Страница 96 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. В каком случае несократимую дробь можно преобразовать в десятичную?

Несократимую обыкновенную дробь можно преобразовать в конечную десятичную дробь тогда и только тогда, когда её знаменатель при разложении на простые множители не содержит никаких других чисел, кроме 2 и 5.

Это правило следует из определения десятичной дроби. Конечная десятичная дробь — это дробь, знаменатель которой является степенью числа 10 (например, 10, 100, 1000 и т.д.). Разложение числа 10 на простые множители — это $10 = 2 \cdot 5$. Соответственно, любая степень числа 10 будет состоять только из множителей 2 и 5: $10^n = (2 \cdot 5)^n = 2^n \cdot 5^n$.

Поэтому, чтобы обыкновенную дробь $\frac{a}{b}$ можно было привести к знаменателю вида $10^n$, необходимо, чтобы её собственный знаменатель $b$ состоял только из простых множителей 2 и 5. Если в знаменателе есть другие простые множители (3, 7, 11 и т.д.), то домножением на целое число его невозможно превратить в степень десяти, и такая дробь обратится в бесконечную периодическую.

Пример 1: Дробь $\frac{3}{20}$.
Дробь несократимая. Разложим знаменатель на простые множители: $20 = 2 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5^1$. Знаменатель содержит только множители 2 и 5, значит, дробь можно преобразовать в конечную десятичную. Для этого нужно домножить числитель и знаменатель на $5$ так, чтобы степени у множителей 2 и 5 в знаменателе стали одинаковыми:$\frac{3}{20} = \frac{3}{2^2 \cdot 5^1} = \frac{3 \cdot 5}{2^2 \cdot 5^1 \cdot 5} = \frac{15}{2^2 \cdot 5^2} = \frac{15}{10^2} = \frac{15}{100} = 0,15$.

Пример 2: Дробь $\frac{5}{6}$.
Дробь несократимая. Разложим знаменатель на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$. Поскольку в разложении знаменателя присутствует множитель 3, эту дробь нельзя преобразовать в конечную десятичную. При делении получится бесконечная периодическая дробь: $5 \div 6 = 0,8333... = 0,8(3)$.

Ответ: Несократимую дробь можно преобразовать в конечную десятичную дробь в том случае, если разложение её знаменателя на простые множители содержит только множители 2 и 5.

2. Как преобразовать обыкновенную дробь в десятичную?

$0,0=$

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, существует два основных способа. Выбор способа зависит от самой дроби.

Способ 1: Деление числителя на знаменатель

Этот способ является универсальным и подходит для абсолютно любой обыкновенной дроби. Дробная черта в дроби $\frac{a}{b}$ по сути означает операцию деления $a$ на $b$. Следовательно, чтобы получить десятичную дробь, нужно просто выполнить это деление, разделив числитель на знаменатель (например, в столбик).

В результате деления может получиться либо конечная десятичная дробь, либо бесконечная периодическая десятичная дробь.

Пример с конечной десятичной дробью:

Преобразуем дробь $\frac{3}{4}$ в десятичную. Для этого разделим числитель 3 на знаменатель 4.

$3 \div 4 = 0.75$

Ответ: $\frac{3}{4} = 0.75$.

Пример с бесконечной периодической дробью:

Преобразуем дробь $\frac{5}{6}$ в десятичную. Разделим числитель 5 на знаменатель 6.

$5 \div 6 = 0.8333...$

В этом случае цифра 3 повторяется бесконечно. Такие дроби называются периодическими и записываются с помощью скобок, в которые заключается повторяющаяся цифра (период): $0.8(3)$.

Ответ: $\frac{5}{6} = 0.8(3)$.

Способ 2: Приведение знаменателя к степени 10

Этот способ удобен, но подходит только для тех дробей, которые можно представить в виде конечной десятичной дроби. Правило гласит: несократимую обыкновенную дробь можно преобразовать в конечную десятичную только тогда, когда её знаменатель не имеет других простых делителей, кроме 2 и 5.

Суть способа заключается в том, чтобы, используя основное свойство дроби, домножить её числитель и знаменатель на такое число, чтобы в знаменателе получилось 10, 100, 1000 и т.д. (то есть $10^n$).

Пример 1:

Преобразуем дробь $\frac{7}{20}$. Знаменатель 20 имеет простые делители 2, 2 и 5. Чтобы получить в знаменателе 100, нужно $20 \cdot 5$. Домножим числитель и знаменатель на 5:

$\frac{7}{20} = \frac{7 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{35}{100} = 0.35$

Ответ: $\frac{7}{20} = 0.35$.

Пример 2:

Преобразуем дробь $\frac{11}{25}$. Знаменатель 25 ($5^2$). Чтобы получить 100 ($10^2$), нужно домножить на $4$ ($2^2$).

$\frac{11}{25} = \frac{11 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{44}{100} = 0.44$

Ответ: $\frac{11}{25} = 0.44$.

Пример 3:

Преобразуем дробь $\frac{3}{8}$. Знаменатель 8 это $2^3$. Чтобы получить в знаменателе степень десяти, а именно $1000 = 10^3 = (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3$, нужно домножить знаменатель на $5^3=125$.

$\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{375}{1000} = 0.375$

Ответ: $\frac{3}{8} = 0.375$.

1. Ответом к каким из следующих задач является число $ \frac{3}{4} $?

1) Сколько стоит одна шоколадка, если за 3 таких шоколадки Буратино заплатил 4 сольдо?

2) Провод длиной 3 м разрезали на 4 равные части. Какова длина одной части?

3) Мастер выложил кафельной плиткой $4 \text{ м}^2$ стены за 3 ч. Сколько квадратных метров он выкладывает плиткой за 1 ч?

4) Решите уравнение $4x = 3$.

Для того чтобы определить, к каким из предложенных задач ответом является число $\frac{3}{4}$, решим каждую из них.

1) В задаче требуется найти стоимость одной шоколадки. Если за 3 шоколадки заплатили 4 сольдо, то для нахождения цены одной шоколадки нужно общую стоимость разделить на количество.
$4 \div 3 = \frac{4}{3}$ сольдо.
Этот результат не равен $\frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$ сольдо.

2) В задаче требуется найти длину одной части провода. Если провод длиной 3 м разрезали на 4 равные части, то длина одной части вычисляется делением общей длины на количество частей.
$3 \div 4 = \frac{3}{4}$ м.
Этот результат равен $\frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$ м.

3) В задаче требуется найти производительность мастера (площадь, выкладываемую за 1 час). Если за 3 часа он выложил 4 м², то его производительность — это общая площадь, делённая на время.
$4 \div 3 = \frac{4}{3}$ м²/ч.
Этот результат не равен $\frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$ м²/ч.

4) В задаче требуется решить уравнение $4x = 3$. Чтобы найти неизвестное $x$, нужно произведение (3) разделить на известный множитель (4).
$x = 3 \div 4$
$x = \frac{3}{4}$.
Корень уравнения равен $\frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

Следовательно, число $\frac{3}{4}$ является ответом к задачам под номерами 2) и 4).