Номер 421, страница 85 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Обыкновенные дроби. Глава 3. Дроби - номер 421, страница 85.

Условие.

421. Докажите, что $ \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \dots + \frac{1}{18} > \frac{1}{2} $

Решение.

Решение 2.

Для доказательства неравенства $\frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \dots + \frac{1}{18} > \frac{1}{2}$ воспользуемся методом оценки.

Данная сумма состоит из $18 - 10 + 1 = 9$ слагаемых.

Самое маленькое слагаемое в этой сумме — это $\frac{1}{18}$, так как у него самый большой знаменатель. Каждое из остальных восьми слагаемых (от $\frac{1}{10}$ до $\frac{1}{17}$) строго больше, чем $\frac{1}{18}$.

Например, $\frac{1}{10} > \frac{1}{18}$, $\frac{1}{11} > \frac{1}{18}$ и так далее.

Заменим каждое слагаемое в сумме на наименьшее из них, то есть на $\frac{1}{18}$. Так как все слагаемые, кроме последнего, строго больше $\frac{1}{18}$, то исходная сумма будет строго больше, чем сумма девяти слагаемых, равных $\frac{1}{18}$.

$\frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \dots + \frac{1}{18} > \underbrace{\frac{1}{18} + \frac{1}{18} + \dots + \frac{1}{18}}_{9 \text{ слагаемых}}$

Вычислим значение суммы в правой части неравенства:

$9 \cdot \frac{1}{18} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$

Таким образом, мы доказали, что $\frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \dots + \frac{1}{18} > \frac{1}{2}$.

Ответ: Неравенство доказано.