Страница 85 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

412. После сокращения дроби $\frac{48}{n}$ на 4 получили дробь $\frac{m}{13}$. Найдите значения $m$ и $n$.

По условию, дробь $\frac{48}{n}$ была сокращена на 4, в результате чего получилась дробь $\frac{m}{13}$.

Сокращение дроби на число означает, что и числитель, и знаменатель исходной дроби были разделены на это число. Исходя из этого, мы можем составить два равенства для нахождения $m$ и $n$.

Нахождение m
Новый числитель $m$ получается путем деления исходного числителя 48 на 4:
$m = 48 \div 4$
$m = 12$

Нахождение n
Новый знаменатель 13 получается путем деления исходного знаменателя $n$ на 4:
$n \div 4 = 13$
Чтобы найти $n$, нужно умножить 13 на 4:
$n = 13 \times 4$
$n = 52$

Таким образом, исходная дробь была $\frac{48}{52}$, а после сокращения на 4 получилась дробь $\frac{12}{13}$.

Ответ: $m = 12$, $n = 52$.

413. Найдите число, $ \frac{2}{3} $ которого равны $ \frac{3}{7} $ числа 210.

Для решения задачи нужно выполнить два действия.

1. Сначала вычислим, чему равны $\frac{3}{7}$ от числа 210. Чтобы найти дробь от числа, нужно это число умножить на дробь:

$210 \cdot \frac{3}{7} = \frac{210 \cdot 3}{7}$

Можно сократить 210 и 7, разделив 210 на 7:

$(210 : 7) \cdot 3 = 30 \cdot 3 = 90$

Таким образом, $\frac{3}{7}$ от числа 210 — это 90.

2. Теперь задача звучит так: найти число, $\frac{2}{3}$ которого равны 90. Это задача на нахождение целого по его части. Чтобы найти число, зная его часть и какую долю она составляет, нужно значение этой части разделить на дробь.

Пусть искомое число — это $x$. Тогда:

$\frac{2}{3} \cdot x = 90$

Найдем $x$:

$x = 90 : \frac{2}{3}$

Деление на дробь — это то же самое, что и умножение на обратную ей дробь:

$x = 90 \cdot \frac{3}{2} = \frac{90 \cdot 3}{2}$

Сократим 90 и 2:

$x = (90 : 2) \cdot 3 = 45 \cdot 3 = 135$

Искомое число равно 135.

Ответ: 135

414. Найдите $ \frac{5}{8} $ числа, $ \frac{5}{12} $ которого равны 160.

Эта задача решается в два этапа. Сначала мы находим исходное число, а затем вычисляем требуемую его часть.

1. Найдём исходное число. Пусть это число будет $x$. По условию задачи, $\frac{5}{12}$ этого числа равны 160. Мы можем записать это как уравнение:

$\frac{5}{12} \cdot x = 160$

Чтобы найти $x$, нужно разделить 160 на $\frac{5}{12}$. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:

$x = 160 \div \frac{5}{12} = 160 \cdot \frac{12}{5}$

Теперь выполним вычисления:

$x = \frac{160 \cdot 12}{5} = 32 \cdot 12 = 384$

Таким образом, исходное число равно 384.

2. Теперь найдём $\frac{5}{8}$ от числа 384. Для этого умножим 384 на $\frac{5}{8}$:

$\frac{5}{8} \cdot 384 = \frac{5 \cdot 384}{8}$

Сократим 384 на 8:

$384 \div 8 = 48$

Теперь умножим результат на 5:

$5 \cdot 48 = 240$

Следовательно, $\frac{5}{8}$ от исходного числа равны 240.

Ответ: 240

415. Найдите наименьшее натуральное число, при делении которого на $2\frac{4}{7}$, на $2\frac{2}{11}$ и на $\frac{8}{9}$ в результате получим натуральные числа.

Пусть искомое наименьшее натуральное число равно $N$.

По условию задачи, при делении числа $N$ на $2\frac{4}{7}$, на $2\frac{2}{11}$ и на $\frac{8}{9}$ в результате должны получаться натуральные числа. Запишем эти условия в виде математических выражений:

$N \div 2\frac{4}{7} = k_1$, где $k_1$ - натуральное число.

$N \div 2\frac{2}{11} = k_2$, где $k_2$ - натуральное число.

$N \div \frac{8}{9} = k_3$, где $k_3$ - натуральное число.

Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные:

$2\frac{4}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{18}{7}$

$2\frac{2}{11} = \frac{2 \cdot 11 + 2}{11} = \frac{24}{11}$

Теперь перепишем условия с использованием неправильных дробей. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:

$N \cdot \frac{7}{18} = k_1$

$N \cdot \frac{11}{24} = k_2$

$N \cdot \frac{9}{8} = k_3$

Проанализируем каждое условие:

1. Из выражения $N \cdot \frac{7}{18} = k_1$ следует, что $7N$ должно делиться на 18 без остатка. Так как числа 7 и 18 являются взаимно простыми (не имеют общих делителей, кроме 1), то $N$ должно быть кратно 18.

2. Из выражения $N \cdot \frac{11}{24} = k_2$ следует, что $11N$ должно делиться на 24 без остатка. Так как числа 11 и 24 взаимно простые, то $N$ должно быть кратно 24.

3. Из выражения $N \cdot \frac{9}{8} = k_3$ следует, что $9N$ должно делиться на 8 без остатка. Так как числа 9 и 8 взаимно простые, то $N$ должно быть кратно 8.

Таким образом, искомое число $N$ должно одновременно делиться на 18, 24 и 8. Поскольку нам нужно найти наименьшее такое натуральное число, мы должны найти наименьшее общее кратное (НОК) этих трех чисел.

Найдем НОК(18, 24, 8).

Для этого разложим числа на простые множители:

$18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$

$24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$

$8 = 2^3$

Наименьшее общее кратное находится как произведение всех простых множителей в их наибольших степенях, встречающихся в разложениях:

НОК(18, 24, 8) $= 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$.

Следовательно, наименьшее натуральное число $N$, удовлетворяющее условиям задачи, равно 72.

Выполним проверку:

$72 \div 2\frac{4}{7} = 72 \div \frac{18}{7} = 72 \cdot \frac{7}{18} = 4 \cdot 7 = 28$ (натуральное число)

$72 \div 2\frac{2}{11} = 72 \div \frac{24}{11} = 72 \cdot \frac{11}{24} = 3 \cdot 11 = 33$ (натуральное число)

$72 \div \frac{8}{9} = 72 \cdot \frac{9}{8} = 9 \cdot 9 = 81$ (натуральное число)

Все условия выполняются.

Ответ: 72.

416. Найдите наименьшее натуральное число, при делении которого на $4\frac{2}{3}$, на $1\frac{8}{13}$ и на $\frac{4}{7}$ в результате получим натуральные числа.

Пусть $N$ — искомое наименьшее натуральное число. По условию задачи, результаты деления $N$ на числа $4\frac{2}{3}$, $1\frac{8}{13}$ и $\frac{4}{7}$ должны быть натуральными числами.

Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные:

$4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$

$1\frac{8}{13} = \frac{1 \cdot 13 + 8}{13} = \frac{21}{13}$

Теперь запишем условия задачи в виде уравнений, где $k_1, k_2, k_3$ — некоторые натуральные числа:

$N \div \frac{14}{3} = k_1$

$N \div \frac{21}{13} = k_2$

$N \div \frac{4}{7} = k_3$

Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:

$N \cdot \frac{3}{14} = k_1$

$N \cdot \frac{13}{21} = k_2$

$N \cdot \frac{7}{4} = k_3$

Из этих уравнений можно сделать выводы о свойствах числа $N$:

1. Из уравнения $N \cdot \frac{3}{14} = k_1$ следует, что $\frac{3N}{14}$ — натуральное число. Это возможно только в том случае, если $N$ делится нацело на 14 (поскольку 3 и 14 взаимно простые).

2. Из уравнения $N \cdot \frac{13}{21} = k_2$ следует, что $\frac{13N}{21}$ — натуральное число. Это возможно только в том случае, если $N$ делится нацело на 21 (поскольку 13 и 21 взаимно простые).

3. Из уравнения $N \cdot \frac{7}{4} = k_3$ следует, что $\frac{7N}{4}$ — натуральное число. Это возможно только в том случае, если $N$ делится нацело на 4 (поскольку 7 и 4 взаимно простые).

Таким образом, искомое число $N$ должно одновременно делиться на 14, 21 и 4. Поскольку нам нужно найти наименьшее такое натуральное число, мы должны найти наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел.

Найдем НОК(14, 21, 4).

Разложим числа на простые множители:

$14 = 2 \cdot 7$

$21 = 3 \cdot 7$

$4 = 2^2$

Для нахождения НОК берем каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях:

$НОК(14, 21, 4) = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 7^1 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 12 \cdot 7 = 84$.

Следовательно, наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условиям задачи, равно 84.

Проверим результат:

$84 \div 4\frac{2}{3} = 84 \div \frac{14}{3} = 84 \cdot \frac{3}{14} = 6 \cdot 3 = 18$ (натуральное число)

$84 \div 1\frac{8}{13} = 84 \div \frac{21}{13} = 84 \cdot \frac{13}{21} = 4 \cdot 13 = 52$ (натуральное число)

$84 \div \frac{4}{7} = 84 \cdot \frac{7}{4} = 21 \cdot 7 = 147$ (натуральное число)

Все условия выполнены.

Ответ: 84.

417. Если одновременно из пунктов A и B выедут навстречу друг другу легковой и грузовой автомобили, то они встретятся через $4 \frac{4}{9}$ ч. Легковой автомобиль проезжает расстояние между пунктами A и B за 10 ч.

За какое время это расстояние проезжает грузовой автомобиль?

Примем все расстояние между пунктами А и В за 1 (единицу).

Из условия известно, что легковой автомобиль проезжает это расстояние за 10 часов. Следовательно, его скорость (производительность) составляет $ \frac{1}{10} $ часть расстояния в час.

Пусть $ t $ — время, за которое грузовой автомобиль проезжает расстояние между пунктами А и В. Тогда его скорость составляет $ \frac{1}{t} $ часть расстояния в час.

Когда автомобили движутся навстречу друг другу, их общая скорость (скорость сближения) равна сумме их скоростей: $ \frac{1}{10} + \frac{1}{t} $.

По условию, при движении навстречу друг другу они встречаются через $ 4 \frac{4}{9} $ часа. Это означает, что их общая скорость равна 1 (все расстояние), деленное на время встречи:

$ v_{общ} = \frac{1}{4 \frac{4}{9}} $

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $ 4 \frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{40}{9} $.

Тогда общая скорость равна: $ v_{общ} = \frac{1}{\frac{40}{9}} = \frac{9}{40} $ часть расстояния в час.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для общей скорости:

$ \frac{1}{10} + \frac{1}{t} = \frac{9}{40} $

Выразим $ \frac{1}{t} $:

$ \frac{1}{t} = \frac{9}{40} - \frac{1}{10} $

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 40:

$ \frac{1}{t} = \frac{9}{40} - \frac{1 \cdot 4}{10 \cdot 4} = \frac{9}{40} - \frac{4}{40} $

$ \frac{1}{t} = \frac{5}{40} $

Сократим дробь:

$ \frac{1}{t} = \frac{1}{8} $

Отсюда следует, что $ t = 8 $.

Таким образом, грузовой автомобиль проезжает расстояние между пунктами А и В за 8 часов.

Ответ: 8 ч.

418. Два экскаватора, работая вместе, могут вырыть котлован за 20 ч. Первый экскаватор может вырыть этот котлован самостоятельно за 45 ч. За какое время может вырыть этот котлован второй экскаватор, работая самостоятельно?

Для решения задачи примем весь объем работы по выкапыванию котлована за 1.

Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени (в данном случае, за 1 час).

1. Найдем общую производительность двух экскаваторов. Работая вместе, они вырывают котлован за 20 часов. Следовательно, их совместная производительность составляет $ \frac{1}{20} $ часть котлована в час.

2. Найдем производительность первого экскаватора. По условию, он может вырыть котлован самостоятельно за 45 часов. Значит, его производительность составляет $ \frac{1}{45} $ часть котлована в час.

3. Чтобы найти производительность второго экскаватора, вычтем из общей производительности производительность первого экскаватора. Пусть $ P_2 $ — производительность второго экскаватора.

   $ P_2 = \frac{1}{20} - \frac{1}{45} $

   Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 20 и 45 — это 180.

   $ P_2 = \frac{9}{180} - \frac{4}{180} = \frac{9-4}{180} = \frac{5}{180} $

   Сократим полученную дробь:

   $ P_2 = \frac{5}{180} = \frac{1}{36} $

   Таким образом, производительность второго экскаватора составляет $ \frac{1}{36} $ часть котлована в час.

4. Теперь найдем время, за которое второй экскаватор сможет вырыть котлован, работая самостоятельно. Время (t) равно отношению всей работы (A=1) к производительности (P).

   $ t_2 = \frac{1}{P_2} = \frac{1}{\frac{1}{36}} = 36 $ часов.

Ответ: второй экскаватор может вырыть котлован самостоятельно за 36 часов.

419. Первая бригада может выполнить заказ за 48 ч, а вторая бригада – за 24 ч. Сначала 32 ч работала первая бригада, а потом её сменила вторая. За сколько часов вторая бригада закончила выполнение заказа?

Для решения задачи примем весь объем работы по выполнению заказа за 1.

1. Сначала определим производительность труда каждой бригады, то есть какую часть заказа они выполняют за 1 час.

• Производительность первой бригады: $P_1 = \frac{1}{48}$ заказа в час.
• Производительность второй бригады: $P_2 = \frac{1}{24}$ заказа в час.

2. Теперь вычислим, какую часть заказа выполнила первая бригада, проработав 32 часа. Для этого умножим ее производительность на время работы:

$W_1 = P_1 \times t_1 = \frac{1}{48} \times 32 = \frac{32}{48}$

Сократим полученную дробь: $\frac{32}{48} = \frac{2 \times 16}{3 \times 16} = \frac{2}{3}$.

Таким образом, первая бригада выполнила $\frac{2}{3}$ всего заказа.

3. Найдем, какая часть заказа осталась невыполненной. Для этого вычтем из всего заказа (1) ту часть, которую выполнила первая бригада:

$W_{ост} = 1 - W_1 = 1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Осталось выполнить $\frac{1}{3}$ заказа.

4. Наконец, рассчитаем, сколько времени потребуется второй бригаде, чтобы выполнить оставшуюся $\frac{1}{3}$ заказа. Для этого разделим объем оставшейся работы на производительность второй бригады:

$t_2 = \frac{W_{ост}}{P_2} = \frac{1/3}{1/24} = \frac{1}{3} \times \frac{24}{1} = \frac{24}{3} = 8$ часов.

Ответ: 8 часов.

420. Максим может прополоть огород за 10 ч, а Антон – за 15 ч. Сначала Максим полол огород 4 ч, а затем его сменил Антон, который закончил прополку огорода. За сколько часов был прополот огород?

Примем всю работу по прополке огорода за единицу (1).

1. Определим производительность (скорость работы) каждого.
Максим может прополоть весь огород за 10 часов, следовательно, за один час он выполняет $\frac{1}{10}$ часть работы. Его производительность $P_М = \frac{1}{10}$ огорода/час.
Антон может прополоть весь огород за 15 часов, значит, за один час он выполняет $\frac{1}{15}$ часть работы. Его производительность $P_А = \frac{1}{15}$ огорода/час.

2. Найдем, какую часть огорода прополол Максим.
Максим работал 4 часа. Чтобы найти выполненный объем работы, нужно его производительность умножить на время работы:
$W_М = P_М \times t_М = \frac{1}{10} \times 4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ огорода.

3. Найдем оставшуюся часть работы.
После того как Максим закончил, осталась непрополотая часть огорода, которую нужно найти, вычтя из всей работы выполненную часть:
$W_{ост} = 1 - W_М = 1 - \frac{2}{5} = \frac{5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ огорода.

4. Найдем, за сколько часов Антон закончил прополку.
Оставшуюся часть работы выполнил Антон. Чтобы найти время, которое он затратил, нужно разделить объем оставшейся работы на его производительность:
$t_А = W_{ост} \div P_А = \frac{3}{5} \div \frac{1}{15} = \frac{3}{5} \times \frac{15}{1} = \frac{3 \times 15}{5} = \frac{45}{5} = 9$ часов.

5. Найдем общее время, затраченное на прополку всего огорода.
Общее время равно сумме времени, которое работал Максим, и времени, которое работал Антон:
$t_{общ} = t_М + t_А = 4 \text{ ч} + 9 \text{ ч} = 13$ часов.

Ответ: 13 часов.

421. Докажите, что $ \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \dots + \frac{1}{18} > \frac{1}{2} $

Для доказательства неравенства $\frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \dots + \frac{1}{18} > \frac{1}{2}$ воспользуемся методом оценки.

Данная сумма состоит из $18 - 10 + 1 = 9$ слагаемых.

Самое маленькое слагаемое в этой сумме — это $\frac{1}{18}$, так как у него самый большой знаменатель. Каждое из остальных восьми слагаемых (от $\frac{1}{10}$ до $\frac{1}{17}$) строго больше, чем $\frac{1}{18}$.

Например, $\frac{1}{10} > \frac{1}{18}$, $\frac{1}{11} > \frac{1}{18}$ и так далее.

Заменим каждое слагаемое в сумме на наименьшее из них, то есть на $\frac{1}{18}$. Так как все слагаемые, кроме последнего, строго больше $\frac{1}{18}$, то исходная сумма будет строго больше, чем сумма девяти слагаемых, равных $\frac{1}{18}$.

$\frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \dots + \frac{1}{18} > \underbrace{\frac{1}{18} + \frac{1}{18} + \dots + \frac{1}{18}}_{9 \text{ слагаемых}}$

Вычислим значение суммы в правой части неравенства:

$9 \cdot \frac{1}{18} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$

Таким образом, мы доказали, что $\frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \dots + \frac{1}{18} > \frac{1}{2}$.

Ответ: Неравенство доказано.

422. Докажите, что $\frac{1}{31} + \frac{1}{32} + \frac{1}{33} + \dots + \frac{1}{39} + \frac{1}{40} > \frac{1}{4}$.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся методом оценки. Рассмотрим сумму, стоящую в левой части неравенства:

$S = \frac{1}{31} + \frac{1}{32} + \frac{1}{33} + ... + \frac{1}{39} + \frac{1}{40}$

Сначала определим количество слагаемых в этой сумме. Слагаемые представляют собой дроби с последовательными знаменателями от 31 до 40. Количество слагаемых равно $40 - 31 + 1 = 10$.

Чтобы доказать, что сумма $S$ больше $\frac{1}{4}$, мы можем заменить каждое слагаемое в сумме на наименьшее из них или на еще меньшее число. Наименьшим слагаемым в данной сумме является то, у которого самый большой знаменатель, то есть $\frac{1}{40}$.

Сравним каждое слагаемое с $\frac{1}{40}$:

$\frac{1}{31} > \frac{1}{40}$

$\frac{1}{32} > \frac{1}{40}$

...

$\frac{1}{39} > \frac{1}{40}$

$\frac{1}{40} = \frac{1}{40}$

Поскольку каждое из первых девяти слагаемых строго больше $\frac{1}{40}$, а последнее слагаемое равно $\frac{1}{40}$, то вся сумма будет строго больше, чем сумма десяти слагаемых, каждое из которых равно $\frac{1}{40}$.

Запишем это формально:

$\frac{1}{31} + \frac{1}{32} + \frac{1}{33} + ... + \frac{1}{39} + \frac{1}{40} > \underbrace{\frac{1}{40} + \frac{1}{40} + \frac{1}{40} + ... + \frac{1}{40} + \frac{1}{40}}_{10 \text{ слагаемых}}$

Теперь вычислим значение суммы в правой части неравенства:

$10 \cdot \frac{1}{40} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}$

Таким образом, мы показали, что исходная сумма больше $\frac{1}{4}$:

$\frac{1}{31} + \frac{1}{32} + \frac{1}{33} + ... + \frac{1}{39} + \frac{1}{40} > \frac{1}{4}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

423. Вася Ленивицев, решая задачу 371, записал такой ответ: 7, 8, 9. Все ли подходящие варианты ответа выписал Вася?

Для того чтобы ответить на вопрос, необходимо знать условие задачи №371. Поскольку оно не приведено в тексте, можно сделать наиболее вероятное предположение о его содержании, исходя из ответа, который записал Вася.

Предположим, условие задачи №371 было следующим: «Сумма двух последовательных натуральных чисел равна 15. Найдите эти числа».

Решение предполагаемой задачи №371

Обозначим меньшее из двух последовательных натуральных чисел через $x$. Тогда следующее за ним число будет $(x+1)$.

Согласно условию, их сумма должна быть равна 15. Составим и решим уравнение:

$x + (x+1) = 15$

$2x + 1 = 15$

$2x = 15 - 1$

$2x = 14$

$x = 7$

Таким образом, меньшее число равно 7. Второе число равно $x+1 = 7+1 = 8$.

Проверка: $7 + 8 = 15$. Условие выполняется.

Следовательно, подходящими вариантами ответа на задачу №371 являются числа 7 и 8.

Анализ ответа Васи и ответ на вопрос

Вася Ленивцев записал в качестве ответа числа: 7, 8, 9.

Сравнивая его ответ с правильным решением, можно сделать вывод, что Вася правильно нашел числа 7 и 8, но ошибочно добавил к ним число 9, которое не является решением задачи (например, $8+9=17 \ne 15$).

Вопрос задачи №423 звучит: «Все ли подходящие варианты ответа выписал Вася?». Поскольку Вася включил в свой ответ неподходящий вариант (число 9), его список ответов не является правильным. Он выписал не только подходящие, но и неподходящий вариант.

Ответ: Нет, не все. Вася выписал правильные числа 7 и 8, но ошибочно добавил к ним число 9, которое не является подходящим вариантом ответа.

424. На столе лежат две кучки камней: в первой кучке 10 камней, а во второй — 15. За один ход игрок может разделить любую кучку на две меньшие, не обязательно равные кучки. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Может ли выиграть второй игрок?

Рассмотрим данную игру. Ход заключается в разделении любой кучки камней на две меньшие. Это означает, что каждый ход увеличивает общее количество кучек на столе ровно на одну.

Игра заканчивается, когда ходов больше сделать нельзя. Ход невозможен, если каждая кучка состоит ровно из одного камня, так как такую кучку нельзя разделить на две меньшие (непустые) кучки.

В начальный момент у нас есть две кучки, в которых $10$ и $15$ камней. Общее количество камней на столе: $10 + 15 = 25$.

Поскольку общее количество камней не меняется, в конце игры на столе будет 25 кучек, в каждой из которых будет по одному камню.

Итак, игра начинается с 2 кучек и заканчивается, когда на столе становится 25 кучек. Так как каждый ход добавляет ровно одну кучку, общее количество ходов за всю игру будет постоянно и равно разнице между конечным и начальным количеством кучек: $25 - 2 = 23$ хода.

Игроки ходят по очереди. Первый игрок делает ходы с нечетными номерами (1-й, 3-й, ..., 23-й), а второй игрок — с четными (2-й, 4-й, ..., 22-й).

Поскольку общее количество ходов в игре равно 23 (нечетное число), последний, 23-й ход, сделает первый игрок. После этого хода наступит очередь второго игрока, но ходов больше не останется (все кучки будут состоять из одного камня). По правилам, игрок, который не может сделать ход, проигрывает.

Таким образом, второй игрок всегда будет проигрывать, независимо от стратегии обоих игроков.

Ответ: Нет, второй игрок не может выиграть.