Страница 100 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Сравните:

1) $6,4$ и $6,42$;

2) $0,4$ и $0,08$;

3) $0,0075$ и $0,1$.

1) 6,4 и 6,42
Для сравнения десятичных дробей, мы сравниваем их разряды поочередно, начиная с самого старшего (слева).
1. Сравниваем целые части: у обоих чисел целая часть равна 6.
2. Сравниваем разряд десятых: у обоих чисел в этом разряде стоит цифра 4.
3. Сравниваем разряд сотых: у числа 6,42 в разряде сотых стоит 2. Число 6,4 можно представить как 6,40, значит в разряде сотых у него стоит 0.
Поскольку $0 < 2$, то и число 6,40 меньше, чем 6,42.
Следовательно, $6,4 < 6,42$.
Ответ: $6,4 < 6,42$.

2) 0,4 и 0,08
Начинаем сравнение с целой части.
1. Целые части обоих чисел равны 0.
2. Сравниваем разряд десятых: у числа 0,4 в разряде десятых стоит 4, а у числа 0,08 в разряде десятых стоит 0.
Так как $4 > 0$, сравнение можно завершить. Число, у которого цифра в этом разряде больше, является большим.
Следовательно, $0,4 > 0,08$.
Ответ: $0,4 > 0,08$.

3) 0,0075 и 0,1
Сравниваем числа поразрядно слева направо.
1. Целые части обоих чисел равны 0.
2. Сравниваем разряд десятых: у числа 0,0075 в разряде десятых стоит 0, а у числа 0,1 в этом разряде стоит 1.
Поскольку $0 < 1$, то число 0,0075 меньше, чем 0,1.
Другой способ — привести дроби к одинаковому числу знаков после запятой. 0,1 можно записать как 0,1000. Теперь сравниваем 0,0075 и 0,1000. Так как $75 < 1000$, то $0,0075 < 0,1000$.
Следовательно, $0,0075 < 0,1$.
Ответ: $0,0075 < 0,1$.

2. Футбольная команда «Атака» сыграла 15 матчей, из которых 11 вы-играла. Укажите верные утверждения:

1) команда проиграла большинство матчей;

2) команда сыграла вничью не более трети матчей;

3) хотя бы 5 матчей команда проиграла;

4) поражений у команды не больше, чем побед.

По условию задачи футбольная команда «Атака» сыграла 15 матчей, из которых 11 выиграла. Найдем количество матчей, которые команда не выиграла (то есть проиграла или сыграла вничью):
$15 - 11 = 4$ матча.
Пусть П — это количество проигрышей, а Н — количество ничьих. Тогда их сумма равна 4: $П + Н = 4$. П и Н являются целыми неотрицательными числами. Теперь проанализируем каждое утверждение.

1) команда проиграла большинство матчей;
Большинство матчей – это больше половины. Половина от 15 матчей составляет $15 / 2 = 7.5$. Чтобы утверждение было верным, команда должна была проиграть 8 или более матчей. Максимально возможное число проигрышей равно 4 (это произойдет, если все 4 невыигранных матча были проигрышами). Поскольку $4 < 8$, утверждение неверно.
Ответ: неверно.

2) команда сыграла вничью не более трети матчей;
Найдем треть от общего числа матчей: $15 / 3 = 5$. Утверждение гласит, что количество ничьих (Н) не более 5, то есть $Н \le 5$. Максимально возможное количество ничьих равно 4 (это произойдет, если все 4 невыигранных матча закончились вничью). Поскольку $4 \le 5$, данное условие выполняется всегда. Утверждение верно.
Ответ: верно.

3) хотя бы 5 матчей команда проиграла;
Это утверждение означает, что количество проигрышей (П) равно 5 или больше, то есть $П \ge 5$. Как мы уже установили, максимальное возможное число проигрышей равно 4. Поскольку $4 < 5$, это утверждение неверно.
Ответ: неверно.

4) поражений у команды не больше, чем побед.
Это утверждение означает, что количество проигрышей (П) меньше или равно количеству побед (В), то есть $П \le В$. Количество побед равно 11. Максимальное возможное количество проигрышей – 4. Сравниваем: $4 \le 11$. Неравенство верное. Следовательно, при любом исходе 4 невыигранных матчей, количество поражений будет меньше количества побед. Утверждение верно.
Ответ: верно.

3. Выполните действия:

1) $\frac{3}{5} + 4,6;$

2) $4\frac{1}{4} - 2,75;$

3) $0,6 \cdot 1\frac{1}{2};$

1) $\frac{3}{5}+4,6$

Для выполнения сложения необходимо привести числа к одному виду. В данном случае удобнее перевести обыкновенную дробь в десятичную.

1. Переведем дробь $\frac{3}{5}$ в десятичную. Для этого умножим числитель и знаменатель на 2, чтобы в знаменателе получилось 10: $\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10} = 0,6$.

2. Теперь выполним сложение десятичных дробей: $0,6 + 4,6 = 5,2$.

Ответ: 5,2

2) $4\frac{1}{4}-2,75$

Для выполнения вычитания приведем смешанное число к виду десятичной дроби.

1. Переведем смешанное число $4\frac{1}{4}$ в десятичную дробь. Дробная часть $\frac{1}{4}$ равна $1 \div 4 = 0,25$. Следовательно, $4\frac{1}{4} = 4,25$.

2. Теперь, когда оба числа в десятичном формате, выполним вычитание: $4,25 - 2,75 = 1,5$.

Ответ: 1,5

3) $0,6 \cdot 1\frac{1}{2}$

Для выполнения умножения приведем оба числа к одному виду. Удобнее всего перевести оба числа в десятичные дроби.

1. Переведем смешанное число $1\frac{1}{2}$ в десятичную дробь. Дробная часть $\frac{1}{2}$ равна $1 \div 2 = 0,5$. Следовательно, $1\frac{1}{2} = 1,5$.

2. Теперь выполним умножение десятичных дробей: $0,6 \cdot 1,5 = 0,9$.

Ответ: 0,9

525. Прочитайте периодическую дробь и назовите её период:

1) $0,(5)$;

2) $2,4(3)$;

3) $0,0(2)$;

4) $0,(32)$;

5) $1,(976)$;

6) $9,0(45)$;

7) $0,444...$;

8) $3,424242...$;

9) $0,567567...$;

10) $0,137474...$;

11) $4,101010...$;

12) $2,1231212...$.

1) Дробь $0,(5)$ читается как «ноль целых и пять в периоде». Период — это повторяющаяся цифра. В данном случае это 5.
Ответ: 5

2) Дробь $2,4(3)$ читается как «две целых, четыре десятых и три в периоде». Это смешанная периодическая дробь. Неповторяющаяся часть после запятой — 4, а период — 3.
Ответ: 3

3) Дробь $0,0(2)$ читается как «ноль целых, ноль десятых и два в периоде». Неповторяющаяся часть после запятой — 0, а период — 2.
Ответ: 2

4) Дробь $0,(32)$ читается как «ноль целых и тридцать два в периоде». Период дроби — это повторяющаяся группа цифр 32.
Ответ: 32

5) Дробь $1,(976)$ читается как «одна целая и девятьсот семьдесят шесть в периоде». Период дроби — это повторяющаяся группа цифр 976.
Ответ: 976

6) Дробь $9,0(45)$ читается как «девять целых, ноль десятых и сорок пять в периоде». Неповторяющаяся часть после запятой — 0, а период — 45.
Ответ: 45

7) Дробь $0,444...$ — это бесконечная периодическая десятичная дробь, в которой повторяется цифра 4. Эту дробь можно записать как $0,(4)$. Читается как «ноль целых и четыре в периоде».
Ответ: 4

8) В дроби $3,424242...$ повторяется группа цифр 42. Эту дробь можно записать как $3,(42)$. Читается как «три целых и сорок два в периоде».
Ответ: 42

9) В дроби $0,567567...$ повторяется группа цифр 567. Эту дробь можно записать как $0,(567)$. Читается как «ноль целых и пятьсот шестьдесят семь в периоде».
Ответ: 567

10) В дроби $0,137474...$ после цифр 13 начинается повторение группы цифр 74. Эту дробь можно записать как $0,13(74)$. Читается как «ноль целых, тринадцать сотых и семьдесят четыре в периоде».
Ответ: 74

11) В дроби $4,101010...$ повторяется группа цифр 10. Эту дробь можно записать как $4,(10)$. Читается как «четыре целых и десять в периоде».
Ответ: 10

12) В дроби $2,1231212...$ после группы цифр 123 начинается повторение группы цифр 12. Эту дробь можно записать как $2,123(12)$. Читается как «две целых, сто двадцать три тысячных и двенадцать в периоде».
Ответ: 12

526. Запишите в виде бесконечной периодической десятичной дроби частное:

1) $1 : 9$;

2) $4 : 11$;

3) $47 : 12$;

4) $12,4 : 27$.

1) 1 : 9

Чтобы записать частное $1 : 9$ в виде бесконечной периодической десятичной дроби, необходимо выполнить деление числа 1 на 9. Это можно сделать столбиком.
Деление 1 на 9 даёт 0 в целой части и остаток 1. Добавляем десятичную запятую и ноль, получаем 10. Делим 10 на 9, получаем 1 и остаток 1. Снова дописываем ноль, получаем 10, и снова при делении на 9 получаем 1 и остаток 1. Этот процесс будет повторяться бесконечно.
Таким образом, цифра 1 повторяется в дробной части бесконечно. Это чистая периодическая дробь с периодом 1.
$1 : 9 = 1/9 = 0,111... = 0,(1)$.
Ответ: $0,(1)$

2) 4 : 11

Чтобы записать частное $4 : 11$ в виде бесконечной периодической десятичной дроби, разделим 4 на 11 столбиком.
Деление 4 на 11 даёт 0 в целой части и остаток 4. Добавляем десятичную запятую и ноль, получаем 40. Делим 40 на 11, получаем 3 и остаток 7 ($11 \times 3 = 33; 40 - 33 = 7$).
К остатку 7 дописываем ноль, получаем 70. Делим 70 на 11, получаем 6 и остаток 4 ($11 \times 6 = 66; 70 - 66 = 4$).
Остаток 4 повторился (это было наше первоначальное число после запятой), следовательно, последующие цифры частного будут повторяться. Периодом является группа цифр 36.
$4 : 11 = 4/11 = 0,3636... = 0,(36)$.
Ответ: $0,(36)$

3) 47 : 12

Чтобы записать частное $47 : 12$ в виде бесконечной периодической десятичной дроби, разделим 47 на 12.
Сначала найдём целую часть: $47 \div 12 = 3$ и остаток 11 ($12 \times 3 = 36; 47 - 36 = 11$).
Ставим десятичную запятую и к остатку 11 дописываем ноль, получаем 110. Делим 110 на 12, получаем 9 и остаток 2 ($12 \times 9 = 108; 110 - 108 = 2$).
К остатку 2 дописываем ноль, получаем 20. Делим 20 на 12, получаем 1 и остаток 8 ($12 \times 1 = 12; 20 - 12 = 8$).
К остатку 8 дописываем ноль, получаем 80. Делим 80 на 12, получаем 6 и остаток 8 ($12 \times 6 = 72; 80 - 72 = 8$).
Остаток 8 повторился, значит, цифра 6 будет повторяться бесконечно. Это смешанная периодическая дробь, где предпериод (числа между запятой и периодом) равен 91, а период равен 6.
$47 : 12 = 47/12 = 3,91666... = 3,91(6)$.
Ответ: $3,91(6)$

4) 12,4 : 27

Чтобы записать частное $12,4 : 27$ в виде бесконечной периодической десятичной дроби, выполним деление. Для удобства можно умножить делимое и делитель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби в делимом: $12,4 : 27 = 124 : 270$.
Делим 124 на 270 столбиком.
$124 \div 270 = 0$ и остаток 124.
Ставим десятичную запятую и к остатку 124 дописываем ноль, получаем 1240. Делим 1240 на 270, получаем 4 и остаток 160 ($270 \times 4 = 1080; 1240 - 1080 = 160$).
К остатку 160 дописываем ноль, получаем 1600. Делим 1600 на 270, получаем 5 и остаток 250 ($270 \times 5 = 1350; 1600 - 1350 = 250$).
К остатку 250 дописываем ноль, получаем 2500. Делим 2500 на 270, получаем 9 и остаток 70 ($270 \times 9 = 2430; 2500 - 2430 = 70$).
К остатку 70 дописываем ноль, получаем 700. Делим 700 на 270, получаем 2 и остаток 160 ($270 \times 2 = 540; 700 - 540 = 160$).
Остаток 160 повторился, значит, группа цифр, полученная после первого шага, будет повторяться. Предпериод равен 4, а период равен 592.
$12,4 : 27 = 0,4592592... = 0,4(592)$.
Ответ: $0,4(592)$

527. Запишите в виде бесконечной периодической десятичной дроби частное:

1) $5 : 6;$

2) $19 : 11;$

3) $86 : 15;$

4) $6,32 : 18.$

1) 5 : 6

Чтобы представить частное $5 : 6$ в виде бесконечной периодической десятичной дроби, необходимо выполнить деление $5$ на $6$, например, в столбик.

$5 \div 6 = 0$ (целая часть), остаток $5$.

Сносим $0$, делим $50$ на $6$: $50 \div 6 = 8$, остаток $2$.

Сносим $0$, делим $20$ на $6$: $20 \div 6 = 3$, остаток $2$.

Сносим $0$, делим $20$ на $6$: $20 \div 6 = 3$, остаток $2$.

Мы видим, что остаток $2$ начинает повторяться, а это значит, что в частном будет бесконечно повторяться цифра $3$. Получаем бесконечную дробь $0,8333...$ .

Период этой дроби равен $3$. Запишем частное в виде периодической дроби: $0,8(3)$.

Ответ: $0,8(3)$

2) 19 : 11

Чтобы представить частное $19 : 11$ в виде бесконечной периодической десятичной дроби, выполним деление $19$ на $11$.

$19 \div 11 = 1$ (целая часть), остаток $8$.

Сносим $0$, делим $80$ на $11$: $80 \div 11 = 7$, остаток $3$.

Сносим $0$, делим $30$ на $11$: $30 \div 11 = 2$, остаток $8$.

Сносим $0$, делим $80$ на $11$: $80 \div 11 = 7$, остаток $3$.

Мы видим, что остатки $8$ и $3$ начинают циклически повторяться, а это значит, что в частном будет повторяться группа цифр $72$. Получаем бесконечную дробь $1,7272...$ .

Период этой дроби равен $72$. Запишем частное в виде периодической дроби: $1,(72)$.

Ответ: $1,(72)$

3) 86 : 15

Чтобы представить частное $86 : 15$ в виде бесконечной периодической десятичной дроби, выполним деление $86$ на $15$.

$86 \div 15 = 5$ (целая часть), остаток $11$.

Сносим $0$, делим $110$ на $15$: $110 \div 15 = 7$, остаток $5$.

Сносим $0$, делим $50$ на $15$: $50 \div 15 = 3$, остаток $5$.

Сносим $0$, делим $50$ на $15$: $50 \div 15 = 3$, остаток $5$.

Мы видим, что остаток $5$ начинает повторяться, а это значит, что в частном будет бесконечно повторяться цифра $3$. Получаем бесконечную дробь $5,7333...$ .

Период этой дроби равен $3$. Запишем частное в виде периодической дроби: $5,7(3)$.

Ответ: $5,7(3)$

4) 6,32 : 18

Чтобы представить частное $6,32 : 18$ в виде бесконечной периодической десятичной дроби, выполним деление $6,32$ на $18$.

Делим целую часть $6$ на $18$: $6 \div 18 = 0$, ставим $0$ и запятую.

Делим $63$ на $18$: $63 \div 18 = 3$, остаток $63 - 54 = 9$.

Сносим $2$, делим $92$ на $18$: $92 \div 18 = 5$, остаток $92 - 90 = 2$.

Сносим $0$, делим $20$ на $18$: $20 \div 18 = 1$, остаток $20 - 18 = 2$.

Сносим $0$, делим $20$ на $18$: $20 \div 18 = 1$, остаток $2$.

Мы видим, что остаток $2$ начинает повторяться, а это значит, что в частном будет бесконечно повторяться цифра $1$. Получаем бесконечную дробь $0,35111...$ .

Период этой дроби равен $1$. Запишем частное в виде периодической дроби: $0,35(1)$.

Ответ: $0,35(1)$

528. Преобразуйте обыкновенную дробь в бесконечную периодическую десятичную дробь и укажите её период:

1) $\frac{7}{9}$;

2) $\frac{11}{30}$;

3) $\frac{13}{18}$;

4) $\frac{31}{33}$;

5) $\frac{49}{54}$.

1) Чтобы преобразовать обыкновенную дробь $ \frac{7}{9} $ в десятичную, необходимо разделить числитель 7 на знаменатель 9. Выполним деление столбиком. Так как 7 меньше 9, целая часть десятичной дроби равна 0. Далее к 7 приписываем 0 и делим 70 на 9. Получаем 7 в частном и 7 в остатке. Снова приписываем 0 к остатку и делим 70 на 9, снова получаем 7 в частном и 7 в остатке. Этот процесс будет продолжаться бесконечно.

Таким образом, мы получаем бесконечную десятичную дробь: $ \frac{7}{9} = 0.777... $. Повторяющаяся цифра 7 является периодом этой дроби. Запись такой дроби имеет вид $0.(7)$.

Ответ: $0.(7)$, период 7.

2) Чтобы преобразовать дробь $ \frac{11}{30} $ в десятичную, разделим 11 на 30. Целая часть равна 0. Делим 110 на 30, получаем 3 в частном и 20 в остатке ($110 = 3 \cdot 30 + 20$). Далее делим 200 на 30, получаем 6 в частном и 20 в остатке ($200 = 6 \cdot 30 + 20$). Поскольку остаток 20 начал повторяться, цифра 6 в частном также будет повторяться бесконечно.

Таким образом, мы получаем бесконечную десятичную дробь: $ \frac{11}{30} = 0.3666... $. Это смешанная периодическая дробь, так как период (повторяющаяся цифра) начинается не сразу после запятой. Запись такой дроби: $0.3(6)$. Периодом является цифра 6.

Ответ: $0.3(6)$, период 6.

3) Чтобы преобразовать дробь $ \frac{13}{18} $ в десятичную, разделим 13 на 18. Целая часть равна 0. Делим 130 на 18, получаем 7 в частном и 4 в остатке ($130 = 7 \cdot 18 + 4$). Далее делим 40 на 18, получаем 2 в частном и 4 в остатке ($40 = 2 \cdot 18 + 4$). Остаток 4 будет повторяться, а значит, и цифра 2 в частном будет повторяться бесконечно.

Таким образом, мы получаем бесконечную десятичную дробь: $ \frac{13}{18} = 0.7222... $. Это смешанная периодическая дробь, которая записывается в виде $0.7(2)$. Периодом является цифра 2.

Ответ: $0.7(2)$, период 2.

4) Чтобы преобразовать дробь $ \frac{31}{33} $ в десятичную, разделим 31 на 33. Целая часть равна 0. Делим 310 на 33, получаем 9 в частном и 13 в остатке ($310 = 9 \cdot 33 + 13$). Далее делим 130 на 33, получаем 3 в частном и 31 в остатке ($130 = 3 \cdot 33 + 31$). Остаток 31 равен исходному делимому (31), поэтому последовательность остатков и цифр в частном начнет повторяться.

Таким образом, мы получаем бесконечную десятичную дробь: $ \frac{31}{33} = 0.939393... $. Это чистая периодическая дробь, так как период начинается сразу после запятой. Запись такой дроби: $0.(93)$. Периодом является группа цифр 93.

Ответ: $0.(93)$, период 93.

5) Чтобы преобразовать дробь $ \frac{49}{54} $ в десятичную, разделим 49 на 54. Целая часть равна 0. Выполним деление столбиком:

• Делим 490 на 54, получаем 9 в частном и 4 в остатке.
• Делим 40 на 54, получаем 0 в частном и 40 в остатке.
• Делим 400 на 54, получаем 7 в частном и 22 в остатке.
• Делим 220 на 54, получаем 4 в частном и 4 в остатке.

Мы снова получили остаток 4, который уже был после первого шага деления. Это значит, что группа цифр 074, полученная в частном, будет бесконечно повторяться.

Таким образом, мы получаем бесконечную десятичную дробь: $ \frac{49}{54} = 0.9074074... $. Это смешанная периодическая дробь, которая записывается в виде $0.9(074)$. Периодом является группа цифр 074.

Ответ: $0.9(074)$, период 074.

529. Преобразуйте обыкновенную дробь в бесконечную периодическую десятичную дробь и укажите её период:

1) $\frac{5}{12}$,

2) $\frac{11}{15}$,

3) $\frac{9}{11}$,

4) $\frac{19}{36}$,

5) $\frac{39}{44}$.

1) $\frac{5}{12}$

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, разделим числитель на знаменатель столбиком:

$5 \div 12 = 0,...$

$50 \div 12 = 4$ (остаток 2). Получаем $0,4...$

$20 \div 12 = 1$ (остаток 8). Получаем $0,41...$

$80 \div 12 = 6$ (остаток 8). Получаем $0,416...$

Остаток 8 начал повторяться, следовательно, цифра 6 будет повторяться в частном. Получаем бесконечную периодическую десятичную дробь $0,41666...$.

В сокращенной записи это выглядит как $0,41(6)$.

Период дроби — это повторяющаяся цифра 6.

Ответ: $0,41(6)$, период 6.

2) $\frac{11}{15}$

Разделим числитель 11 на знаменатель 15:

$11 \div 15 = 0,...$

$110 \div 15 = 7$ (остаток 5). Получаем $0,7...$

$50 \div 15 = 3$ (остаток 5). Получаем $0,73...$

Поскольку остаток 5 повторяется, цифра 3 будет повторяться. Получаем бесконечную периодическую десятичную дробь $0,7333...$.

В сокращенной записи это $0,7(3)$.

Период дроби — 3.

Ответ: $0,7(3)$, период 3.

3) $\frac{9}{11}$

Разделим числитель 9 на знаменатель 11:

$9 \div 11 = 0,...$

$90 \div 11 = 8$ (остаток 2). Получаем $0,8...$

$20 \div 11 = 1$ (остаток 9). Получаем $0,81...$

Остаток 9 равен исходному числителю, поэтому процесс деления зацикливается. Группа цифр 81 будет повторяться. Получаем бесконечную периодическую десятичную дробь $0,818181...$.

В сокращенной записи это $0,(81)$.

Период дроби — 81.

Ответ: $0,(81)$, период 81.

4) $\frac{19}{36}$

Разделим числитель 19 на знаменатель 36:

$19 \div 36 = 0,...$

$190 \div 36 = 5$ (остаток 10). Получаем $0,5...$

$100 \div 36 = 2$ (остаток 28). Получаем $0,52...$

$280 \div 36 = 7$ (остаток 28). Получаем $0,527...$

Остаток 28 начал повторяться, значит, цифра 7 будет повторяться. Получаем бесконечную периодическую десятичную дробь $0,52777...$.

В сокращенной записи это $0,52(7)$.

Период дроби — 7.

Ответ: $0,52(7)$, период 7.

5) $\frac{39}{44}$

Разделим числитель 39 на знаменатель 44:

$39 \div 44 = 0,...$

$390 \div 44 = 8$ (остаток 38). Получаем $0,8...$

$380 \div 44 = 8$ (остаток 28). Получаем $0,88...$

$280 \div 44 = 6$ (остаток 16). Получаем $0,886...$

$160 \div 44 = 3$ (остаток 28). Получаем $0,8863...$

Остаток 28 повторился, значит, последовательность делений, начиная с этого момента, будет повторяться. Следующим шагом будет деление $280 \div 44$, что даст 6, а затем $160 \div 44$, что даст 3. Таким образом, повторяется группа цифр 63. Получаем бесконечную периодическую десятичную дробь $0,886363...$.

В сокращенной записи это $0,88(63)$.

Период дроби — 63.

Ответ: $0,88(63)$, период 63.

530. Сравните дроби, записав предварительно обыкновенные дроби в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби:

1) $\frac{1}{6}$ и $0,2$;

2) $\frac{4}{7}$ и $\frac{5}{8}$;

3) $\frac{22}{7}$ и $3,14$;

4) $\frac{5}{13}$ и $\frac{387}{1000}$.

1) Чтобы сравнить дроби $\frac{1}{6}$ и $0,2$, представим обыкновенную дробь в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Для этого выполним деление числителя на знаменатель:

$1 \div 6 = 0,1666... = 0,1(6)$

Теперь сравним полученную дробь $0,1(6)$ с дробью $0,2$.

$0,1(6) = 0,166...$

$0,2 = 0,200...$

Сравниваем цифры в разряде десятых: у первого числа это 1, а у второго — 2. Поскольку $1 < 2$, то $0,1(6) < 0,2$.

Следовательно, $\frac{1}{6} < 0,2$.

Ответ: $\frac{1}{6} < 0,2$.

2) Чтобы сравнить дроби $\frac{4}{7}$ и $\frac{5}{8}$, представим их в виде десятичных дробей.

Преобразуем $\frac{4}{7}$ в бесконечную периодическую десятичную дробь:

$4 \div 7 = 0,571428... = 0,(571428)$

Преобразуем $\frac{5}{8}$ в конечную десятичную дробь:

$5 \div 8 = 0,625$

Теперь сравним $0,(571428)$ и $0,625$.

Сравниваем цифры в разряде десятых: у первого числа это 5, а у второго — 6. Поскольку $5 < 6$, то $0,(571428) < 0,625$.

Следовательно, $\frac{4}{7} < \frac{5}{8}$.

Ответ: $\frac{4}{7} < \frac{5}{8}$.

3) Чтобы сравнить дроби $\frac{22}{7}$ и $3,14$, представим обыкновенную дробь в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

$22 \div 7 = 3,142857... = 3,(142857)$

Теперь сравним полученную дробь $3,(142857)$ с числом $3,14$.

$3,(142857) = 3,142857...$

$3,14 = 3,140000...$

Целые части и первые две цифры после запятой (в разрядах десятых и сотых) у чисел совпадают. Сравним цифры в разряде тысячных: у первого числа это 2, а у второго — 0. Поскольку $2 > 0$, то $3,(142857) > 3,14$.

Следовательно, $\frac{22}{7} > 3,14$.

Ответ: $\frac{22}{7} > 3,14$.

4) Чтобы сравнить дроби $\frac{5}{13}$ и $\frac{387}{1000}$, представим их в виде десятичных дробей.

Преобразуем $\frac{5}{13}$ в бесконечную периодическую десятичную дробь:

$5 \div 13 = 0,384615... = 0,(384615)$

Дробь $\frac{387}{1000}$ уже представлена в виде конечной десятичной дроби $0,387$.

Теперь сравним $0,(384615)$ и $0,387$.

$0,(384615) = 0,384615...$

$0,387 = 0,387000...$

Первые две цифры после запятой (в разрядах десятых и сотых) у чисел совпадают. Сравним цифры в разряде тысячных: у первого числа это 4, а у второго — 7. Поскольку $4 < 7$, то $0,(384615) < 0,387$.

Следовательно, $\frac{5}{13} < \frac{387}{1000}$.

Ответ: $\frac{5}{13} < \frac{387}{1000}$.