Номер 416, страница 85 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Обыкновенные дроби. Глава 3. Дроби - номер 416, страница 85.

Условие.

416. Найдите наименьшее натуральное число, при делении которого на $4\frac{2}{3}$, на $1\frac{8}{13}$ и на $\frac{4}{7}$ в результате получим натуральные числа.

Решение.

Решение 2.

Пусть $N$ — искомое наименьшее натуральное число. По условию задачи, результаты деления $N$ на числа $4\frac{2}{3}$, $1\frac{8}{13}$ и $\frac{4}{7}$ должны быть натуральными числами.

Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные:

$4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$

$1\frac{8}{13} = \frac{1 \cdot 13 + 8}{13} = \frac{21}{13}$

Теперь запишем условия задачи в виде уравнений, где $k_1, k_2, k_3$ — некоторые натуральные числа:

$N \div \frac{14}{3} = k_1$

$N \div \frac{21}{13} = k_2$

$N \div \frac{4}{7} = k_3$

Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:

$N \cdot \frac{3}{14} = k_1$

$N \cdot \frac{13}{21} = k_2$

$N \cdot \frac{7}{4} = k_3$

Из этих уравнений можно сделать выводы о свойствах числа $N$:

1. Из уравнения $N \cdot \frac{3}{14} = k_1$ следует, что $\frac{3N}{14}$ — натуральное число. Это возможно только в том случае, если $N$ делится нацело на 14 (поскольку 3 и 14 взаимно простые).

2. Из уравнения $N \cdot \frac{13}{21} = k_2$ следует, что $\frac{13N}{21}$ — натуральное число. Это возможно только в том случае, если $N$ делится нацело на 21 (поскольку 13 и 21 взаимно простые).

3. Из уравнения $N \cdot \frac{7}{4} = k_3$ следует, что $\frac{7N}{4}$ — натуральное число. Это возможно только в том случае, если $N$ делится нацело на 4 (поскольку 7 и 4 взаимно простые).

Таким образом, искомое число $N$ должно одновременно делиться на 14, 21 и 4. Поскольку нам нужно найти наименьшее такое натуральное число, мы должны найти наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел.

Найдем НОК(14, 21, 4).

Разложим числа на простые множители:

$14 = 2 \cdot 7$

$21 = 3 \cdot 7$

$4 = 2^2$

Для нахождения НОК берем каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях:

$НОК(14, 21, 4) = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 7^1 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 12 \cdot 7 = 84$.

Следовательно, наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условиям задачи, равно 84.

Проверим результат:

$84 \div 4\frac{2}{3} = 84 \div \frac{14}{3} = 84 \cdot \frac{3}{14} = 6 \cdot 3 = 18$ (натуральное число)

$84 \div 1\frac{8}{13} = 84 \div \frac{21}{13} = 84 \cdot \frac{13}{21} = 4 \cdot 13 = 52$ (натуральное число)

$84 \div \frac{4}{7} = 84 \cdot \frac{7}{4} = 21 \cdot 7 = 147$ (натуральное число)

Все условия выполнены.

Ответ: 84.