Номер 526, страница 100 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Бесконечные периодические десятичные дроби. Глава 3. Дроби - номер 526, страница 100.

Условие.

526. Запишите в виде бесконечной периодической десятичной дроби частное:

1) $1 : 9$;

2) $4 : 11$;

3) $47 : 12$;

4) $12,4 : 27$.

Решение.

Решение 2.

1) 1 : 9

Чтобы записать частное $1 : 9$ в виде бесконечной периодической десятичной дроби, необходимо выполнить деление числа 1 на 9. Это можно сделать столбиком.
Деление 1 на 9 даёт 0 в целой части и остаток 1. Добавляем десятичную запятую и ноль, получаем 10. Делим 10 на 9, получаем 1 и остаток 1. Снова дописываем ноль, получаем 10, и снова при делении на 9 получаем 1 и остаток 1. Этот процесс будет повторяться бесконечно.
Таким образом, цифра 1 повторяется в дробной части бесконечно. Это чистая периодическая дробь с периодом 1.
$1 : 9 = 1/9 = 0,111... = 0,(1)$.
Ответ: $0,(1)$

2) 4 : 11

Чтобы записать частное $4 : 11$ в виде бесконечной периодической десятичной дроби, разделим 4 на 11 столбиком.
Деление 4 на 11 даёт 0 в целой части и остаток 4. Добавляем десятичную запятую и ноль, получаем 40. Делим 40 на 11, получаем 3 и остаток 7 ($11 \times 3 = 33; 40 - 33 = 7$).
К остатку 7 дописываем ноль, получаем 70. Делим 70 на 11, получаем 6 и остаток 4 ($11 \times 6 = 66; 70 - 66 = 4$).
Остаток 4 повторился (это было наше первоначальное число после запятой), следовательно, последующие цифры частного будут повторяться. Периодом является группа цифр 36.
$4 : 11 = 4/11 = 0,3636... = 0,(36)$.
Ответ: $0,(36)$

3) 47 : 12

Чтобы записать частное $47 : 12$ в виде бесконечной периодической десятичной дроби, разделим 47 на 12.
Сначала найдём целую часть: $47 \div 12 = 3$ и остаток 11 ($12 \times 3 = 36; 47 - 36 = 11$).
Ставим десятичную запятую и к остатку 11 дописываем ноль, получаем 110. Делим 110 на 12, получаем 9 и остаток 2 ($12 \times 9 = 108; 110 - 108 = 2$).
К остатку 2 дописываем ноль, получаем 20. Делим 20 на 12, получаем 1 и остаток 8 ($12 \times 1 = 12; 20 - 12 = 8$).
К остатку 8 дописываем ноль, получаем 80. Делим 80 на 12, получаем 6 и остаток 8 ($12 \times 6 = 72; 80 - 72 = 8$).
Остаток 8 повторился, значит, цифра 6 будет повторяться бесконечно. Это смешанная периодическая дробь, где предпериод (числа между запятой и периодом) равен 91, а период равен 6.
$47 : 12 = 47/12 = 3,91666... = 3,91(6)$.
Ответ: $3,91(6)$

4) 12,4 : 27

Чтобы записать частное $12,4 : 27$ в виде бесконечной периодической десятичной дроби, выполним деление. Для удобства можно умножить делимое и делитель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби в делимом: $12,4 : 27 = 124 : 270$.
Делим 124 на 270 столбиком.
$124 \div 270 = 0$ и остаток 124.
Ставим десятичную запятую и к остатку 124 дописываем ноль, получаем 1240. Делим 1240 на 270, получаем 4 и остаток 160 ($270 \times 4 = 1080; 1240 - 1080 = 160$).
К остатку 160 дописываем ноль, получаем 1600. Делим 1600 на 270, получаем 5 и остаток 250 ($270 \times 5 = 1350; 1600 - 1350 = 250$).
К остатку 250 дописываем ноль, получаем 2500. Делим 2500 на 270, получаем 9 и остаток 70 ($270 \times 9 = 2430; 2500 - 2430 = 70$).
К остатку 70 дописываем ноль, получаем 700. Делим 700 на 270, получаем 2 и остаток 160 ($270 \times 2 = 540; 700 - 540 = 160$).
Остаток 160 повторился, значит, группа цифр, полученная после первого шага, будет повторяться. Предпериод равен 4, а период равен 592.
$12,4 : 27 = 0,4592592... = 0,4(592)$.
Ответ: $0,4(592)$