Страница 92 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

482. Четыре подруги Аксинья, Глафира, Дарья и Елена измерили свой рост. Рост Аксиньи составляет 15,9 дм, Глафиры – 1570 мм, Дарьи – 156 см, Елены – 1,58 м. Запишите имена подруг в порядке увеличения их роста.

Для того чтобы сравнить рост подруг и расположить их имена в порядке увеличения роста, необходимо все данные привести к единой единице измерения. В данном случае удобнее всего будет перевести все величины в сантиметры (см).

Нам даны следующие данные:
Рост Аксиньи: $15,9$ дм
Рост Глафиры: $1570$ мм
Рост Дарьи: $156$ см
Рост Елены: $1,58$ м

Выполним перевод в сантиметры, используя соотношения:
$1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$
$1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$ (или $1 \text{ мм} = 0,1 \text{ см}$)
$1 \text{ м} = 100 \text{ см}$

1. Переведем рост Аксиньи в сантиметры:
$15,9 \text{ дм} = 15,9 \times 10 \text{ см} = 159 \text{ см}$.

2. Переведем рост Глафиры в сантиметры:
$1570 \text{ мм} = 1570 \div 10 \text{ см} = 157 \text{ см}$.

3. Рост Дарьи уже дан в сантиметрах: $156 \text{ см}$.

4. Переведем рост Елены в сантиметры:
$1,58 \text{ м} = 1,58 \times 100 \text{ см} = 158 \text{ см}$.

Теперь мы имеем рост всех подруг в сантиметрах:
Аксинья: $159 \text{ см}$
Глафира: $157 \text{ см}$
Дарья: $156 \text{ см}$
Елена: $158 \text{ см}$

Сравним полученные значения и расположим их в порядке увеличения:
$156 \text{ см} < 157 \text{ см} < 158 \text{ см} < 159 \text{ см}$.

Соответственно, имена подруг в порядке увеличения их роста: Дарья, Глафира, Елена, Аксинья.

Ответ: Дарья, Глафира, Елена, Аксинья.

483. На координатном луче (рис. 102) точками A, B, C и D отмечены числа 0,102; 0,02; 0,12; 0,012. Найдите координаты точек A, B, C и D.

O • A • B • ... • C • D •

На координатном луче точки располагаются в порядке возрастания их координат: чем правее точка от начала отсчета (точки O), тем больше её координата. Чтобы найти координаты точек A, B, C и D, необходимо расположить данные числа ($0,102$; $0,02$; $0,12$; $0,012$) в порядке возрастания и сопоставить их с точками на луче.

Для сравнения десятичных дробей приведём их к одинаковому количеству знаков после запятой (к тысячным долям), добавив нули справа там, где это необходимо:

• $0,102$
• $0,02 = 0,020$
• $0,12 = 0,120$
• $0,012$

Теперь легко сравнить эти числа: $0,012 < 0,020 < 0,102 < 0,120$.

Следовательно, исходные числа в порядке возрастания располагаются так: $0,012; 0,02; 0,102; 0,12$.

Теперь сопоставим этот ряд чисел с точками на координатном луче, которые идут в порядке A, B, C, D.

Координата точки A

Точка A расположена ближе всех к началу координат, поэтому ей соответствует наименьшее из данных чисел.

Ответ: $A(0,012)$

Координата точки B

Точка B следует за точкой A, ей соответствует второе по величине число.

Ответ: $B(0,02)$

Координата точки C

Точка C следует за точкой B, ей соответствует третье по величине число.

Ответ: $C(0,102)$

Координата точки D

Точка D расположена дальше всех от начала координат, ей соответствует наибольшее из данных чисел.

Ответ: $D(0,12)$

484. На координатном луче (рис. 103) точками $M$, $N$, $K$ и $P$ отмечены числа 0,502; 0,52; 0,25; 0,205. Найдите координаты точек $M$, $N$, $K$ и $P$.

Рис. 103

$O \quad M \quad N \quad K \quad P$

Чтобы найти координаты точек M, N, K и P, необходимо расположить данные числа в порядке возрастания и сопоставить их с точками на координатном луче. На луче точки расположены в порядке увеличения их координат слева направо: O, M, N, K, P.

Даны числа: 0,502; 0,52; 0,25; 0,205.

Сначала сравним эти числа. Для удобства сравнения приведём все дроби к одинаковому количеству знаков после запятой, добавив нули справа. Максимальное количество знаков — три.

• $0,502$
• $0,52 = 0,520$
• $0,25 = 0,250$
• $0,205$

Теперь мы можем сравнить эти числа, отбросив нули и запятую: 502, 520, 250, 205. Расположим их в порядке возрастания:

$205 < 250 < 502 < 520$

Это соответствует следующему порядку десятичных дробей:

$0,205 < 0,25 < 0,502 < 0,52$

Теперь сопоставим полученный упорядоченный ряд чисел с точками на координатном луче.

Координата точки M
Точка M является ближайшей к началу координат (после точки O), поэтому её координата — наименьшее из данных чисел.
Ответ: M(0,205).

Координата точки N
Точка N следует за точкой M, значит, её координата — второе по величине число.
Ответ: N(0,25).

Координата точки K
Точка K следует за точкой N, её координата — третье по величине число.
Ответ: K(0,502).

Координата точки P
Точка P является самой дальней от начала координат, поэтому её координата — наибольшее из данных чисел.
Ответ: P(0,52).

485. Запишите три числа, каждое из которых больше $0,638$ и меньше $0,639$.

Нам нужно найти три числа, которые удовлетворяют двойному неравенству: $0,638 < x < 0,639$.

Чтобы найти такие числа, удобно представить границы нашего интервала (0,638 и 0,639) в виде десятичных дробей с большим количеством знаков после запятой. Мы можем добавить нули в конце десятичной дроби, не изменяя ее величины.

Представим числа 0,638 и 0,639 в виде дробей с четырьмя знаками после запятой:
$0,638 = 0,6380$
$0,639 = 0,6390$

Теперь наше неравенство выглядит так: $0,6380 < x < 0,6390$.

Из этого вида легко увидеть, что между данными числами находится множество других чисел. Например, все числа от 0,6381 до 0,6389. Мы можем выбрать любые три из них.

Например, выберем следующие три числа:

• 0,6381 (так как $0,6380 < 0,6381 < 0,6390$)
• 0,6385 (так как $0,6380 < 0,6385 < 0,6390$)
• 0,6387 (так как $0,6380 < 0,6387 < 0,6390$)

Существует бесконечное множество таких чисел. Например, 0,63801, 0,638555 и т.д.

Ответ: 0,6381; 0,6385; 0,6387.

486. Запишите три числа, каждое из которых больше $11,42$ и меньше $11,43$.

Чтобы найти три числа, каждое из которых больше 11,42 и меньше 11,43, необходимо найти три значения $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству:

$11,42 < x < 11,43$

Для облегчения поиска таких чисел, мы можем представить граничные значения с большим количеством знаков после запятой. Добавление нулей в конце дробной части десятичной дроби не изменяет её значение. Представим 11,42 как 11,420, а 11,43 как 11,430.

Теперь неравенство можно записать в следующем виде:

$11,420 < x < 11,430$

Из этого неравенства легко выбрать подходящие числа. Любое число с тремя знаками после запятой, которое начинается с 11,42 и заканчивается цифрой от 1 до 9, будет удовлетворять условию. Например, 11,421, 11,422, ..., 11,429.

Выберем три таких числа и проверим их:

1. 11,421: $11,420 < 11,421 < 11,430$, следовательно $11,42 < 11,421 < 11,43$.
2. 11,425: $11,420 < 11,425 < 11,430$, следовательно $11,42 < 11,425 < 11,43$.
3. 11,428: $11,420 < 11,428 < 11,430$, следовательно $11,42 < 11,428 < 11,43$.

Все три числа удовлетворяют заданному условию. Важно отметить, что существует бесконечное множество таких чисел.

Ответ: 11,421; 11,425; 11,428.

487. За три дня на шахте добыли 2436,86 т угля. За первый день добыча составила 827,48 т, а за второй — на 59,59 т меньше, чем за первый. Сколько тонн угля добыли за третий день?

Для решения задачи необходимо последовательно выполнить несколько действий.

1. Вычислим количество угля, добытого за второй день.

Из условия известно, что за второй день добыли на 59,59 т угля меньше, чем за первый. За первый день добыча составила 827,48 т. Таким образом:

$827,48 - 59,59 = 767,89$ (т) – добыто угля за второй день.

2. Найдем общее количество угля, добытого за первые два дня.

Для этого сложим количество угля, добытого в первый и второй дни:

$827,48 + 767,89 = 1595,37$ (т) – добыто угля за два дня.

3. Найдем, сколько тонн угля добыли за третий день.

Чтобы найти добычу за третий день, нужно из общего количества угля, добытого за три дня, вычесть количество угля, добытого за первые два дня:

$2436,86 - 1595,37 = 841,49$ (т) – добыто угля за третий день.

Ответ: за третий день добыли 841,49 т угля.

488. Фермер Василий Работящий взял в аренду три участка земли общей площадью 3428,32 га. Площадь первого участка была равна 1506,46 га, что на 237,64 га меньше площади второго участка. Найдите площадь третьего участка.

Для того чтобы найти площадь третьего участка, необходимо выполнить несколько действий.

1. Найдём площадь второго участка.

В условии сказано, что площадь первого участка ($1506,46$ га) на $237,64$ га меньше площади второго. Это значит, что площадь второго участка больше площади первого на $237,64$ га. Чтобы найти площадь второго участка, нужно сложить площадь первого участка и разницу:

$1506,46 + 237,64 = 1744,1$ (га)

Ответ: площадь второго участка составляет $1744,1$ га.

2. Найдём суммарную площадь первого и второго участков.

Теперь, зная площади обоих участков, сложим их, чтобы найти их общую площадь:

$1506,46 + 1744,1 = 3250,56$ (га)

Ответ: общая площадь первого и второго участков равна $3250,56$ га.

3. Найдём площадь третьего участка.

Общая площадь трёх участков известна — $3428,32$ га. Чтобы найти площадь третьего участка, вычтем из общей площади сумму площадей первых двух участков:

$3428,32 - 3250,56 = 177,76$ (га)

Ответ: площадь третьего участка равна $177,76$ га.

489. Выполните сложение наиболее удобным способом:

1) $(1,72 + 3,428) + 2,28;$

2) $28,964 + 51,17 + 48,036.$

1) (1,72 + 3,428) + 2,28

Чтобы выполнить сложение наиболее удобным способом, воспользуемся сочетательным и переместительным свойствами сложения. Это позволяет нам менять слагаемые местами и группировать их так, как нам удобно. Сгруппируем слагаемые 1,72 и 2,28, так как их дробные части в сумме дают единицу ($0,72 + 0,28 = 1,00$), что упрощает вычисления.

$(1,72 + 3,428) + 2,28 = (1,72 + 2,28) + 3,428$

Сначала выполним сложение в скобках:

$1,72 + 2,28 = 4,00 = 4$

Теперь к полученному результату прибавим оставшееся слагаемое:

$4 + 3,428 = 7,428$

Ответ: 7,428

2) 28,964 + 51,17 + 48,036

Для нахождения суммы наиболее удобным способом также применим переместительное и сочетательное свойства сложения. Заметим, что дробные части чисел 28,964 и 48,036 в сумме дают единицу ($0,964 + 0,036 = 1,000$). Поэтому сгруппируем эти два числа.

$28,964 + 51,17 + 48,036 = (28,964 + 48,036) + 51,17$

Вычислим сумму в скобках:

$28,964 + 48,036 = 77,000 = 77$

Теперь к полученному результату прибавим третье слагаемое:

$77 + 51,17 = 128,17$

Ответ: 128,17

490. Выполните сложение наиболее удобным способом:

1) $6,53 + (1,095 + 3,47)$;

2) $18,351 + 1,9 + 1,649$.

1) Чтобы найти значение выражения $6,53 + (1,095 + 3,47)$ наиболее удобным способом, воспользуемся сочетательным свойством сложения, которое позволяет нам менять порядок действий: $a + (b + c) = (a + b) + c$. Также применим переместительное свойство, чтобы поменять слагаемые местами. Удобнее всего сгруппировать числа $6,53$ и $3,47$, так как их дробные части в сумме дают единицу ($0,53 + 0,47 = 1,00$), что в итоге дает целое число.
$6,53 + (1,095 + 3,47) = (6,53 + 3,47) + 1,095$.
1. Выполним сложение в скобках: $6,53 + 3,47 = 10$.
2. К полученному результату прибавим оставшееся слагаемое: $10 + 1,095 = 11,095$.
Ответ: $11,095$.

2) В выражении $18,351 + 1,9 + 1,649$ для удобства вычислений используем переместительное и сочетательное свойства сложения. Сгруппируем слагаемые $18,351$ и $1,649$. Их дробные части в сумме дают единицу ($0,351 + 0,649 = 1,000$), что позволяет получить в результате целое число и упростить дальнейшие расчеты.
$18,351 + 1,9 + 1,649 = (18,351 + 1,649) + 1,9$.
1. Вычислим сумму в скобках: $18,351 + 1,649 = 20$.
2. Прибавим к результату оставшееся слагаемое: $20 + 1,9 = 21,9$.
Ответ: $21,9$.

491. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:

1) $6,3 \cdot 8,4 + 6,3 \cdot 1,6;$

2) $91,82 : 7,48 - 91,22 : 7,48.$

1) $6,3 \cdot 8,4 + 6,3 \cdot 1,6$

Для решения этого примера наиболее удобным способом является использование распределительного свойства умножения относительно сложения: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$. В данном выражении общий множитель — это число 6,3. Вынесем его за скобки:

$6,3 \cdot 8,4 + 6,3 \cdot 1,6 = 6,3 \cdot (8,4 + 1,6)$

Сначала выполним действие в скобках:

$8,4 + 1,6 = 10$

Теперь умножим общий множитель на полученную сумму:

$6,3 \cdot 10 = 63$

Ответ: 63

2) $91,32 \cdot 7,48 - 91,22 \cdot 7,48$

Для решения этого примера наиболее удобным способом является использование распределительного свойства умножения относительно вычитания: $a \cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c$. В данном выражении общий множитель — это число 7,48. Вынесем его за скобки:

$91,32 \cdot 7,48 - 91,22 \cdot 7,48 = (91,32 - 91,22) \cdot 7,48$

Сначала выполним действие в скобках:

$91,32 - 91,22 = 0,1$

Теперь умножим полученную разность на общий множитель:

$0,1 \cdot 7,48 = 0,748$

Ответ: 0,748

492. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:

1) $3,8 \cdot 1,23 + 3,8 \cdot 0,77;$

2) $54,1 \cdot 42,6 - 54,1 \cdot 32,6.$

1) $3,8 \cdot 1,23 + 3,8 \cdot 0,77$

Для решения этого выражения наиболее удобным способом является использование распределительного свойства умножения относительно сложения. Это свойство можно записать в виде формулы: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$.

В данном случае общий множитель $a = 3,8$. Вынесем его за скобки:

$3,8 \cdot (1,23 + 0,77)$

Теперь выполним действие в скобках:

$1,23 + 0,77 = 2$

Далее умножим полученное значение на общий множитель:

$3,8 \cdot 2 = 7,6$

Ответ: 7,6

2) $54,1 \cdot 42,6 - 54,1 \cdot 32,6$

Для решения этого выражения наиболее удобным способом является использование распределительного свойства умножения относительно вычитания. Это свойство можно записать в виде формулы: $a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b - c)$.

В данном случае общий множитель $a = 54,1$. Вынесем его за скобки:

$54,1 \cdot (42,6 - 32,6)$

Теперь выполним действие в скобках:

$42,6 - 32,6 = 10$

Далее умножим полученное значение на общий множитель:

$54,1 \cdot 10 = 541$

Ответ: 541

493. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $0,062b - 0,047b$, если $b = 5,4$;

2) $1,6a + 1,4a - 2,7a$, если $a = 2,15$.

Сначала упростим выражение. Так как оба члена содержат общий множитель $b$, мы можем вынести его за скобки и выполнить вычитание коэффициентов:

$0,062b - 0,047b = (0,062 - 0,047)b = 0,015b$

Теперь подставим значение $b = 5,4$ в упрощенное выражение и найдем его числовое значение:

$0,015 \times 5,4 = 0,081$

Ответ: 0,081.

Сначала упростим выражение. Все члены содержат общий множитель $a$, поэтому мы можем вынести его за скобки и выполнить действия с коэффициентами:

$1,6a + 1,4a - 2,7a = (1,6 + 1,4 - 2,7)a = (3 - 2,7)a = 0,3a$

Теперь подставим значение $a = 2,15$ в упрощенное выражение и найдем его числовое значение:

$0,3 \times 2,15 = 0,645$

Ответ: 0,645.

494. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $3,4x + 5,6x$, если $x = 0,08$;

2) $2,5y - 1,2y + 3,7y$, если $y = 4,72$.

1) Сначала упростим выражение. Для этого воспользуемся распределительным свойством умножения и сложим коэффициенты при переменной $x$:

$3,4x + 5,6x = (3,4 + 5,6)x = 9x$

Теперь подставим данное значение $x = 0,08$ в полученное упрощенное выражение:

$9x = 9 \cdot 0,08 = 0,72$

Ответ: 0,72

2) Сначала упростим выражение, выполнив действия с коэффициентами при переменной $y$:

$2,5y - 1,2y + 3,7y = (2,5 - 1,2 + 3,7)y = (1,3 + 3,7)y = 5y$

Теперь подставим данное значение $y = 4,72$ в полученное упрощенное выражение:

$5y = 5 \cdot 4,72 = 23,6$

Ответ: 23,6