Номер 415, страница 85 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Обыкновенные дроби. Глава 3. Дроби - номер 415, страница 85.

Условие.

415. Найдите наименьшее натуральное число, при делении которого на $2\frac{4}{7}$, на $2\frac{2}{11}$ и на $\frac{8}{9}$ в результате получим натуральные числа.

Решение.

Решение 2.

Пусть искомое наименьшее натуральное число равно $N$.

По условию задачи, при делении числа $N$ на $2\frac{4}{7}$, на $2\frac{2}{11}$ и на $\frac{8}{9}$ в результате должны получаться натуральные числа. Запишем эти условия в виде математических выражений:

$N \div 2\frac{4}{7} = k_1$, где $k_1$ - натуральное число.

$N \div 2\frac{2}{11} = k_2$, где $k_2$ - натуральное число.

$N \div \frac{8}{9} = k_3$, где $k_3$ - натуральное число.

Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные:

$2\frac{4}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{18}{7}$

$2\frac{2}{11} = \frac{2 \cdot 11 + 2}{11} = \frac{24}{11}$

Теперь перепишем условия с использованием неправильных дробей. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:

$N \cdot \frac{7}{18} = k_1$

$N \cdot \frac{11}{24} = k_2$

$N \cdot \frac{9}{8} = k_3$

Проанализируем каждое условие:

1. Из выражения $N \cdot \frac{7}{18} = k_1$ следует, что $7N$ должно делиться на 18 без остатка. Так как числа 7 и 18 являются взаимно простыми (не имеют общих делителей, кроме 1), то $N$ должно быть кратно 18.

2. Из выражения $N \cdot \frac{11}{24} = k_2$ следует, что $11N$ должно делиться на 24 без остатка. Так как числа 11 и 24 взаимно простые, то $N$ должно быть кратно 24.

3. Из выражения $N \cdot \frac{9}{8} = k_3$ следует, что $9N$ должно делиться на 8 без остатка. Так как числа 9 и 8 взаимно простые, то $N$ должно быть кратно 8.

Таким образом, искомое число $N$ должно одновременно делиться на 18, 24 и 8. Поскольку нам нужно найти наименьшее такое натуральное число, мы должны найти наименьшее общее кратное (НОК) этих трех чисел.

Найдем НОК(18, 24, 8).

Для этого разложим числа на простые множители:

$18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$

$24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$

$8 = 2^3$

Наименьшее общее кратное находится как произведение всех простых множителей в их наибольших степенях, встречающихся в разложениях:

НОК(18, 24, 8) $= 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$.

Следовательно, наименьшее натуральное число $N$, удовлетворяющее условиям задачи, равно 72.

Выполним проверку:

$72 \div 2\frac{4}{7} = 72 \div \frac{18}{7} = 72 \cdot \frac{7}{18} = 4 \cdot 7 = 28$ (натуральное число)

$72 \div 2\frac{2}{11} = 72 \div \frac{24}{11} = 72 \cdot \frac{11}{24} = 3 \cdot 11 = 33$ (натуральное число)

$72 \div \frac{8}{9} = 72 \cdot \frac{9}{8} = 9 \cdot 9 = 81$ (натуральное число)

Все условия выполняются.

Ответ: 72.