Номер 528, страница 100 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Бесконечные периодические десятичные дроби. Глава 3. Дроби - номер 528, страница 100.

Условие.

528. Преобразуйте обыкновенную дробь в бесконечную периодическую десятичную дробь и укажите её период:

1) $\frac{7}{9}$;

2) $\frac{11}{30}$;

3) $\frac{13}{18}$;

4) $\frac{31}{33}$;

5) $\frac{49}{54}$.

Решение.

Решение 2.

1) Чтобы преобразовать обыкновенную дробь $ \frac{7}{9} $ в десятичную, необходимо разделить числитель 7 на знаменатель 9. Выполним деление столбиком. Так как 7 меньше 9, целая часть десятичной дроби равна 0. Далее к 7 приписываем 0 и делим 70 на 9. Получаем 7 в частном и 7 в остатке. Снова приписываем 0 к остатку и делим 70 на 9, снова получаем 7 в частном и 7 в остатке. Этот процесс будет продолжаться бесконечно.

Таким образом, мы получаем бесконечную десятичную дробь: $ \frac{7}{9} = 0.777... $. Повторяющаяся цифра 7 является периодом этой дроби. Запись такой дроби имеет вид $0.(7)$.

Ответ: $0.(7)$, период 7.

2) Чтобы преобразовать дробь $ \frac{11}{30} $ в десятичную, разделим 11 на 30. Целая часть равна 0. Делим 110 на 30, получаем 3 в частном и 20 в остатке ($110 = 3 \cdot 30 + 20$). Далее делим 200 на 30, получаем 6 в частном и 20 в остатке ($200 = 6 \cdot 30 + 20$). Поскольку остаток 20 начал повторяться, цифра 6 в частном также будет повторяться бесконечно.

Таким образом, мы получаем бесконечную десятичную дробь: $ \frac{11}{30} = 0.3666... $. Это смешанная периодическая дробь, так как период (повторяющаяся цифра) начинается не сразу после запятой. Запись такой дроби: $0.3(6)$. Периодом является цифра 6.

Ответ: $0.3(6)$, период 6.

3) Чтобы преобразовать дробь $ \frac{13}{18} $ в десятичную, разделим 13 на 18. Целая часть равна 0. Делим 130 на 18, получаем 7 в частном и 4 в остатке ($130 = 7 \cdot 18 + 4$). Далее делим 40 на 18, получаем 2 в частном и 4 в остатке ($40 = 2 \cdot 18 + 4$). Остаток 4 будет повторяться, а значит, и цифра 2 в частном будет повторяться бесконечно.

Таким образом, мы получаем бесконечную десятичную дробь: $ \frac{13}{18} = 0.7222... $. Это смешанная периодическая дробь, которая записывается в виде $0.7(2)$. Периодом является цифра 2.

Ответ: $0.7(2)$, период 2.

4) Чтобы преобразовать дробь $ \frac{31}{33} $ в десятичную, разделим 31 на 33. Целая часть равна 0. Делим 310 на 33, получаем 9 в частном и 13 в остатке ($310 = 9 \cdot 33 + 13$). Далее делим 130 на 33, получаем 3 в частном и 31 в остатке ($130 = 3 \cdot 33 + 31$). Остаток 31 равен исходному делимому (31), поэтому последовательность остатков и цифр в частном начнет повторяться.

Таким образом, мы получаем бесконечную десятичную дробь: $ \frac{31}{33} = 0.939393... $. Это чистая периодическая дробь, так как период начинается сразу после запятой. Запись такой дроби: $0.(93)$. Периодом является группа цифр 93.

Ответ: $0.(93)$, период 93.

5) Чтобы преобразовать дробь $ \frac{49}{54} $ в десятичную, разделим 49 на 54. Целая часть равна 0. Выполним деление столбиком:

• Делим 490 на 54, получаем 9 в частном и 4 в остатке.
• Делим 40 на 54, получаем 0 в частном и 40 в остатке.
• Делим 400 на 54, получаем 7 в частном и 22 в остатке.
• Делим 220 на 54, получаем 4 в частном и 4 в остатке.

Мы снова получили остаток 4, который уже был после первого шага деления. Это значит, что группа цифр 074, полученная в частном, будет бесконечно повторяться.

Таким образом, мы получаем бесконечную десятичную дробь: $ \frac{49}{54} = 0.9074074... $. Это смешанная периодическая дробь, которая записывается в виде $0.9(074)$. Периодом является группа цифр 074.

Ответ: $0.9(074)$, период 074.