Номер 535, страница 102 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Бесконечные периодические десятичные дроби. Глава 3. Дроби - номер 535, страница 102.

Условие.

535. На доске написаны числа 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0. Разрешается к любым двум записанным числам прибавить одно и то же натуральное число. Можно ли, выполнив такую операцию несколько раз, достичь того, чтобы все записанные числа оказались равными?

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи проанализируем, как изменяется сумма всех чисел на доске после каждой операции. Это поможет нам найти инвариант — свойство, которое не меняется в процессе преобразований.

1. Исходные числа на доске: 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0. Всего 8 чисел.
Вычислим их начальную сумму $S_{нач}$:
$S_{нач} = 1 + 0 + 1 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 = 3$.
Начальная сумма является нечетным числом.

2. По условию, разрешается к любым двум записанным числам прибавить одно и то же натуральное число $n$ (где $n \geq 1$).
Пусть $S$ — это сумма всех чисел на доске в некоторый момент. После выполнения одной операции (прибавления $n$ к двум числам) новая сумма $S'$ будет равна:
$S' = S + n + n = S + 2n$.
Величина $2n$ всегда является четным числом для любого натурального $n$.

3. Таким образом, каждая операция увеличивает общую сумму на четное число. Начальная сумма (3) — нечетная. Сумма нечетного и четного чисел всегда нечетна. Следовательно, после любого количества операций сумма всех чисел на доске будет оставаться нечетной.

4. Теперь рассмотрим предполагаемый конечный результат: все числа на доске стали равны. Пусть все 8 чисел равны некоторому числу $K$.
Тогда конечная сумма $S_{кон}$ всех чисел будет равна:
$S_{кон} = 8 \times K$.

5. Поскольку 8 — четное число, произведение $8 \times K$ также будет четным числом для любого целого $K$ (а числа на доске всегда будут целыми, так как мы начинаем с целых и прибавляем целые).
Итак, в желаемом конечном состоянии сумма всех чисел должна быть четной.

6. Мы пришли к противоречию. С одной стороны, в результате наших операций сумма всегда должна оставаться нечетной. С другой стороны, для достижения цели сумма должна стать четной. Поскольку нечетное число не может быть равно четному, достичь требуемого состояния невозможно.

Ответ: нельзя.