Страница 78 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

335. Первый копировальный автомат печатает $50$ одинаковых страниц за $9$ с, а второй – $39$ таких же страниц за $7$ с. У какого автомата, первого или второго, больше производительность (количество страниц, печатаемых за единицу времени)?

Для того чтобы определить, у какого автомата производительность выше, необходимо рассчитать, сколько страниц каждый автомат печатает за единицу времени (например, за 1 секунду) и сравнить полученные значения.

1. Производительность первого автомата.

Первый автомат печатает 50 страниц за 9 секунд. Его производительность ($P_1$) равна отношению количества страниц ко времени:

$P_1 = \frac{50}{9}$ страниц/секунду.

2. Производительность второго автомата.

Второй автомат печатает 39 страниц за 7 секунд. Его производительность ($P_2$) равна:

$P_2 = \frac{39}{7}$ страниц/секунду.

3. Сравнение производительности.

Чтобы сравнить дроби $\frac{50}{9}$ и $\frac{39}{7}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 9 и 7 равен их произведению: $9 \times 7 = 63$.

Приведем производительность первого автомата к знаменателю 63:

$P_1 = \frac{50}{9} = \frac{50 \times 7}{9 \times 7} = \frac{350}{63}$

Приведем производительность второго автомата к знаменателю 63:

$P_2 = \frac{39}{7} = \frac{39 \times 9}{7 \times 9} = \frac{351}{63}$

Теперь сравним полученные значения:

$\frac{350}{63} < \frac{351}{63}$

Следовательно, $P_1 < P_2$. Это означает, что производительность второго автомата выше, чем у первого.

Ответ: у второго автомата производительность больше.

336. Выполните действия:

1) $\frac{7}{18} + \frac{5}{18}$;

2) $\frac{29}{64} - \frac{14}{64} - \frac{9}{64}$;

3) $\frac{3}{28} + \frac{5}{14}$;

4) $\frac{9}{11} - \frac{2}{5}$;

5) $\frac{9}{16} + \frac{7}{24} - \frac{3}{8}$;

6) $1\frac{1}{7} + 2\frac{1}{3}$;

7) $7 - 3\frac{9}{16}$;

8) $4\frac{7}{33} - 2\frac{3}{22}$;

9) $6\frac{1}{6} - 2\frac{2}{3}$.

1) $\frac{7}{18} + \frac{5}{18}$

Знаменатели дробей одинаковы, поэтому складываем числители, а знаменатель оставляем прежним:

$\frac{7}{18} + \frac{5}{18} = \frac{7+5}{18} = \frac{12}{18}$

Сокращаем полученную дробь. Наибольший общий делитель для 12 и 18 это 6:

$\frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

2) $\frac{29}{64} - \frac{14}{64} - \frac{9}{64}$

Знаменатели всех дробей одинаковы, поэтому выполняем вычитание числителей:

$\frac{29}{64} - \frac{14}{64} - \frac{9}{64} = \frac{29 - 14 - 9}{64} = \frac{15 - 9}{64} = \frac{6}{64}$

Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 2:

$\frac{6}{64} = \frac{6 \div 2}{64 \div 2} = \frac{3}{32}$

Ответ: $\frac{3}{32}$

3) $\frac{3}{28} + \frac{5}{14}$

Приводим дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 28 и 14 это 28. Домножаем вторую дробь на 2:

$\frac{5}{14} = \frac{5 \times 2}{14 \times 2} = \frac{10}{28}$

Теперь складываем дроби:

$\frac{3}{28} + \frac{10}{28} = \frac{3+10}{28} = \frac{13}{28}$

Ответ: $\frac{13}{28}$

4) $\frac{9}{11} - \frac{2}{5}$

Находим наименьший общий знаменатель для 11 и 5. Так как это простые числа, он равен их произведению: $11 \times 5 = 55$.

Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{9}{11} - \frac{2}{5} = \frac{9 \times 5}{11 \times 5} - \frac{2 \times 11}{5 \times 11} = \frac{45}{55} - \frac{22}{55}$

Выполняем вычитание:

$\frac{45 - 22}{55} = \frac{23}{55}$

Ответ: $\frac{23}{55}$

5) $\frac{9}{16} + \frac{7}{24} - \frac{3}{8}$

Находим наименьший общий знаменатель для 16, 24 и 8. Он равен 48.

Приводим все дроби к знаменателю 48:

$\frac{9 \times 3}{16 \times 3} + \frac{7 \times 2}{24 \times 2} - \frac{3 \times 6}{8 \times 6} = \frac{27}{48} + \frac{14}{48} - \frac{18}{48}$

Выполняем действия с числителями:

$\frac{27 + 14 - 18}{48} = \frac{41 - 18}{48} = \frac{23}{48}$

Ответ: $\frac{23}{48}$

6) $1\frac{1}{7} + 2\frac{1}{3}$

Складываем целые и дробные части отдельно.

Сложение целых частей: $1 + 2 = 3$.

Сложение дробных частей: $\frac{1}{7} + \frac{1}{3}$. Общий знаменатель 21.

$\frac{1 \times 3}{7 \times 3} + \frac{1 \times 7}{3 \times 7} = \frac{3}{21} + \frac{7}{21} = \frac{10}{21}$

Складываем полученные результаты: $3 + \frac{10}{21} = 3\frac{10}{21}$.

Ответ: $3\frac{10}{21}$

7) $7 - 3\frac{9}{16}$

Представим 7 в виде смешанного числа со знаменателем 16:

$7 = 6 + 1 = 6 + \frac{16}{16} = 6\frac{16}{16}$

Теперь выполняем вычитание:

$6\frac{16}{16} - 3\frac{9}{16} = (6-3) + (\frac{16-9}{16}) = 3 + \frac{7}{16} = 3\frac{7}{16}$

Ответ: $3\frac{7}{16}$

8) $4\frac{7}{33} - 2\frac{3}{22}$

Сначала приведем дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 33 и 22 это 66.

$4\frac{7 \times 2}{33 \times 2} - 2\frac{3 \times 3}{22 \times 3} = 4\frac{14}{66} - 2\frac{9}{66}$

Вычитаем целые и дробные части отдельно:

Целые части: $4 - 2 = 2$.

Дробные части: $\frac{14}{66} - \frac{9}{66} = \frac{5}{66}$.

Соединяем результаты: $2\frac{5}{66}$.

Ответ: $2\frac{5}{66}$

9) $6\frac{1}{6} - 2\frac{2}{3}$

Приводим дробные части к общему знаменателю 6:

$6\frac{1}{6} - 2\frac{2 \times 2}{3 \times 2} = 6\frac{1}{6} - 2\frac{4}{6}$

Так как $\frac{1}{6} < \frac{4}{6}$, "занимаем" единицу у целой части уменьшаемого:

$6\frac{1}{6} = 5 + 1 + \frac{1}{6} = 5 + \frac{6}{6} + \frac{1}{6} = 5\frac{7}{6}$

Теперь выполняем вычитание:

$5\frac{7}{6} - 2\frac{4}{6} = (5-2) + (\frac{7-4}{6}) = 3 + \frac{3}{6} = 3\frac{3}{6}$

Сокращаем дробную часть: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $3\frac{1}{2}$

337. Вычислите:

1) $\frac{31}{58} - \frac{16}{58};$

2) $\frac{19}{25} + \frac{4}{25} - \frac{22}{25};$

3) $\frac{1}{6} + \frac{7}{15};$

4) $\frac{5}{14} - \frac{1}{4};$

5) $\frac{3}{4} - \frac{5}{12} + \frac{5}{9};$

6) $2\frac{3}{8} + 4\frac{5}{12};$

7) $3\frac{5}{6} - 1\frac{7}{12};$

8) $9\frac{2}{15} - 6\frac{3}{5};$

9) $5\frac{7}{18} - 4\frac{11}{12};$

1) Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить тем же.
$\frac{31}{58} - \frac{16}{58} = \frac{31-16}{58} = \frac{15}{58}$
Ответ: $\frac{15}{58}$

2) Все дроби имеют одинаковый знаменатель, поэтому выполняем действия с числителями.
$\frac{19}{25} + \frac{4}{25} - \frac{22}{25} = \frac{19+4-22}{25} = \frac{23-22}{25} = \frac{1}{25}$
Ответ: $\frac{1}{25}$

3) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 6 и 15. НОК(6, 15) = 30.
Приведем дроби к знаменателю 30:
$\frac{1}{6} + \frac{7}{15} = \frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} + \frac{7 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{5}{30} + \frac{14}{30} = \frac{5+14}{30} = \frac{19}{30}$
Ответ: $\frac{19}{30}$

4) Приведем дроби к общему знаменателю. НОК(14, 4) = 28.
$\frac{5}{14} - \frac{1}{4} = \frac{5 \cdot 2}{14 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 7}{4 \cdot 7} = \frac{10}{28} - \frac{7}{28} = \frac{10-7}{28} = \frac{3}{28}$
Ответ: $\frac{3}{28}$

5) Приведем все дроби к общему знаменателю. НОК(4, 12, 9) = 36.
$\frac{3}{4} - \frac{5}{12} + \frac{5}{9} = \frac{3 \cdot 9}{36} - \frac{5 \cdot 3}{36} + \frac{5 \cdot 4}{36} = \frac{27 - 15 + 20}{36} = \frac{12 + 20}{36} = \frac{32}{36}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:
$\frac{32}{36} = \frac{32:4}{36:4} = \frac{8}{9}$
Ответ: $\frac{8}{9}$

6) Чтобы сложить смешанные числа, можно сложить отдельно их целые и дробные части.
Складываем целые части: $2 + 4 = 6$.
Складываем дробные части, предварительно приведя их к общему знаменателю. НОК(8, 12) = 24.
$\frac{3}{8} + \frac{5}{12} = \frac{3 \cdot 3}{24} + \frac{5 \cdot 2}{24} = \frac{9+10}{24} = \frac{19}{24}$
Складываем полученные результаты: $6 + \frac{19}{24} = 6\frac{19}{24}$.
Ответ: $6\frac{19}{24}$

7) Чтобы вычесть смешанные числа, можно вычесть отдельно их целые и дробные части.
Приведем дробные части к общему знаменателю. НОК(6, 12) = 12.
$3\frac{5}{6} - 1\frac{7}{12} = 3\frac{5 \cdot 2}{12} - 1\frac{7}{12} = 3\frac{10}{12} - 1\frac{7}{12}$
Вычитаем целые части: $3 - 1 = 2$.
Вычитаем дробные части: $\frac{10}{12} - \frac{7}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.
Складываем результаты: $2 + \frac{1}{4} = 2\frac{1}{4}$.
Ответ: $2\frac{1}{4}$

8) Приведем дробные части к общему знаменателю. НОК(15, 5) = 15.
$9\frac{2}{15} - 6\frac{3}{5} = 9\frac{2}{15} - 6\frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = 9\frac{2}{15} - 6\frac{9}{15}$
Дробная часть уменьшаемого ($\frac{2}{15}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{9}{15}$), поэтому займем единицу у целой части уменьшаемого.
$9\frac{2}{15} = 8 + 1 + \frac{2}{15} = 8 + \frac{15}{15} + \frac{2}{15} = 8\frac{17}{15}$
Теперь выполним вычитание:
$8\frac{17}{15} - 6\frac{9}{15} = (8-6) + (\frac{17-9}{15}) = 2 + \frac{8}{15} = 2\frac{8}{15}$
Ответ: $2\frac{8}{15}$

9) Приведем дробные части к общему знаменателю. НОК(18, 12) = 36.
$5\frac{7}{18} - 4\frac{11}{12} = 5\frac{7 \cdot 2}{36} - 4\frac{11 \cdot 3}{36} = 5\frac{14}{36} - 4\frac{33}{36}$
Дробная часть уменьшаемого ($\frac{14}{36}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{33}{36}$), поэтому займем единицу у целой части уменьшаемого.
$5\frac{14}{36} = 4 + 1 + \frac{14}{36} = 4 + \frac{36}{36} + \frac{14}{36} = 4\frac{50}{36}$
Теперь выполним вычитание:
$4\frac{50}{36} - 4\frac{33}{36} = (4-4) + (\frac{50-33}{36}) = 0 + \frac{17}{36} = \frac{17}{36}$
Ответ: $\frac{17}{36}$

338. Решите уравнение:

1) $x - 4\frac{5}{8} = 7\frac{17}{32};$

2) $x + \frac{8}{9} = 1\frac{7}{12};$

3) $3\frac{1}{6} - x = \frac{5}{18}.$

1) $x - 4\frac{5}{8} = 7\frac{17}{32}$

В данном уравнении $x$ является уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$x = 7\frac{17}{32} + 4\frac{5}{8}$

Для сложения смешанных чисел необходимо привести их дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 32 и 8 — это 32.

Домножим числитель и знаменатель дроби $\frac{5}{8}$ на дополнительный множитель 4, чтобы получить знаменатель 32:

$\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 4}{8 \cdot 4} = \frac{20}{32}$

Теперь выполним сложение:

$x = 7\frac{17}{32} + 4\frac{20}{32}$

Складываем целые части и дробные части отдельно:

$x = (7+4) + (\frac{17}{32} + \frac{20}{32}) = 11 + \frac{17+20}{32} = 11\frac{37}{32}$

Дробь $\frac{37}{32}$ — неправильная. Выделим из нее целую часть:

$\frac{37}{32} = 1\frac{5}{32}$

Прибавим эту целую часть к уже имеющейся:

$x = 11 + 1\frac{5}{32} = 12\frac{5}{32}$

Ответ: $12\frac{5}{32}$

2) $x + \frac{8}{9} = 1\frac{7}{12}$

В этом уравнении $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$x = 1\frac{7}{12} - \frac{8}{9}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 12 и 9 равно 36.

Дополнительный множитель для дроби $\frac{7}{12}$ равен $36 \div 12 = 3$.

Дополнительный множитель для дроби $\frac{8}{9}$ равен $36 \div 9 = 4$.

$x = 1\frac{7 \cdot 3}{12 \cdot 3} - \frac{8 \cdot 4}{9 \cdot 4} = 1\frac{21}{36} - \frac{32}{36}$

Дробная часть уменьшаемого ($\frac{21}{36}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{32}{36}$), поэтому нужно "занять" единицу у целой части уменьшаемого, представив ее в виде дроби $\frac{36}{36}$:

$1\frac{21}{36} = \frac{36}{36} + \frac{21}{36} = \frac{57}{36}$

Теперь выполним вычитание:

$x = \frac{57}{36} - \frac{32}{36} = \frac{57-32}{36} = \frac{25}{36}$

Ответ: $\frac{25}{36}$

3) $3\frac{1}{6} - x = \frac{5}{18}$

Здесь $x$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$x = 3\frac{1}{6} - \frac{5}{18}$

Приведем дроби к общему знаменателю 18. Дополнительный множитель для дроби $\frac{1}{6}$ равен $18 \div 6 = 3$.

$x = 3\frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} - \frac{5}{18} = 3\frac{3}{18} - \frac{5}{18}$

Дробная часть уменьшаемого ($\frac{3}{18}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{5}{18}$), поэтому "займем" единицу у целой части:

$3\frac{3}{18} = 2 + 1 + \frac{3}{18} = 2 + \frac{18}{18} + \frac{3}{18} = 2\frac{21}{18}$

Выполним вычитание:

$x = 2\frac{21}{18} - \frac{5}{18} = 2\frac{21-5}{18} = 2\frac{16}{18}$

Сократим дробную часть, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2:

$\frac{16}{18} = \frac{16 \div 2}{18 \div 2} = \frac{8}{9}$

$x = 2\frac{8}{9}$

Ответ: $2\frac{8}{9}$

339. Решите уравнение:

1) $x + \frac{7}{8} = 5;$

2) $x - 5\frac{8}{21} = 1\frac{17}{42};$

3) $9\frac{1}{45} - x = 3\frac{1}{30}.$

1) $x + \frac{7}{8} = 5$

Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы $5$ вычесть известное слагаемое $\frac{7}{8}$.

$x = 5 - \frac{7}{8}$

Представим $5$ в виде смешанного числа, чтобы было удобно вычитать дробь:

$5 = 4 + 1 = 4 + \frac{8}{8} = 4\frac{8}{8}$

Теперь выполним вычитание:

$x = 4\frac{8}{8} - \frac{7}{8} = 4\frac{8-7}{8} = 4\frac{1}{8}$

Ответ: $4\frac{1}{8}$.

2) $x - 5\frac{8}{21} = 1\frac{17}{42}$

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое $x$, нужно к разности $1\frac{17}{42}$ прибавить вычитаемое $5\frac{8}{21}$.

$x = 1\frac{17}{42} + 5\frac{8}{21}$

Приведем дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $42$ и $21$ — это $42$.

$\frac{8}{21} = \frac{8 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{16}{42}$

Теперь сложим смешанные числа:

$x = 1\frac{17}{42} + 5\frac{16}{42}$

Сложим целые и дробные части по отдельности:

$x = (1+5) + (\frac{17}{42} + \frac{16}{42}) = 6 + \frac{17+16}{42} = 6 + \frac{33}{42}$

Сократим дробную часть $\frac{33}{42}$, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель $3$:

$\frac{33 \div 3}{42 \div 3} = \frac{11}{14}$

Получаем:

$x = 6\frac{11}{14}$

Ответ: $6\frac{11}{14}$.

3) $9\frac{1}{45} - x = 3\frac{1}{30}$

Чтобы найти неизвестное вычитаемое $x$, нужно из уменьшаемого $9\frac{1}{45}$ вычесть разность $3\frac{1}{30}$.

$x = 9\frac{1}{45} - 3\frac{1}{30}$

Приведем дробные части к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для $45$ и $30$ — это $90$.

$\frac{1}{45} = \frac{1 \cdot 2}{45 \cdot 2} = \frac{2}{90}$

$\frac{1}{30} = \frac{1 \cdot 3}{30 \cdot 3} = \frac{3}{90}$

Теперь уравнение выглядит так:

$x = 9\frac{2}{90} - 3\frac{3}{90}$

Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{2}{90}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{3}{90}$), нужно "занять" единицу у целой части уменьшаемого:

$9\frac{2}{90} = 8 + 1 + \frac{2}{90} = 8 + \frac{90}{90} + \frac{2}{90} = 8\frac{92}{90}$

Теперь выполняем вычитание:

$x = 8\frac{92}{90} - 3\frac{3}{90} = (8-3) + (\frac{92}{90} - \frac{3}{90}) = 5 + \frac{92-3}{90} = 5\frac{89}{90}$

Ответ: $5\frac{89}{90}$.

340. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:

1) $ \frac{4}{11} + \frac{5}{33} + \frac{6}{33} + \frac{7}{11}; $

2) $ \frac{1}{25} + \frac{3}{20} + \frac{4}{25} + \frac{1}{20}; $

3) $ \frac{13}{72} + \frac{5}{56} + \frac{5}{72} + \frac{9}{56}; $

4) $ 1 \frac{5}{28} + 2 \frac{17}{64} + 3 \frac{2}{28} + 4 \frac{7}{64}. $

1) Чтобы вычислить значение выражения наиболее удобным способом, сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями.

$\frac{4}{11} + \frac{5}{33} + \frac{6}{33} + \frac{7}{11} = (\frac{4}{11} + \frac{7}{11}) + (\frac{5}{33} + \frac{6}{33})$

Теперь выполним сложение в каждой группе:

$\frac{4}{11} + \frac{7}{11} = \frac{4+7}{11} = \frac{11}{11} = 1$

$\frac{5}{33} + \frac{6}{33} = \frac{5+6}{33} = \frac{11}{33}$

Сложим полученные результаты. Сократим дробь $\frac{11}{33}$ на 11.

$1 + \frac{11}{33} = 1 + \frac{1}{3} = 1\frac{1}{3}$

Ответ: $1\frac{1}{3}$

2) Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями для удобства вычислений.

$\frac{1}{25} + \frac{3}{20} + \frac{4}{25} + \frac{1}{20} = (\frac{1}{25} + \frac{4}{25}) + (\frac{3}{20} + \frac{1}{20})$

Вычислим сумму в каждой из скобок:

$\frac{1}{25} + \frac{4}{25} = \frac{1+4}{25} = \frac{5}{25}$

$\frac{3}{20} + \frac{1}{20} = \frac{3+1}{20} = \frac{4}{20}$

Теперь сложим полученные дроби, предварительно сократив их:

$\frac{5}{25} = \frac{1}{5}$

$\frac{4}{20} = \frac{1}{5}$

$\frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$

Ответ: $\frac{2}{5}$

3) Сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями.

$\frac{13}{72} + \frac{5}{56} + \frac{5}{72} + \frac{9}{56} = (\frac{13}{72} + \frac{5}{72}) + (\frac{5}{56} + \frac{9}{56})$

Выполним сложение в каждой группе:

$\frac{13}{72} + \frac{5}{72} = \frac{13+5}{72} = \frac{18}{72}$

$\frac{5}{56} + \frac{9}{56} = \frac{5+9}{56} = \frac{14}{56}$

Сложим полученные дроби. Перед сложением сократим каждую дробь.

$\frac{18}{72} = \frac{18 \div 18}{72 \div 18} = \frac{1}{4}$

$\frac{14}{56} = \frac{14 \div 14}{56 \div 14} = \frac{1}{4}$

$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

4) Для удобства вычислений сложим отдельно целые и дробные части смешанных чисел.

$1\frac{5}{28} + 2\frac{17}{64} + 3\frac{2}{28} + 4\frac{7}{64} = (1+2+3+4) + (\frac{5}{28} + \frac{17}{64} + \frac{2}{28} + \frac{7}{64})$

Сумма целых частей:

$1+2+3+4 = 10$

Теперь сгруппируем и сложим дробные части с одинаковыми знаменателями:

$(\frac{5}{28} + \frac{2}{28}) + (\frac{17}{64} + \frac{7}{64}) = \frac{7}{28} + \frac{24}{64}$

Сократим полученные дроби:

$\frac{7}{28} = \frac{7 \div 7}{28 \div 7} = \frac{1}{4}$

$\frac{24}{64} = \frac{24 \div 8}{64 \div 8} = \frac{3}{8}$

Сложим сокращенные дроби, приведя их к общему знаменателю 8:

$\frac{1}{4} + \frac{3}{8} = \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{3}{8} = \frac{2}{8} + \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$

Наконец, сложим сумму целых частей и сумму дробных частей:

$10 + \frac{5}{8} = 10\frac{5}{8}$

Ответ: $10\frac{5}{8}$

341. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:

1) $\frac{4}{15} + \frac{13}{36} + \frac{1}{15} + \frac{5}{36}$;

2) $2\frac{5}{18} + 4\frac{1}{48} + 6\frac{7}{48} + 3\frac{1}{18}$.

1) Чтобы вычислить значение выражения наиболее удобным способом, сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями. Используем переместительное и сочетательное свойства сложения:

$\frac{4}{15} + \frac{13}{36} + \frac{1}{15} + \frac{5}{36} = (\frac{4}{15} + \frac{1}{15}) + (\frac{13}{36} + \frac{5}{36})$

Сложим дроби в каждой скобке:

$(\frac{4+1}{15}) + (\frac{13+5}{36}) = \frac{5}{15} + \frac{18}{36}$

Сократим полученные дроби:

$\frac{5}{15} = \frac{5 \div 5}{15 \div 5} = \frac{1}{3}$

$\frac{18}{36} = \frac{18 \div 18}{36 \div 18} = \frac{1}{2}$

Теперь сложим сокращенные дроби, приведя их к общему знаменателю, который равен 6:

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{2+3}{6} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$

2) Для вычисления значения второго выражения также сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями в дробной части. Удобнее складывать целые и дробные части по отдельности.

$2\frac{5}{18} + 4\frac{1}{48} + 6\frac{7}{48} + 3\frac{1}{18} = (2\frac{5}{18} + 3\frac{1}{18}) + (4\frac{1}{48} + 6\frac{7}{48})$

Вычислим сумму в первой группе:

$2\frac{5}{18} + 3\frac{1}{18} = (2+3) + (\frac{5}{18} + \frac{1}{18}) = 5 + \frac{6}{18} = 5\frac{6}{18}$

Сократим дробную часть: $\frac{6}{18} = \frac{1}{3}$. Получаем $5\frac{1}{3}$.

Вычислим сумму во второй группе:

$4\frac{1}{48} + 6\frac{7}{48} = (4+6) + (\frac{1}{48} + \frac{7}{48}) = 10 + \frac{8}{48} = 10\frac{8}{48}$

Сократим дробную часть: $\frac{8}{48} = \frac{1}{6}$. Получаем $10\frac{1}{6}$.

Теперь сложим полученные результаты:

$5\frac{1}{3} + 10\frac{1}{6}$

Сложим целые части: $5+10 = 15$.

Сложим дробные части, приведя их к общему знаменателю 6:

$\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6}$

Сократим полученную дробь: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Объединим целую и дробную части:

$15 + \frac{1}{2} = 15\frac{1}{2}$

Ответ: $15\frac{1}{2}$

342. Скорость катера по течению реки составляет $24\frac{1}{3}$ км/ч, а скорость течения – $2\frac{1}{6}$ км/ч. Найдите собственную скорость катера и скорость катера против течения реки.

Для решения задачи воспользуемся следующими соотношениями:

• Скорость по течению равна сумме собственной скорости катера и скорости течения: $V_{по~теч} = V_{собст} + V_{теч}$.
• Скорость против течения равна разности собственной скорости катера и скорости течения: $V_{против~теч} = V_{собст} - V_{теч}$.

Из условия задачи известны следующие величины:

• Скорость катера по течению: $V_{по~теч} = 24 \frac{1}{3}$ км/ч.
• Скорость течения: $V_{теч} = 2 \frac{1}{6}$ км/ч.

Найдите собственную скорость катера

Чтобы найти собственную скорость катера, необходимо из скорости по течению вычесть скорость течения. Выразим собственную скорость из первой формулы:

$V_{собст} = V_{по~теч} - V_{теч}$

Подставим известные значения:

$V_{собст} = 24 \frac{1}{3} - 2 \frac{1}{6}$

Для выполнения вычитания приведем дробь $ \frac{1}{3} $ к знаменателю 6:

$ \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6} $

Теперь произведем вычитание смешанных чисел:

$V_{собст} = 24 \frac{2}{6} - 2 \frac{1}{6} = (24 - 2) + (\frac{2}{6} - \frac{1}{6}) = 22 \frac{1}{6}$ км/ч.

Ответ: собственная скорость катера равна $22 \frac{1}{6}$ км/ч.

Найдите скорость катера против течения реки

Для нахождения скорости катера против течения воспользуемся второй формулой, подставив в нее найденную собственную скорость катера и известную скорость течения:

$V_{против~теч} = V_{собст} - V_{теч}$

$V_{против~теч} = 22 \frac{1}{6} - 2 \frac{1}{6}$

Выполним вычитание:

$V_{против~теч} = (22 - 2) + (\frac{1}{6} - \frac{1}{6}) = 20 + 0 = 20$ км/ч.

Ответ: скорость катера против течения реки равна 20 км/ч.

343. Собственная скорость катера составляет $27 \frac{1}{4}$ км/ч, а скорость против течения реки – $25 \frac{3}{8}$ км/ч. Найдите скорость течения реки и скорость катера по течению реки.

Для решения задачи введем следующие обозначения:
$v_{соб}$ — собственная скорость катера, по условию $v_{соб} = 27\frac{1}{4}$ км/ч.
$v_{теч}$ — скорость течения реки, которую нужно найти.
$v_{против}$ — скорость катера против течения, по условию $v_{против} = 25\frac{3}{8}$ км/ч.
$v_{по}$ — скорость катера по течению реки, которую также нужно найти.

Скорость течения реки

Скорость движения против течения определяется как разность собственной скорости объекта и скорости течения:
$v_{против} = v_{соб} - v_{теч}$
Из этой формулы мы можем выразить скорость течения реки:
$v_{теч} = v_{соб} - v_{против}$
Теперь подставим известные значения и выполним вычисления. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 8.
$v_{теч} = 27\frac{1}{4} - 25\frac{3}{8} = 27\frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} - 25\frac{3}{8} = 27\frac{2}{8} - 25\frac{3}{8}$
Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{2}{8}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{3}{8}$), необходимо "занять" единицу у целой части уменьшаемого:
$27\frac{2}{8} = 26 + 1 + \frac{2}{8} = 26 + \frac{8}{8} + \frac{2}{8} = 26\frac{10}{8}$
Теперь произведем вычитание:
$v_{теч} = 26\frac{10}{8} - 25\frac{3}{8} = (26-25) + (\frac{10-3}{8}) = 1\frac{7}{8}$ км/ч.
Ответ: скорость течения реки составляет $1\frac{7}{8}$ км/ч.

Скорость катера по течению реки

Скорость движения по течению определяется как сумма собственной скорости объекта и скорости течения:
$v_{по} = v_{соб} + v_{теч}$
Подставим в формулу собственную скорость катера и найденную скорость течения:
$v_{по} = 27\frac{1}{4} + 1\frac{7}{8}$
Снова приведем дроби к общему знаменателю 8 и выполним сложение:
$v_{по} = 27\frac{2}{8} + 1\frac{7}{8} = (27+1) + (\frac{2+7}{8}) = 28\frac{9}{8}$
Дробь $\frac{9}{8}$ является неправильной. Выделим из нее целую часть: $\frac{9}{8} = 1\frac{1}{8}$.
Прибавим ее к целой части нашего результата:
$v_{по} = 28 + 1\frac{1}{8} = 29\frac{1}{8}$ км/ч.
Ответ: скорость катера по течению реки составляет $29\frac{1}{8}$ км/ч.