

Ответ: Петя и Миша встретятся через 4 часа после начала движения.

409. Найдите все натуральные значения $a$, при которых дробь $\frac{5a+2}{37}$ будет правильной.

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя, при этом и числитель, и знаменатель являются положительными числами.

В данном случае дана дробь $\frac{5a + 2}{37}$. Знаменатель $37$ является положительным числом. По условию, $a$ — натуральное число, то есть $a$ может принимать значения $1, 2, 3, \ldots$ .

Проверим, будет ли числитель $5a + 2$ положительным при натуральных $a$. Наименьшее натуральное значение $a=1$. При $a=1$ числитель равен $5 \cdot 1 + 2 = 7$. Так как $7 > 0$, и при увеличении $a$ значение числителя будет только расти, числитель $5a + 2$ всегда будет положительным для любого натурального $a$.

Таким образом, для того чтобы дробь была правильной, необходимо и достаточно, чтобы ее числитель был меньше знаменателя. Составим и решим неравенство:

$5a + 2 < 37$

Перенесем $2$ в правую часть неравенства, изменив знак:

$5a < 37 - 2$

$5a < 35$

Разделим обе части неравенства на $5$:

$a < \frac{35}{5}$

$a < 7$

Поскольку $a$ должно быть натуральным числом и удовлетворять условию $a < 7$, то подходящими значениями для $a$ являются все натуральные числа от $1$ до $6$ включительно.

Ответ: $1, 2, 3, 4, 5, 6$.

410. Найдите все натуральные значения a, при которых дробь $\frac{23}{3a+5}$ будет неправильной.

Дробь называется неправильной, если ее числитель больше или равен знаменателю. В данном случае числитель дроби $ \frac{23}{3a + 5} $ равен 23, а знаменатель равен $ 3a + 5 $.

По условию задачи, a является натуральным числом, то есть $ a \in \{1, 2, 3, ...\} $. Это означает, что знаменатель $ 3a + 5 $ всегда будет положительным.

Чтобы дробь была неправильной, должно выполняться следующее неравенство:

$ 23 \ge 3a + 5 $

Решим это неравенство относительно a. Вычтем 5 из обеих частей неравенства:

$ 23 - 5 \ge 3a $

$ 18 \ge 3a $

Разделим обе части неравенства на 3:

$ \frac{18}{3} \ge a $

$ 6 \ge a $, что равносильно $ a \le 6 $.

Таким образом, нам нужно найти все натуральные значения a, которые удовлетворяют условию $ a \le 6 $.

Натуральными числами, которые меньше или равны 6, являются: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

411. Дробь $ \frac{x}{21} $ сократили на 3 и получили дробь $ \frac{5}{y} $. Найдите значения x и y.

По условию, дробь $ \frac{x}{21} $ сократили на 3. Это означает, что и числитель $x$, и знаменатель 21 разделили на 3. В результате этого действия получили дробь $ \frac{5}{y} $.

Таким образом, мы можем составить два отдельных равенства для числителя и для знаменателя.

1. Для числителя: после деления $x$ на 3 получили 5.
$ x \div 3 = 5 $
Чтобы найти $x$, нужно умножить 5 на 3:
$ x = 5 \cdot 3 $
$ x = 15 $

2. Для знаменателя: после деления 21 на 3 получили $y$.
$ 21 \div 3 = y $
Вычисляем значение $y$:
$ y = 7 $

Итак, мы нашли, что $x=15$ и $y=7$. Исходная дробь была $ \frac{15}{21} $. При сокращении на 3 она действительно становится $ \frac{15 \div 3}{21 \div 3} = \frac{5}{7} $.

Ответ: $x = 15$, $y = 7$.