Страница 102 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

535. На доске написаны числа 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0. Разрешается к любым двум записанным числам прибавить одно и то же натуральное число. Можно ли, выполнив такую операцию несколько раз, достичь того, чтобы все записанные числа оказались равными?

Для решения этой задачи проанализируем, как изменяется сумма всех чисел на доске после каждой операции. Это поможет нам найти инвариант — свойство, которое не меняется в процессе преобразований.

1. Исходные числа на доске: 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0. Всего 8 чисел.
Вычислим их начальную сумму $S_{нач}$:
$S_{нач} = 1 + 0 + 1 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 = 3$.
Начальная сумма является нечетным числом.

2. По условию, разрешается к любым двум записанным числам прибавить одно и то же натуральное число $n$ (где $n \geq 1$).
Пусть $S$ — это сумма всех чисел на доске в некоторый момент. После выполнения одной операции (прибавления $n$ к двум числам) новая сумма $S'$ будет равна:
$S' = S + n + n = S + 2n$.
Величина $2n$ всегда является четным числом для любого натурального $n$.

3. Таким образом, каждая операция увеличивает общую сумму на четное число. Начальная сумма (3) — нечетная. Сумма нечетного и четного чисел всегда нечетна. Следовательно, после любого количества операций сумма всех чисел на доске будет оставаться нечетной.

4. Теперь рассмотрим предполагаемый конечный результат: все числа на доске стали равны. Пусть все 8 чисел равны некоторому числу $K$.
Тогда конечная сумма $S_{кон}$ всех чисел будет равна:
$S_{кон} = 8 \times K$.

5. Поскольку 8 — четное число, произведение $8 \times K$ также будет четным числом для любого целого $K$ (а числа на доске всегда будут целыми, так как мы начинаем с целых и прибавляем целые).
Итак, в желаемом конечном состоянии сумма всех чисел должна быть четной.

6. Мы пришли к противоречию. С одной стороны, в результате наших операций сумма всегда должна оставаться нечетной. С другой стороны, для достижения цели сумма должна стать четной. Поскольку нечетное число не может быть равно четному, достичь требуемого состояния невозможно.

Ответ: нельзя.

Как найти десятичное приближение обыкновенной дроби до нужного разряда?

Чтобы найти десятичное приближение обыкновенной дроби до нужного разряда, следует выполнить два шага: сначала перевести обыкновенную дробь в десятичную, а затем округлить её до требуемого разряда.

Шаг 1. Перевод обыкновенной дроби в десятичную

Для этого нужно разделить числитель дроби на её знаменатель (например, "в столбик"). Деление необходимо продолжать до тех пор, пока не будет получена цифра в разряде, который следует сразу за тем разрядом, до которого требуется округлить. Например, для округления до сотых (два знака после запятой) нужно вычислить три знака после запятой (до тысячных).

Шаг 2. Округление полученной десятичной дроби до нужного разряда

Для округления числа используется следующее правило. Посмотрите на цифру, которая следует сразу за разрядом, до которого вы округляете:

• Если эта цифра $0, 1, 2, 3$ или $4$, то последняя оставляемая цифра не меняется, а все последующие цифры отбрасываются (округление с недостатком).

• Если эта цифра $5, 6, 7, 8$ или $9$, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу, а все последующие цифры отбрасываются (округление с избытком).

Пример 1. Найти десятичное приближение дроби $\frac{15}{22}$ до сотых.

Решение:

1. Переведем дробь в десятичную. Для округления до сотых нам нужно знать результат деления до тысячных (третий знак после запятой).

$15 \div 22 = 0.6818...$

2. Округлим результат $0.6818...$ до сотых. Цифра в разряде сотых — $8$. Следующая за ней цифра — $1$.

Так как $1 < 5$, цифру $8$ оставляем без изменений, а все последующие отбрасываем. Получаем $0.68$.

Таким образом, $\frac{15}{22} \approx 0.68$.

Ответ: $0.68$.

Пример 2. Найти десятичное приближение дроби $\frac{2}{7}$ до тысячных.

Решение:

1. Переведем дробь в десятичную. Для округления до тысячных (третий знак) нам нужно знать результат деления до десятитысячных (четвертый знак).

$2 \div 7 = 0.285714...$

2. Округлим результат $0.285714...$ до тысячных. Цифра в разряде тысячных — $5$. Следующая за ней цифра — $7$.

Так как $7 \ge 5$, цифру $5$ увеличиваем на единицу ($5+1=6$), а все последующие отбрасываем. Получаем $0.286$.

Таким образом, $\frac{2}{7} \approx 0.286$.

Ответ: $0.286$.