Страница 82 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

378. Найдите все дроби со знаменателем 30, которые больше $ \frac{1}{5} $, но меньше $ \frac{1}{3} $.

Обозначим искомую дробь как $\frac{x}{30}$, где $x$ — это натуральное число, которое является числителем.

По условию задачи, эта дробь должна быть больше $\frac{1}{5}$, но меньше $\frac{1}{3}$. Запишем это условие в виде двойного неравенства:

$\frac{1}{5} < \frac{x}{30} < \frac{1}{3}$

Для того чтобы найти возможные значения $x$, необходимо привести все дроби в неравенстве к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5, 30 и 3 — это 30.

Приведем дробь $\frac{1}{5}$ к знаменателю 30, умножив числитель и знаменатель на 6:

$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{6}{30}$

Приведем дробь $\frac{1}{3}$ к знаменателю 30, умножив числитель и знаменатель на 10:

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 10}{3 \cdot 10} = \frac{10}{30}$

Теперь подставим полученные значения обратно в неравенство:

$\frac{6}{30} < \frac{x}{30} < \frac{10}{30}$

Поскольку знаменатели всех дробей одинаковы, мы можем сравнить их числители. Неравенство для числителей будет выглядеть так:

$6 < x < 10$

Целыми числами, которые удовлетворяют этому неравенству (то есть больше 6, но меньше 10), являются 7, 8 и 9.

Таким образом, искомые дроби со знаменателем 30 — это $\frac{7}{30}$, $\frac{8}{30}$ и $\frac{9}{30}$.

Ответ: $\frac{7}{30}, \frac{8}{30}, \frac{9}{30}$.

379. Укажите три числа, каждое из которых:

1) больше $\frac{2}{11}$, но меньше $\frac{3}{11}$;

2) больше $\frac{1}{8}$, но меньше $\frac{1}{7}$.

1)

Чтобы найти три числа, которые больше $ \frac{2}{11} $, но меньше $ \frac{3}{11} $, мы можем привести эти дроби к новому, большему знаменателю. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на число, достаточное для того, чтобы между новыми числителями нашлось как минимум три целых числа. Умножим, например, на 4.

$ \frac{2}{11} = \frac{2 \times 4}{11 \times 4} = \frac{8}{44} $

$ \frac{3}{11} = \frac{3 \times 4}{11 \times 4} = \frac{12}{44} $

Теперь нам нужно найти три числа, заключенные между $ \frac{8}{44} $ и $ \frac{12}{44} $. Мы можем выбрать дроби с тем же знаменателем 44, числители которых больше 8, но меньше 12. Такими числителями являются 9, 10 и 11.

Следовательно, искомые числа: $ \frac{9}{44} $, $ \frac{10}{44} $, $ \frac{11}{44} $.

Эти дроби удовлетворяют условию: $ \frac{8}{44} < \frac{9}{44} < \frac{12}{44} $, $ \frac{8}{44} < \frac{10}{44} < \frac{12}{44} $ и $ \frac{8}{44} < \frac{11}{44} < \frac{12}{44} $.

Ответ: $ \frac{9}{44} $, $ \frac{10}{44} $, $ \frac{11}{44} $.

2)

Чтобы найти три числа, которые больше $ \frac{1}{8} $, но меньше $ \frac{1}{7} $, сначала приведем эти дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 7 равен $ 8 \times 7 = 56 $.

$ \frac{1}{8} = \frac{1 \times 7}{8 \times 7} = \frac{7}{56} $

$ \frac{1}{7} = \frac{1 \times 8}{7 \times 8} = \frac{8}{56} $

Мы ищем числа между $ \frac{7}{56} $ и $ \frac{8}{56} $. Так как между числителями 7 и 8 нет целых чисел, нам нужно использовать больший знаменатель. Умножим числитель и знаменатель полученных дробей, например, на 4.

$ \frac{7}{56} = \frac{7 \times 4}{56 \times 4} = \frac{28}{224} $

$ \frac{8}{56} = \frac{8 \times 4}{56 \times 4} = \frac{32}{224} $

Теперь нам нужно найти три числа между $ \frac{28}{224} $ и $ \frac{32}{224} $. Мы можем выбрать дроби с тем же знаменателем 224, числители которых больше 28, но меньше 32. Такими числителями являются 29, 30 и 31.

Следовательно, искомые числа: $ \frac{29}{224} $, $ \frac{30}{224} $, $ \frac{31}{224} $.

Эти дроби удовлетворяют условию: $ \frac{28}{224} < \frac{29}{224} < \frac{32}{224} $, $ \frac{28}{224} < \frac{30}{224} < \frac{32}{224} $ и $ \frac{28}{224} < \frac{31}{224} < \frac{32}{224} $.

Ответ: $ \frac{29}{224} $, $ \frac{30}{224} $, $ \frac{31}{224} $.

380. Укажите три числа, каждое из которых больше $\frac{3}{13}$, но меньше $\frac{4}{13}$.

Чтобы найти три числа, каждое из которых больше $ \frac{3}{13} $ и меньше $ \frac{4}{13} $, нам нужно найти три числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству: $ \frac{3}{13} < x < \frac{4}{13} $.

Поскольку числители 3 и 4 являются соседними целыми числами, между этими дробями нет других дробей со знаменателем 13 и целым числителем. Чтобы найти искомые числа, приведем дроби к новому, большему знаменателю. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на одно и то же число. Чтобы между новыми дробями можно было найти как минимум три промежуточных значения, нам нужно, чтобы разница между новыми числителями была больше трёх. Умножим числитель и знаменатель на 4.

$ \frac{3}{13} = \frac{3 \cdot 4}{13 \cdot 4} = \frac{12}{52} $

$ \frac{4}{13} = \frac{4 \cdot 4}{13 \cdot 4} = \frac{16}{52} $

Теперь исходное неравенство можно переписать в виде: $ \frac{12}{52} < x < \frac{16}{52} $.

Из этого неравенства видно, что мы можем выбрать дроби со знаменателем 52, числители которых больше 12, но меньше 16. Такими числителями являются целые числа 13, 14 и 15.

Следовательно, три числа, удовлетворяющие условию, это: $ \frac{13}{52} $, $ \frac{14}{52} $ и $ \frac{15}{52} $.

Ответ: $ \frac{13}{52}, \frac{14}{52}, \frac{15}{52} $.

381. Решите уравнение:

1) $ \left(x - \frac{11}{30}\right) - \frac{16}{45} = \frac{2}{9} $

2) $ 9\frac{9}{28} - \left(4\frac{5}{21} - x\right) = 6\frac{2}{7} $

1) $(x - \frac{11}{30}) - \frac{16}{45} = \frac{2}{9}$

В данном уравнении скобка $(x - \frac{11}{30})$ является уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$x - \frac{11}{30} = \frac{2}{9} + \frac{16}{45}$

Чтобы сложить дроби в правой части, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 45 равен 45. Дополнительный множитель для первой дроби – 5.

$x - \frac{11}{30} = \frac{2 \cdot 5}{9 \cdot 5} + \frac{16}{45}$

$x - \frac{11}{30} = \frac{10}{45} + \frac{16}{45}$

$x - \frac{11}{30} = \frac{26}{45}$

Теперь $x$ является уменьшаемым. Чтобы найти $x$, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$x = \frac{26}{45} + \frac{11}{30}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 45 и 30 равно 90. Дополнительный множитель для первой дроби – 2, для второй – 3.

$x = \frac{26 \cdot 2}{45 \cdot 2} + \frac{11 \cdot 3}{30 \cdot 3}$

$x = \frac{52}{90} + \frac{33}{90}$

$x = \frac{85}{90}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5.

$x = \frac{85 \div 5}{90 \div 5} = \frac{17}{18}$

Ответ: $x = \frac{17}{18}$

2) $9\frac{9}{28} - (4\frac{5}{21} - x) = 6\frac{2}{7}$

В данном уравнении скобка $(4\frac{5}{21} - x)$ является вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$4\frac{5}{21} - x = 9\frac{9}{28} - 6\frac{2}{7}$

Выполним вычитание в правой части. Для этого приведем дробные части смешанных чисел к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 28 и 7 равен 28. Дополнительный множитель для второй дроби – 4.

$4\frac{5}{21} - x = 9\frac{9}{28} - 6\frac{2 \cdot 4}{7 \cdot 4}$

$4\frac{5}{21} - x = 9\frac{9}{28} - 6\frac{8}{28}$

Вычитаем целые и дробные части по отдельности.

$4\frac{5}{21} - x = (9 - 6) + (\frac{9}{28} - \frac{8}{28})$

$4\frac{5}{21} - x = 3\frac{1}{28}$

Теперь $x$ является вычитаемым. Чтобы найти $x$, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$x = 4\frac{5}{21} - 3\frac{1}{28}$

Приведем дробные части к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 21 и 28 равно 84. Дополнительный множитель для первой дроби – 4, для второй – 3.

$x = 4\frac{5 \cdot 4}{21 \cdot 4} - 3\frac{1 \cdot 3}{28 \cdot 3}$

$x = 4\frac{20}{84} - 3\frac{3}{84}$

Вычитаем целые и дробные части.

$x = (4 - 3) + (\frac{20}{84} - \frac{3}{84})$

$x = 1\frac{17}{84}$

Ответ: $x = 1\frac{17}{84}$

382. Решите уравнение:

1) $(x + \frac{4}{21}) - \frac{4}{15} = \frac{16}{35}$

2) $3\frac{1}{6} - (x + 1\frac{1}{12}) = \frac{1}{4}$

1) $(x + \frac{4}{21}) - \frac{4}{15} = \frac{16}{35}$

В данном уравнении выражение в скобках $(x + \frac{4}{21})$ является уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$x + \frac{4}{21} = \frac{16}{35} + \frac{4}{15}$

Чтобы сложить дроби в правой части, приведем их к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 35 и 15.

$35 = 5 \cdot 7$

$15 = 3 \cdot 5$

НОК(35, 15) = $3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$.

Приведем дроби к знаменателю 105:

$\frac{16}{35} = \frac{16 \cdot 3}{35 \cdot 3} = \frac{48}{105}$

$\frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 7}{15 \cdot 7} = \frac{28}{105}$

Теперь выполним сложение:

$x + \frac{4}{21} = \frac{48}{105} + \frac{28}{105} = \frac{76}{105}$

Теперь у нас есть простое уравнение, где $x$ — неизвестное слагаемое. Чтобы найти $x$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$x = \frac{76}{105} - \frac{4}{21}$

Приведем дроби к общему знаменателю. НОК(105, 21) = 105.

$\frac{4}{21} = \frac{4 \cdot 5}{21 \cdot 5} = \frac{20}{105}$

Выполним вычитание:

$x = \frac{76}{105} - \frac{20}{105} = \frac{56}{105}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 56 и 105 — это 7.

$x = \frac{56 \div 7}{105 \div 7} = \frac{8}{15}$

Ответ: $x = \frac{8}{15}$

2) $3\frac{1}{6} - (x + 1\frac{1}{12}) = \frac{1}{4}$

В этом уравнении выражение в скобках $(x + 1\frac{1}{12})$ является вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$x + 1\frac{1}{12} = 3\frac{1}{6} - \frac{1}{4}$

Вычислим значение в правой части. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

$3\frac{1}{6} = \frac{3 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{19}{6}$

Теперь найдем разность $\frac{19}{6} - \frac{1}{4}$. Общий знаменатель для 6 и 4 — это 12.

$\frac{19}{6} - \frac{1}{4} = \frac{19 \cdot 2}{12} - \frac{1 \cdot 3}{12} = \frac{38}{12} - \frac{3}{12} = \frac{35}{12}$

Уравнение принимает вид:

$x + 1\frac{1}{12} = \frac{35}{12}$

Чтобы найти $x$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое. Преобразуем $1\frac{1}{12}$ в неправильную дробь.

$1\frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 12 + 1}{12} = \frac{13}{12}$

Подставим это значение в уравнение:

$x + \frac{13}{12} = \frac{35}{12}$

$x = \frac{35}{12} - \frac{13}{12}$

$x = \frac{22}{12}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2.

$x = \frac{11}{6}$

Представим ответ в виде смешанного числа.

$x = 1\frac{5}{6}$

Ответ: $x = 1\frac{5}{6}$

383. Выполните действия:

1) $7\frac{7}{9} - 4\frac{1}{12} + 2\frac{3}{4};$

2) $10\frac{9}{16} - \left(3\frac{11}{12} + 4\frac{4}{9}\right).$

1) $7\frac{7}{9} - 4\frac{1}{12} + 2\frac{3}{4}$

Для решения этого примера будем выполнять действия с целыми и дробными частями смешанных чисел по отдельности.

Сначала сгруппируем целые и дробные части:

$(7 - 4 + 2) + (\frac{7}{9} - \frac{1}{12} + \frac{3}{4})$

Вычислим сумму и разность целых частей:

$7 - 4 + 2 = 3 + 2 = 5$

Теперь выполним действия с дробными частями. Для этого необходимо привести дроби к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 9, 12 и 4.

$9 = 3^2$

$12 = 2^2 \cdot 3$

$4 = 2^2$

НОК(9, 12, 4) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Приведем дроби к знаменателю 36:

$\frac{7}{9} - \frac{1}{12} + \frac{3}{4} = \frac{7 \cdot 4}{9 \cdot 4} - \frac{1 \cdot 3}{12 \cdot 3} + \frac{3 \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{28}{36} - \frac{3}{36} + \frac{27}{36}$

Теперь выполним вычисления:

$\frac{28 - 3 + 27}{36} = \frac{25 + 27}{36} = \frac{52}{36}$

Полученная дробь является неправильной и сократимой. Сократим ее, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 4:

$\frac{52 \div 4}{36 \div 4} = \frac{13}{9}$

Выделим целую часть из неправильной дроби:

$\frac{13}{9} = 1\frac{4}{9}$

Наконец, сложим результат вычисления целых частей и результат вычисления дробных частей:

$5 + 1\frac{4}{9} = 6\frac{4}{9}$

Ответ: $6\frac{4}{9}$

2) $10\frac{9}{16} - (3\frac{11}{12} + 4\frac{4}{9})$

Согласно порядку действий, сначала выполним сложение в скобках.

1. Найдем сумму $3\frac{11}{12} + 4\frac{4}{9}$. Сложим отдельно целые и дробные части:

$(3 + 4) + (\frac{11}{12} + \frac{4}{9})$

Сумма целых частей: $3 + 4 = 7$.

Для сложения дробных частей найдем общий знаменатель для 12 и 9. НОК(12, 9) = 36.

$\frac{11}{12} + \frac{4}{9} = \frac{11 \cdot 3}{12 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{33}{36} + \frac{16}{36} = \frac{33 + 16}{36} = \frac{49}{36}$

Преобразуем неправильную дробь $\frac{49}{36}$ в смешанное число:

$\frac{49}{36} = 1\frac{13}{36}$

Теперь сложим целую часть (7) и полученное смешанное число:

$7 + 1\frac{13}{36} = 8\frac{13}{36}$

2. Теперь выполним вычитание:

$10\frac{9}{16} - 8\frac{13}{36}$

Приведем дробные части к общему знаменателю. Найдем НОК для 16 и 36.

$16 = 2^4$

$36 = 2^2 \cdot 3^2$

НОК(16, 36) = $2^4 \cdot 3^2 = 16 \cdot 9 = 144$.

Приведем дроби к знаменателю 144:

$\frac{9}{16} = \frac{9 \cdot 9}{16 \cdot 9} = \frac{81}{144}$

$\frac{13}{36} = \frac{13 \cdot 4}{36 \cdot 4} = \frac{52}{144}$

Наше выражение принимает вид:

$10\frac{81}{144} - 8\frac{52}{144}$

Выполним вычитание целых и дробных частей по отдельности:

Целая часть: $10 - 8 = 2$.

Дробная часть: $\frac{81}{144} - \frac{52}{144} = \frac{81 - 52}{144} = \frac{29}{144}$.

Дробь $\frac{29}{144}$ несократима, так как 29 — простое число.

Объединим результаты:

$2 + \frac{29}{144} = 2\frac{29}{144}$

Ответ: $2\frac{29}{144}$

384. Выполните действия:

1) $1\frac{5}{7}+3\frac{11}{14}-2\frac{1}{4}$;

2) $17\frac{2}{3}-\left(6\frac{1}{36}-4\frac{3}{8}\right)$.

1) $1\frac{5}{7} + 3\frac{11}{14} - 2\frac{1}{4}$
Чтобы выполнить сложение и вычитание смешанных чисел, приведем их дробные части к общему знаменателю. Знаменатели у нас 7, 14 и 4. Наименьшее общее кратное (НОК) для этих чисел равно 28.
Приведем каждую дробь к знаменателю 28:
$1\frac{5}{7} = 1\frac{5 \cdot 4}{7 \cdot 4} = 1\frac{20}{28}$
$3\frac{11}{14} = 3\frac{11 \cdot 2}{14 \cdot 2} = 3\frac{22}{28}$
$2\frac{1}{4} = 2\frac{1 \cdot 7}{4 \cdot 7} = 2\frac{7}{28}$
Теперь выполним действия по порядку:
1. Сложение: $1\frac{20}{28} + 3\frac{22}{28} = (1+3) + (\frac{20}{28} + \frac{22}{28}) = 4\frac{42}{28}$.
Так как дробная часть получилась неправильной дробью, выделим из нее целую часть: $\frac{42}{28} = 1\frac{14}{28}$.
Значит, $4\frac{42}{28} = 4 + 1\frac{14}{28} = 5\frac{14}{28}$.
2. Вычитание: $5\frac{14}{28} - 2\frac{7}{28} = (5-2) + (\frac{14}{28} - \frac{7}{28}) = 3\frac{7}{28}$.
Сократим дробную часть: $\frac{7}{28} = \frac{1}{4}$.
Получаем $3\frac{1}{4}$.
Ответ: $3\frac{1}{4}$

2) $17\frac{2}{3} - (6\frac{1}{36} - 4\frac{3}{8})$
Сначала выполним действие в скобках: $6\frac{1}{36} - 4\frac{3}{8}$.
Найдем общий знаменатель для дробей $\frac{1}{36}$ и $\frac{3}{8}$. НОК(36, 8) = 72.
Приведем дроби к знаменателю 72:
$6\frac{1}{36} = 6\frac{1 \cdot 2}{36 \cdot 2} = 6\frac{2}{72}$
$4\frac{3}{8} = 4\frac{3 \cdot 9}{8 \cdot 9} = 4\frac{27}{72}$
Выполним вычитание: $6\frac{2}{72} - 4\frac{27}{72}$.
Так как $\frac{2}{72} < \frac{27}{72}$, нужно "занять" единицу у целой части:
$6\frac{2}{72} = 5 + 1 + \frac{2}{72} = 5 + \frac{72}{72} + \frac{2}{72} = 5\frac{74}{72}$.
Теперь вычитаем: $5\frac{74}{72} - 4\frac{27}{72} = (5-4) + (\frac{74-27}{72}) = 1\frac{47}{72}$.
Теперь выполним второе действие, подставив результат из скобок в исходное выражение:
$17\frac{2}{3} - 1\frac{47}{72}$.
Приведем дробь $\frac{2}{3}$ к знаменателю 72: $72 \div 3 = 24$.
$17\frac{2}{3} = 17\frac{2 \cdot 24}{3 \cdot 24} = 17\frac{48}{72}$.
Выполним вычитание:
$17\frac{48}{72} - 1\frac{47}{72} = (17-1) + (\frac{48-47}{72}) = 16\frac{1}{72}$.
Ответ: $16\frac{1}{72}$

385. Денис и Михаил могут вместе покрасить забор за 4 ч. Какую часть забора покрасит Денис самостоятельно за 1 ч, если Михаил может его покрасить сам за 12 ч?

Задачи такого типа решаются через производительность (скорость выполнения работы). Примем всю работу (покраску всего забора) за 1.

1. Найдем совместную производительность Дениса и Михаила.

Если вместе они красят весь забор (1) за 4 часа, то за 1 час они выполняют:

$1 \div 4 = \frac{1}{4}$

Таким образом, их совместная производительность — $\frac{1}{4}$ часть забора в час.

2. Найдем производительность Михаила.

Если Михаил один красит весь забор (1) за 12 часов, то за 1 час он выполняет:

$1 \div 12 = \frac{1}{12}$

Его производительность — $\frac{1}{12}$ часть забора в час.

3. Найдем производительность Дениса.

Чтобы найти, какую часть работы выполняет Денис за 1 час, нужно из совместной производительности вычесть производительность Михаила:

$\frac{1}{4} - \frac{1}{12}$

Приведем дроби к общему знаменателю (12):

$\frac{1 \times 3}{4 \times 3} - \frac{1}{12} = \frac{3}{12} - \frac{1}{12} = \frac{3 - 1}{12} = \frac{2}{12}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

Следовательно, производительность Дениса составляет $\frac{1}{6}$ часть забора в час. Это и есть та часть забора, которую он покрасит самостоятельно за 1 час.

Ответ: $\frac{1}{6}$ часть забора.

386. Бассейн можно наполнить водой через первую трубу за 6 ч, а через вторую – за 8 ч. Какая часть бассейна останется незаполненной водой через 1 ч после того, как открыли одновременно краны на обеих трубах?

Для решения задачи представим весь объем бассейна как 1 (единицу). Далее найдем производительность каждой трубы, то есть какую часть бассейна каждая труба наполняет за 1 час.

1. Производительность первой и второй трубы

Первая труба наполняет весь бассейн за 6 часов. Следовательно, её производительность (скорость наполнения) составляет $ \frac{1}{6} $ часть бассейна в час.

Вторая труба наполняет весь бассейн за 8 часов. Её производительность составляет $ \frac{1}{8} $ часть бассейна в час.

2. Совместная работа труб

Чтобы найти, какую часть бассейна наполнят обе трубы за 1 час, работая вместе, нужно сложить их производительности. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 8 равен 24.

$ \frac{1}{6} + \frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 4}{24} + \frac{1 \cdot 3}{24} = \frac{4+3}{24} = \frac{7}{24} $

Это означает, что за 1 час совместной работы обе трубы наполнят $ \frac{7}{24} $ часть бассейна.

3. Незаполненная часть бассейна

Чтобы узнать, какая часть бассейна останется незаполненной через 1 час, нужно из всего объема бассейна (1) вычесть уже заполненную часть ($ \frac{7}{24} $).

$ 1 - \frac{7}{24} = \frac{24}{24} - \frac{7}{24} = \frac{24 - 7}{24} = \frac{17}{24} $

Таким образом, через 1 час после одновременного открытия кранов на обеих трубах незаполненной останется $ \frac{17}{24} $ часть бассейна.

Ответ: $ \frac{17}{24} $

387. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:

1) $3\frac{2}{9} \cdot 2\frac{1}{5} + 2\frac{1}{5} \cdot 6\frac{7}{9};$

2) $4\frac{8}{9} \cdot 1\frac{1}{2} - 3\frac{5}{9} \cdot 1\frac{1}{2}.$

1) $3\frac{2}{9} \cdot 2\frac{1}{5} + 2\frac{1}{5} \cdot 6\frac{7}{9}$

Наиболее удобный способ решения этого выражения — использование распределительного свойства умножения относительно сложения (вынесение общего множителя за скобки). Общим множителем здесь является $2\frac{1}{5}$.

$3\frac{2}{9} \cdot 2\frac{1}{5} + 2\frac{1}{5} \cdot 6\frac{7}{9} = 2\frac{1}{5} \cdot (3\frac{2}{9} + 6\frac{7}{9})$

Сначала выполним действие в скобках. Для этого сложим целые части и дробные части смешанных чисел отдельно:

Сложение целых частей: $3 + 6 = 9$.

Сложение дробных частей: $\frac{2}{9} + \frac{7}{9} = \frac{2+7}{9} = \frac{9}{9} = 1$.

Результат сложения в скобках: $9 + 1 = 10$.

Теперь умножим общий множитель на полученную сумму. Для этого представим смешанное число в виде неправильной дроби:

$2\frac{1}{5} \cdot 10 = \frac{2 \cdot 5 + 1}{5} \cdot 10 = \frac{11}{5} \cdot 10$

Выполним умножение:

$\frac{11}{5} \cdot 10 = \frac{11 \cdot 10}{5} = 11 \cdot 2 = 22$.

Ответ: 22

2) $4\frac{8}{9} \cdot 1\frac{1}{2} - 3\frac{5}{9} \cdot 1\frac{1}{2}$

В этом случае также применим распределительное свойство умножения, но уже относительно вычитания. Вынесем общий множитель $1\frac{1}{2}$ за скобки.

$4\frac{8}{9} \cdot 1\frac{1}{2} - 3\frac{5}{9} \cdot 1\frac{1}{2} = 1\frac{1}{2} \cdot (4\frac{8}{9} - 3\frac{5}{9})$

Сначала выполним вычитание в скобках, вычитая целые и дробные части по отдельности:

Вычитание целых частей: $4 - 3 = 1$.

Вычитание дробных частей: $\frac{8}{9} - \frac{5}{9} = \frac{8-5}{9} = \frac{3}{9}$.

Сократим дробную часть: $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Результат вычитания в скобках: $1\frac{1}{3}$.

Теперь умножим полученное значение на общий множитель. Для этого преобразуем оба смешанных числа в неправильные дроби:

$1\frac{1}{2} \cdot 1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} \cdot \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}$

Выполним умножение дробей, сократив одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$\frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{2} = 2$.

Ответ: 2

388. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:

1) $3\frac{7}{8} \cdot \frac{4}{5} - 1\frac{5}{8} \cdot \frac{4}{5};$

2) $4\frac{2}{7} \cdot 1\frac{1}{16} + 3\frac{5}{7} \cdot 1\frac{1}{16}.$

1) $3\frac{7}{8} \cdot \frac{4}{5} - 1\frac{5}{8} \cdot \frac{4}{5}$

Для решения этого выражения наиболее удобным способом воспользуемся распределительным свойством умножения относительно вычитания: $a \cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c$.

В данном выражении общий множитель $c = \frac{4}{5}$. Вынесем его за скобки:

$(3\frac{7}{8} - 1\frac{5}{8}) \cdot \frac{4}{5}$

Сначала выполним действие в скобках. Так как знаменатели дробных частей одинаковы, вычитаем целые и дробные части отдельно:

$3\frac{7}{8} - 1\frac{5}{8} = (3 - 1) + (\frac{7}{8} - \frac{5}{8}) = 2 + \frac{7-5}{8} = 2 + \frac{2}{8} = 2\frac{2}{8}$

Сократим дробную часть полученного числа:

$2\frac{2}{8} = 2\frac{1}{4}$

Теперь умножим результат на общий множитель. Для этого представим смешанное число $2\frac{1}{4}$ в виде неправильной дроби:

$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$

Выполним умножение:

$\frac{9}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{9 \cdot 4}{4 \cdot 5}$

Сократим дробь на 4:

$\frac{9}{5}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{9}{5} = 1\frac{4}{5}$

Ответ: $1\frac{4}{5}$

2) $4\frac{2}{7} \cdot 1\frac{1}{16} + 3\frac{5}{7} \cdot 1\frac{1}{16}$

Для решения этого выражения наиболее удобным способом воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения: $a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$.

В данном выражении общий множитель $c = 1\frac{1}{16}$. Вынесем его за скобки:

$(4\frac{2}{7} + 3\frac{5}{7}) \cdot 1\frac{1}{16}$

Сначала выполним действие в скобках. Так как знаменатели дробных частей одинаковы, сложим целые и дробные части отдельно:

$4\frac{2}{7} + 3\frac{5}{7} = (4 + 3) + (\frac{2}{7} + \frac{5}{7}) = 7 + \frac{2+5}{7} = 7 + \frac{7}{7} = 7 + 1 = 8$

Теперь умножим результат на общий множитель. Для этого представим смешанное число $1\frac{1}{16}$ в виде неправильной дроби:

$1\frac{1}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{17}{16}$

Выполним умножение:

$8 \cdot \frac{17}{16} = \frac{8 \cdot 17}{16}$

Сократим дробь на 8:

$\frac{1 \cdot 17}{2} = \frac{17}{2}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{17}{2} = 8\frac{1}{2}$

Ответ: $8\frac{1}{2}$

389. Три рыбака поймали 84 рыбы. Щукин поймал $ \frac{5}{14} $ всех рыб, Окунев – $ \frac{8}{21} $ всех рыб, а Карасёв – остальные. Сколько рыб поймал Карасёв?

Для решения задачи сначала найдем, какую часть от всей рыбы поймали Щукин и Окунев вместе. Для этого сложим дроби, представляющие их улов.

1. Найдем общую долю рыбы, пойманной Щукиным и Окуневым:

$\frac{5}{14} + \frac{8}{21}$

Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 14 и 21 – это 42. Дополнительный множитель для первой дроби – 3 ($42 \div 14 = 3$), для второй – 2 ($42 \div 21 = 2$).

$\frac{5 \times 3}{14 \times 3} + \frac{8 \times 2}{21 \times 2} = \frac{15}{42} + \frac{16}{42} = \frac{15+16}{42} = \frac{31}{42}$

Таким образом, Щукин и Окунев вместе поймали $\frac{31}{42}$ всей рыбы.

2. Теперь найдем, какую часть рыбы поймал Карасёв. Весь улов примем за 1 (или $\frac{42}{42}$). Чтобы найти долю Карасёва, вычтем из целого долю, пойманную двумя другими рыбаками:

$1 - \frac{31}{42} = \frac{42}{42} - \frac{31}{42} = \frac{11}{42}$

Карасёв поймал $\frac{11}{42}$ всей рыбы.

3. Наконец, вычислим, сколько это составляет в штуках, зная, что всего было поймано 84 рыбы:

$84 \times \frac{11}{42} = \frac{84 \times 11}{42} = 2 \times 11 = 22$ рыбы.

Ответ: Карасёв поймал 22 рыбы.

390. За четыре дня яхта прошла 624 км. В первый день было пройдено $ \frac{2}{13} $ всего расстояния, во второй - $ \frac{5}{26} $, в третий - $ \frac{5}{12} $, а в четвёртый - оставшееся расстояние. Сколько километров прошла яхта в четвёртый день?

Для того чтобы найти, какое расстояние прошла яхта в четвертый день, необходимо последовательно выполнить следующие действия:

1. Вычислим расстояние, пройденное яхтой в первый день.

Согласно условию, в первый день было пройдено $\frac{2}{13}$ от всего расстояния (624 км). Чтобы найти эту величину, умножим общее расстояние на дробь:

$624 \cdot \frac{2}{13} = \frac{624 \cdot 2}{13} = \frac{1248}{13} = 96$ км.

2. Вычислим расстояние, пройденное во второй день.

Во второй день яхта прошла $\frac{5}{26}$ от всего расстояния:

$624 \cdot \frac{5}{26} = \frac{624 \cdot 5}{26} = \frac{3120}{26} = 120$ км.

3. Вычислим расстояние, пройденное в третий день.

В третий день было пройдено $\frac{5}{12}$ от всего расстояния:

$624 \cdot \frac{5}{12} = \frac{624 \cdot 5}{12} = \frac{3120}{12} = 260$ км.

4. Найдем общее расстояние, пройденное за первые три дня.

Для этого сложим расстояния, пройденные в каждый из первых трех дней:

$96 + 120 + 260 = 476$ км.

5. Найдем расстояние, пройденное в четвертый день.

В четвертый день яхта прошла оставшееся расстояние. Чтобы его найти, нужно из общего расстояния вычесть расстояние, пройденное за первые три дня:

$624 - 476 = 148$ км.

Ответ: 148 км.