Номер 422, страница 85 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Обыкновенные дроби. Глава 3. Дроби - номер 422, страница 85.

Условие.

422. Докажите, что $\frac{1}{31} + \frac{1}{32} + \frac{1}{33} + \dots + \frac{1}{39} + \frac{1}{40} > \frac{1}{4}$.

Решение.

Решение 2.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся методом оценки. Рассмотрим сумму, стоящую в левой части неравенства:

$S = \frac{1}{31} + \frac{1}{32} + \frac{1}{33} + ... + \frac{1}{39} + \frac{1}{40}$

Сначала определим количество слагаемых в этой сумме. Слагаемые представляют собой дроби с последовательными знаменателями от 31 до 40. Количество слагаемых равно $40 - 31 + 1 = 10$.

Чтобы доказать, что сумма $S$ больше $\frac{1}{4}$, мы можем заменить каждое слагаемое в сумме на наименьшее из них или на еще меньшее число. Наименьшим слагаемым в данной сумме является то, у которого самый большой знаменатель, то есть $\frac{1}{40}$.

Сравним каждое слагаемое с $\frac{1}{40}$:

$\frac{1}{31} > \frac{1}{40}$

$\frac{1}{32} > \frac{1}{40}$

...

$\frac{1}{39} > \frac{1}{40}$

$\frac{1}{40} = \frac{1}{40}$

Поскольку каждое из первых девяти слагаемых строго больше $\frac{1}{40}$, а последнее слагаемое равно $\frac{1}{40}$, то вся сумма будет строго больше, чем сумма десяти слагаемых, каждое из которых равно $\frac{1}{40}$.

Запишем это формально:

$\frac{1}{31} + \frac{1}{32} + \frac{1}{33} + ... + \frac{1}{39} + \frac{1}{40} > \underbrace{\frac{1}{40} + \frac{1}{40} + \frac{1}{40} + ... + \frac{1}{40} + \frac{1}{40}}_{10 \text{ слагаемых}}$

Теперь вычислим значение суммы в правой части неравенства:

$10 \cdot \frac{1}{40} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}$

Таким образом, мы показали, что исходная сумма больше $\frac{1}{4}$:

$\frac{1}{31} + \frac{1}{32} + \frac{1}{33} + ... + \frac{1}{39} + \frac{1}{40} > \frac{1}{4}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.