Страница 103 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Прочитайте периодическую дробь и назовите её период:

1) $0,(8)$;

2) $0,(14)$;

3) $2,(6)$;

4) $5,7(126)$;

5) $0,(1)$;

6) $0,8(42)$;

7) $12,1(64)$;

8) $3,27(321)$.

1) 0,(8)
Данная периодическая дробь $0,(8)$ читается как «ноль целых и восемь в периоде». Число, стоящее в скобках, является периодом дроби. В данном случае это цифра 8.
Ответ: 8.

2) 0,(14)
Данная периодическая дробь $0,(14)$ читается как «ноль целых и четырнадцать в периоде». Группа цифр, стоящая в скобках, является периодом дроби. В данном случае это число 14.
Ответ: 14.

3) 2,(6)
Данная периодическая дробь $2,(6)$ читается как «две целых и шесть в периоде». Периодом этой дроби является цифра в скобках. В данном случае это 6.
Ответ: 6.

4) 5,7(126)
Данная периодическая дробь $5,7(126)$ читается как «пять целых, семь десятых и сто двадцать шесть в периоде». Это смешанная периодическая дробь, где 7 — неповторяющаяся часть после запятой, а 126 — период.
Ответ: 126.

5) 0,1111...
В дроби $0,1111...$ после запятой бесконечно повторяется цифра 1. Эту дробь можно записать в стандартном виде как $0,(1)$. Читается она «ноль целых и один в периоде». Периодом является повторяющаяся цифра.
Ответ: 1.

6) 0,8424242...
В дроби $0,8424242...$ после запятой идет цифра 8, а затем бесконечно повторяется группа цифр 42. Эту дробь можно записать в виде $0,8(42)$. Читается она «ноль целых, восемь десятых и сорок два в периоде». Периодом является повторяющаяся группа цифр.
Ответ: 42.

7) 12,1646464...
В дроби $12,1646464...$ после запятой идет цифра 1, а затем бесконечно повторяется группа цифр 64. Эту дробь можно записать в виде $12,1(64)$. Читается она «двенадцать целых, одна десятая и шестьдесят четыре в периоде». Периодом является повторяющаяся группа цифр.
Ответ: 64.

8) 3,27321321...
В дроби $3,27321321...$ после запятой идет группа цифр 27, а затем бесконечно повторяется группа цифр 321. Эту дробь можно записать в виде $3,27(321)$. Читается она «три целых, двадцать семь сотых и триста двадцать один в периоде». Периодом является повторяющаяся группа цифр.
Ответ: 321.

2. Чему равен корень уравнения:

1) $ \frac{1}{4}x = \frac{1}{2}; $

2) $ \frac{2}{9}x = 0; $

3) $ 7y = 3; $

4) $ 6y = 4? $

1) Дано уравнение $ \frac{1}{4}x = \frac{1}{2} $. Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение ($ \frac{1}{2} $) разделить на известный множитель ($ \frac{1}{4} $).

$ x = \frac{1}{2} \div \frac{1}{4} $

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$ x = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{1} $

$ x = \frac{4}{2} $

$ x = 2 $

Ответ: 2

2) Дано уравнение $ \frac{2}{9}x = 0 $. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Так как множитель $ \frac{2}{9} $ не равен нулю, то множитель $x$ должен быть равен нулю.

$ x = 0 \div \frac{2}{9} $

$ x = 0 $

Ответ: 0

3) Дано уравнение $ 7y = 3 $. Чтобы найти неизвестный множитель $y$, нужно произведение (3) разделить на известный множитель (7).

$ y = 3 \div 7 $

$ y = \frac{3}{7} $

Ответ: $ \frac{3}{7} $

4) Дано уравнение $ 6y = 4 $. Чтобы найти неизвестный множитель $y$, нужно произведение (4) разделить на известный множитель (6).

$ y = \frac{4}{6} $

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 2.

$ y = \frac{4 \div 2}{6 \div 2} = \frac{2}{3} $

Ответ: $ \frac{2}{3} $

3. На одной чашке весов лежит арбуз, а на другой – треть такого же арбуза и несколько гирь общей массой 6 кг. Весы находятся в равновесии. Какова масса арбуза?

Для решения задачи составим уравнение. Пусть масса арбуза равна $x$ кг.

На одной чашке весов лежит целый арбуз, его масса – $x$ кг.

На другой чашке весов лежит треть арбуза, то есть $\frac{1}{3}x$ кг, и гири общей массой 6 кг. Общая масса на второй чашке составляет $(\frac{1}{3}x + 6)$ кг.

Поскольку весы находятся в равновесии, массы на обеих чашках равны. Запишем это в виде уравнения:

$x = \frac{1}{3}x + 6$

Теперь решим полученное уравнение. Перенесём слагаемое $\frac{1}{3}x$ в левую часть уравнения, изменив его знак:

$x - \frac{1}{3}x = 6$

Упростим левую часть уравнения:

$\frac{3}{3}x - \frac{1}{3}x = 6$

$\frac{2}{3}x = 6$

Чтобы найти $x$, нужно разделить 6 на дробь $\frac{2}{3}$. Это то же самое, что умножить 6 на обратную дробь $\frac{3}{2}$:

$x = 6 \cdot \frac{3}{2}$

$x = \frac{18}{2}$

$x = 9$

Таким образом, масса арбуза составляет 9 кг.

Ответ: 9 кг.

536. Найдите десятичное приближение до сотых дроби:

1) $ \frac{1}{16} $;

2) $ \frac{6}{17} $;

3) $ \frac{9}{40} $;

4) $ 2\frac{1}{3} $;

5) $ 5\frac{4}{11} $;

6) $ 1\frac{17}{200} $.

Чтобы найти десятичное приближение дроби до сотых, необходимо выполнить деление числителя на знаменатель, получив десятичную дробь. Затем эту дробь следует округлить до второго знака после запятой (до разряда сотых). Правило округления: если третья цифра после запятой равна 5 или больше, то вторая цифра увеличивается на единицу; если третья цифра меньше 5, то вторая цифра остается без изменений.

1) $\frac{1}{16}$

Для нахождения десятичного приближения разделим 1 на 16:

$1 \div 16 = 0,0625$

Округляем полученное значение до сотых. Смотрим на третью цифру после запятой — это 2. Так как $2 < 5$, то цифру в разряде сотых (6) оставляем без изменений, а последующие цифры отбрасываем.

$0,0625 \approx 0,06$

Ответ: 0,06

2) $\frac{6}{17}$

Разделим 6 на 17. Для округления до сотых нам нужно знать значение до тысячных:

$6 \div 17 \approx 0,3529...$

Округляем до сотых. Третья цифра после запятой — 2. Так как $2 < 5$, то цифру в разряде сотых (5) оставляем без изменений.

$0,3529... \approx 0,35$

Ответ: 0,35

3) $\frac{9}{40}$

Разделим 9 на 40:

$9 \div 40 = 0,225$

Округляем до сотых. Третья цифра после запятой — 5. Так как $5 \ge 5$, то цифру в разряде сотых (2) увеличиваем на единицу.

$0,225 \approx 0,23$

Ответ: 0,23

4) $2\frac{1}{3}$

Целая часть числа равна 2. Найдем десятичное представление дробной части $\frac{1}{3}$:

$1 \div 3 = 0,333...$

Следовательно, $2\frac{1}{3} = 2,333...$

Округляем до сотых. Третья цифра после запятой — 3. Так как $3 < 5$, то цифру в разряде сотых (3) оставляем без изменений.

$2,333... \approx 2,33$

Ответ: 2,33

5) $5\frac{4}{11}$

Целая часть числа равна 5. Найдем десятичное представление дробной части $\frac{4}{11}$:

$4 \div 11 = 0,3636...$

Следовательно, $5\frac{4}{11} = 5,3636...$

Округляем до сотых. Третья цифра после запятой — 3. Так как $3 < 5$, то цифру в разряде сотых (6) оставляем без изменений.

$5,3636... \approx 5,36$

Ответ: 5,36

6) $1\frac{17}{200}$

Целая часть числа равна 1. Найдем десятичное представление дробной части $\frac{17}{200}$:

$17 \div 200 = 0,085$

Следовательно, $1\frac{17}{200} = 1,085$

Округляем до сотых. Третья цифра после запятой — 5. Так как $5 \ge 5$, то цифру в разряде сотых (8) увеличиваем на единицу.

$1,085 \approx 1,09$

Ответ: 1,09

537. Найдите десятичное приближение до тысячных дроби:

1) $ \frac{12}{23} $;

2) $ \frac{6}{43} $;

3) $ \frac{8}{9} $;

4) $ 5\frac{5}{16} $;

5) $ 1\frac{2}{7} $;

6) $ 3\frac{1}{625} $.

Для нахождения десятичного приближения дроби до тысячных необходимо выполнить деление числителя на знаменатель (или преобразовать дробную часть смешанного числа) до четвертого знака после запятой, а затем округлить полученное число до третьего знака по правилам округления: если четвертая цифра после запятой 5 или больше, то третья цифра увеличивается на 1; в противном случае третья цифра остается без изменений.

1) $\frac{12}{23}$

Чтобы найти десятичное приближение дроби $\frac{12}{23}$ до тысячных, разделим числитель на знаменатель, получив как минимум четыре знака после запятой.

Выполним деление:

$12 \div 23 \approx 0,5217...$

Чтобы округлить до тысячных (до третьего знака после запятой), смотрим на четвертый знак. Четвертая цифра после запятой — 7. Так как $7 \ge 5$, то третью цифру (1) увеличиваем на единицу.

$0,5217... \approx 0,522$

Ответ: $0,522$

2) $\frac{6}{43}$

Чтобы найти десятичное приближение дроби $\frac{6}{43}$ до тысячных, разделим 6 на 43, вычислив результат до четвертого знака после запятой.

Выполним деление:

$6 \div 43 \approx 0,1395...$

Для округления до тысячных смотрим на четвертую цифру после запятой — 5. Так как $5 \ge 5$, то третью цифру (9) увеличиваем на единицу. Это приводит к увеличению и предыдущего разряда ($139+1=140$).

$0,1395... \approx 0,140$

Ответ: $0,140$

3) $\frac{8}{9}$

Чтобы найти десятичное приближение дроби $\frac{8}{9}$ до тысячных, представим ее в виде десятичной дроби.

Выполним деление:

$8 \div 9 = 0,8888...$ или $0,(8)$

Для округления до тысячных смотрим на четвертую цифру после запятой — 8. Так как $8 \ge 5$, то третью цифру (8) увеличиваем на единицу.

$0,8888... \approx 0,889$

Ответ: $0,889$

4) $5\frac{5}{16}$

Сначала преобразуем дробную часть смешанного числа $5\frac{5}{16}$ в десятичную дробь. Для этого разделим 5 на 16.

$5 \div 16 = 0,3125$

Таким образом, $5\frac{5}{16} = 5 + 0,3125 = 5,3125$.

Теперь округлим полученное число до тысячных. Смотрим на четвертую цифру после запятой — 5. Так как $5 \ge 5$, то третью цифру (2) увеличиваем на единицу.

$5,3125 \approx 5,313$

Ответ: $5,313$

5) $1\frac{2}{7}$

Преобразуем дробную часть смешанного числа $1\frac{2}{7}$ в десятичную дробь. Для этого разделим 2 на 7, вычислив результат до четвертого знака после запятой.

$2 \div 7 \approx 0,2857...$

Таким образом, $1\frac{2}{7} = 1 + 0,2857... = 1,2857...$

Для округления до тысячных смотрим на четвертую цифру после запятой — 7. Так как $7 \ge 5$, то третью цифру (5) увеличиваем на единицу.

$1,2857... \approx 1,286$

Ответ: $1,286$

6) $3\frac{1}{625}$

Сначала преобразуем дробную часть смешанного числа $3\frac{1}{625}$ в десятичную дробь.

Для этого разделим 1 на 625:

$1 \div 625 = 0,0016$

Или можно привести знаменатель к степени 10: $\frac{1}{625} = \frac{1}{5^4} = \frac{1 \cdot 2^4}{5^4 \cdot 2^4} = \frac{16}{10^4} = \frac{16}{10000} = 0,0016$.

Таким образом, $3\frac{1}{625} = 3 + 0,0016 = 3,0016$.

Теперь округлим полученное число до тысячных. Смотрим на четвертую цифру после запятой — 6. Так как $6 \ge 5$, то третью цифру (1) увеличиваем на единицу.

$3,0016 \approx 3,002$

Ответ: $3,002$

538. Найдите десятичное приближение частного до указанного разряда:

1) $36,8 : 7$ — до десятых;

2) $24,16 : 11$ — до десятых;

3) $29 : 6$ — до сотых;

4) $5 : 13$ — до сотых;

5) $2 : 3$ — до тысячных;

6) $26,7 : 14$ — до сотых;

7) $52 : 15$ — до тысячных;

8) $10 : 17$ — до десятитысячных.

1) Чтобы найти десятичное приближение частного до десятых, нужно выполнить деление до сотых, а затем округлить результат.

Выполним деление: $36,8 : 7 = 5,25...$

Для округления до десятых смотрим на цифру в разряде сотых. Это цифра 5. Так как $5 \ge 5$, то цифру в разряде десятых увеличиваем на 1.

$5,25... \approx 5,3$

Ответ: 5,3

2) Чтобы найти десятичное приближение частного до десятых, нужно выполнить деление до сотых, а затем округлить результат.

Выполним деление: $24,16 : 11 = 2,19...$

Для округления до десятых смотрим на цифру в разряде сотых. Это цифра 9. Так как $9 \ge 5$, то цифру в разряде десятых увеличиваем на 1.

$2,19... \approx 2,2$

Ответ: 2,2

3) Чтобы найти десятичное приближение частного до сотых, нужно выполнить деление до тысячных, а затем округлить результат.

Выполним деление: $29 : 6 = 4,833...$

Для округления до сотых смотрим на цифру в разряде тысячных. Это цифра 3. Так как $3 < 5$, то цифру в разряде сотых оставляем без изменений.

$4,833... \approx 4,83$

Ответ: 4,83

4) Чтобы найти десятичное приближение частного до сотых, нужно выполнить деление до тысячных, а затем округлить результат.

Выполним деление: $5 : 13 = 0,384...$

Для округления до сотых смотрим на цифру в разряде тысячных. Это цифра 4. Так как $4 < 5$, то цифру в разряде сотых оставляем без изменений.

$0,384... \approx 0,38$

Ответ: 0,38

5) Чтобы найти десятичное приближение частного до тысячных, нужно выполнить деление до десятитысячных, а затем округлить результат.

Выполним деление: $2 : 3 = 0,6666...$

Для округления до тысячных смотрим на цифру в разряде десятитысячных. Это цифра 6. Так как $6 \ge 5$, то цифру в разряде тысячных увеличиваем на 1.

$0,6666... \approx 0,667$

Ответ: 0,667

6) Чтобы найти десятичное приближение частного до сотых, нужно выполнить деление до тысячных, а затем округлить результат.

Выполним деление: $26,7 : 14 = 1,907...$

Для округления до сотых смотрим на цифру в разряде тысячных. Это цифра 7. Так как $7 \ge 5$, то цифру в разряде сотых увеличиваем на 1.

$1,907... \approx 1,91$

Ответ: 1,91

7) Чтобы найти десятичное приближение частного до тысячных, нужно выполнить деление до десятитысячных, а затем округлить результат.

Выполним деление: $52 : 15 = 3,4666...$

Для округления до тысячных смотрим на цифру в разряде десятитысячных. Это цифра 6. Так как $6 \ge 5$, то цифру в разряде тысячных увеличиваем на 1.

$3,4666... \approx 3,467$

Ответ: 3,467

8) Чтобы найти десятичное приближение частного до десятитысячных, нужно выполнить деление до стотысячных, а затем округлить результат.

Выполним деление: $10 : 17 = 0,58823...$

Для округления до десятитысячных смотрим на цифру в разряде стотысячных. Это цифра 3. Так как $3 < 5$, то цифру в разряде десятитысячных оставляем без изменений.

$0,58823... \approx 0,5882$

Ответ: 0,5882

539. Найдите десятичное приближение частного до указанного разряда:

1) $43,3 : 9$ – до десятых;

2) $78,32 : 18$ – до десятых;

3) $38 : 11$ – до сотых;

4) $10 : 18$ – до сотых;

5) $5 : 9$ – до тысячных;

6) $64,45 : 19$ – до сотых;

7) $90 : 22$ – до тысячных;

8) $65 : 23$ – до десятитысячных.

1) 43,3 : 9 – до десятых
Чтобы найти десятичное приближение частного до десятых, необходимо выполнить деление до сотого разряда, а затем округлить полученный результат.
Выполним деление:
$43,3 : 9 = 4,81...$
Для округления до десятых смотрим на следующую цифру (в разряде сотых). Эта цифра 1. Так как $1 < 5$, то цифру в разряде десятых оставляем без изменений, а все последующие цифры отбрасываем.
$4,81... \approx 4,8$
Ответ: 4,8

2) 78,32 : 18 – до десятых
Чтобы найти десятичное приближение частного до десятых, необходимо выполнить деление до сотого разряда.
Выполним деление:
$78,32 : 18 = 4,35...$
Для округления до десятых смотрим на цифру в разряде сотых. Эта цифра 5. Так как $5 \geq 5$, то цифру в разряде десятых увеличиваем на единицу, а все последующие цифры отбрасываем.
$4,35... \approx 4,4$
Ответ: 4,4

3) 38 : 11 – до сотых
Чтобы найти десятичное приближение частного до сотых, необходимо выполнить деление до тысячного разряда.
Выполним деление:
$38 : 11 = 3,4545...$
Для округления до сотых смотрим на цифру в разряде тысячных. Эта цифра 4. Так как $4 < 5$, то цифру в разряде сотых оставляем без изменений.
$3,4545... \approx 3,45$
Ответ: 3,45

4) 10 : 18 – до сотых
Чтобы найти десятичное приближение частного до сотых, необходимо выполнить деление до тысячного разряда.
Выполним деление:
$10 : 18 = 0,555...$
Для округления до сотых смотрим на цифру в разряде тысячных. Эта цифра 5. Так как $5 \geq 5$, то цифру в разряде сотых увеличиваем на единицу.
$0,555... \approx 0,56$
Ответ: 0,56

5) 5 : 9 – до тысячных
Чтобы найти десятичное приближение частного до тысячных, необходимо выполнить деление до десятитысячного разряда.
Выполним деление:
$5 : 9 = 0,5555...$
Для округления до тысячных смотрим на цифру в разряде десятитысячных. Эта цифра 5. Так как $5 \geq 5$, то цифру в разряде тысячных увеличиваем на единицу.
$0,5555... \approx 0,556$
Ответ: 0,556

6) 64,45 : 19 – до сотых
Чтобы найти десятичное приближение частного до сотых, необходимо выполнить деление до тысячного разряда.
Выполним деление:
$64,45 : 19 = 3,3921...$
Для округления до сотых смотрим на цифру в разряде тысячных. Эта цифра 2. Так как $2 < 5$, то цифру в разряде сотых оставляем без изменений.
$3,3921... \approx 3,39$
Ответ: 3,39

7) 90 : 22 – до тысячных
Чтобы найти десятичное приближение частного до тысячных, необходимо выполнить деление до десятитысячного разряда.
Выполним деление:
$90 : 22 = 4,0909...$
Для округления до тысячных смотрим на цифру в разряде десятитысячных. Эта цифра 9. Так как $9 \geq 5$, то цифру в разряде тысячных увеличиваем на единицу.
$4,0909... \approx 4,091$
Ответ: 4,091

8) 65 : 23 – до десятитысячных
Чтобы найти десятичное приближение частного до десятитысячных, необходимо выполнить деление до стотысячного разряда.
Выполним деление:
$65 : 23 = 2,82608...$
Для округления до десятитысячных смотрим на цифру в разряде стотысячных. Эта цифра 8. Так как $8 \geq 5$, то цифру в разряде десятитысячных увеличиваем на единицу.
$2,82608... \approx 2,8261$
Ответ: 2,8261

540. В 7 пакетов развезли поровну 16 кг сахара. Сколько килограммов сахара в каждом пакете? Ответ запишите в виде десятичного приближения до сотых.

Для того чтобы определить, сколько килограммов сахара находится в каждом из 7 пакетов, необходимо разделить общее количество сахара (16 кг) на количество пакетов.

Выполним деление:

$16 \text{ кг} \div 7 \text{ пакетов} = \frac{16}{7} \text{ кг/пакет}$

Чтобы получить десятичное приближение, разделим 16 на 7. Нам необходимо знать как минимум три знака после запятой, чтобы правильно округлить до сотых.

$16 \div 7 \approx 2,2857...$

Теперь необходимо округлить полученное число до сотых. Разряд сотых — это вторая цифра после запятой. В нашем случае это 8. Смотрим на следующую цифру (в разряде тысячных) — это 5.

Согласно правилу округления, если цифра, следующая за округляемой, равна 5, 6, 7, 8 или 9, то округляемый разряд увеличивается на единицу. Так как у нас цифра 5, мы увеличиваем 8 на 1.

$2,2\underline{8}57... \approx 2,29$

Таким образом, в каждом пакете находится примерно 2,29 кг сахара.

Ответ: 2,29.

541. Среднее расстояние от Солнца до ближайшей к нему планеты Меркурий составляет 57,9 млн км, а до самой отдалённой планеты Нептун – 4504,4 млн км. Во сколько раз Меркурий расположен ближе к Солнцу, чем Нептун? Ответ запишите в виде десятичного приближения до единиц.

Чтобы найти, во сколько раз Меркурий расположен ближе к Солнцу, чем Нептун, нужно разделить большее расстояние (от Солнца до Нептуна) на меньшее (от Солнца до Меркурия).

Среднее расстояние от Солнца до Меркурия: $D_{Меркурий} = 57,9$ млн км.

Среднее расстояние от Солнца до Нептуна: $D_{Нептун} = 4504,4$ млн км.

Найдем отношение расстояний:

$$ \frac{D_{Нептун}}{D_{Меркурий}} = \frac{4504,4}{57,9} $$

Выполним вычисление:

$$ \frac{4504,4}{57,9} \approx 77,796... $$

Согласно условию, ответ необходимо записать в виде десятичного приближения до единиц. Для этого нужно округлить полученное число до ближайшего целого. Поскольку первая цифра после запятой (7) больше 5, округляем в большую сторону:

$$ 77,796... \approx 78 $$

Таким образом, Меркурий расположен ближе к Солнцу, чем Нептун, примерно в 78 раз.

Ответ: 78.

542. В 9 банок поровну налили 25 кг мёда. Сколько килограммов мёда налили в каждую банку? Ответ запишите в виде десятичного приближения до десятых.

Для того чтобы узнать, сколько килограммов мёда находится в одной банке, нужно общее количество мёда разделить на количество банок.

Вычислим массу мёда в одной банке:

$25 \text{ кг} \div 9 \text{ банок} = \frac{25}{9} \text{ кг/банка}$

Теперь представим это значение в виде десятичной дроби, выполнив деление:

$25 \div 9 = 2,777...$

По условию задачи, ответ необходимо округлить до десятых. Для этого смотрим на цифру в разряде сотых (вторая цифра после запятой). В нашем случае это 7.

Правило округления гласит: если следующая за округляемой цифра равна 5 или больше, то округляемая цифра увеличивается на единицу. Так как 7 больше 5, мы увеличиваем цифру в разряде десятых (7) на 1.

$2,777... \approx 2,8$

Следовательно, в каждую банку налили примерно 2,8 кг мёда.

Ответ: 2,8 кг.