Страница 110 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

572. Купили 2 кг конфет одного вида по 255 р. за килограмм, 4 кг конфет другого вида по 285 р. за килограмм и ещё 3 кг конфет третьего вида. Средняя цена купленных конфет составляла 260 р. за килограмм. Сколько стоил килограмм конфет третьего вида?

Для решения задачи воспользуемся определением средней цены. Средняя цена равна общей стоимости всех купленных конфет, деленной на их общую массу. Пусть $x$ — цена килограмма конфет третьего вида в рублях.

1. Найдем общую массу купленных конфет.

Для этого сложим массу конфет каждого вида:

$2 \text{ кг} + 4 \text{ кг} + 3 \text{ кг} = 9 \text{ кг}$

2. Составим выражение для общей стоимости всех конфет.

Стоимость конфет первого вида: $2 \text{ кг} \times 255 \text{ р./кг} = 510 \text{ р.}$

Стоимость конфет второго вида: $4 \text{ кг} \times 285 \text{ р./кг} = 1140 \text{ р.}$

Стоимость конфет третьего вида: $3 \text{ кг} \times x \text{ р./кг} = 3x \text{ р.}$

Общая стоимость всех конфет равна сумме стоимостей каждого вида:

$510 + 1140 + 3x = 1650 + 3x \text{ р.}$

3. Составим и решим уравнение, используя формулу средней цены.

Средняя цена = $\frac{\text{Общая стоимость}}{\text{Общая масса}}$

Подставим известные значения в формулу:

$260 = \frac{1650 + 3x}{9}$

Чтобы решить уравнение, умножим обе части на 9:

$260 \times 9 = 1650 + 3x$

$2340 = 1650 + 3x$

Теперь найдем $3x$, вычтя 1650 из 2340:

$3x = 2340 - 1650$

$3x = 690$

Найдем $x$, разделив 690 на 3:

$x = \frac{690}{3}$

$x = 230$

Таким образом, килограмм конфет третьего вида стоил 230 рублей.

Ответ: 230 рублей.

573. Среднее арифметическое четырёх чисел равно 2,1, а среднее арифметическое трёх других чисел – 2,8. Найдите среднее арифметическое этих семи чисел.

Для того чтобы найти среднее арифметическое всех семи чисел, необходимо сначала вычислить сумму первой группы чисел и сумму второй группы чисел. Затем сложить эти суммы и разделить полученный результат на общее количество чисел, то есть на 7.

1. Вычислим сумму первых четырёх чисел. Известно, что их среднее арифметическое равно 2,1. Сумма этих чисел ($S_4$) равна произведению их среднего арифметического на их количество:

$S_4 = 2,1 \cdot 4 = 8,4$

2. Вычислим сумму трёх других чисел. Их среднее арифметическое равно 2,8. Сумма этих чисел ($S_3$) равна:

$S_3 = 2,8 \cdot 3 = 8,4$

3. Теперь найдём общую сумму всех семи чисел ($S_7$), сложив суммы двух групп:

$S_7 = S_4 + S_3 = 8,4 + 8,4 = 16,8$

4. Найдём среднее арифметическое этих семи чисел, разделив их общую сумму на их количество (7):

$\frac{S_7}{7} = \frac{16,8}{7} = 2,4$

Ответ: 2,4

574. Среднее арифметическое семи чисел равно 10,2, а среднее арифметическое трёх других чисел – 6,8. Найдите среднее арифметическое этих десяти чисел.

Среднее арифметическое набора чисел равно сумме этих чисел, делённой на их количество. Чтобы найти среднее арифметическое для всех десяти чисел, необходимо найти их общую сумму и разделить на их общее количество, то есть на 10.

1. Найдём сумму первой группы из семи чисел. Для этого умножим их среднее арифметическое (10,2) на их количество (7):
$S_1 = 10,2 \cdot 7 = 71,4$

2. Найдём сумму второй группы из трёх чисел. Для этого умножим их среднее арифметическое (6,8) на их количество (3):
$S_2 = 6,8 \cdot 3 = 20,4$

3. Найдём общую сумму всех десяти чисел, сложив суммы двух групп:
$S_{общ} = S_1 + S_2 = 71,4 + 20,4 = 91,8$

4. Найдём среднее арифметическое всех десяти чисел, разделив их общую сумму на их общее количество ( $7 + 3 = 10$ ):
$M = \frac{S_{общ}}{10} = \frac{91,8}{10} = 9,18$

Ответ: 9,18

575. Средний возраст одиннадцати футболистов команды равен 22 годам.

Во время игры одного из футболистов удалили с поля, после чего средний возраст оставшихся игроков составил 21 год. Сколько лет было футболисту, который покинул поле?

Для того чтобы найти возраст футболиста, покинувшего поле, сначала вычислим суммарный возраст всех игроков команды до его ухода.

Суммарный возраст одиннадцати футболистов равен произведению их количества на средний возраст:
$11 \times 22 = 242$ года.

После того как одного футболиста удалили, в команде осталось $11 - 1 = 10$ игроков. Их средний возраст составил 21 год. Вычислим суммарный возраст оставшихся игроков:
$10 \times 21 = 210$ лет.

Возраст удаленного футболиста — это разница между суммарным возрастом команды до его ухода и суммарным возрастом после:
$242 - 210 = 32$ года.

Ответ: 32 года.

576. В течение календарного года средняя зарплата Ольги составляла 22 000 р. в месяц. Когда она за свою добросовестную работу в конце года получила премию, её среднемесячный доход составил 27 000 р. Сколько рублей составляла премия?

Для того чтобы найти размер премии, необходимо выполнить следующие действия:

1. Вычислить общий доход Ольги за весь год (12 месяцев) без учёта премии. Для этого умножим её среднюю зарплату на количество месяцев в году:

$22\ 000 \text{ рублей/месяц} \times 12 \text{ месяцев} = 264\ 000 \text{ рублей}$

Это общая сумма, которую Ольга заработала за год в виде зарплаты.

2. Вычислить общий доход Ольги за год с учётом премии. Для этого умножим её новый среднемесячный доход на количество месяцев в году:

$27\ 000 \text{ рублей/месяц} \times 12 \text{ месяцев} = 324\ 000 \text{ рублей}$

Это общая сумма, которую Ольга получила за год, включая зарплату и премию.

3. Найти размер премии. Премия — это разница между общим годовым доходом с премией и общим годовым доходом без премии.

$324\ 000 \text{ рублей} - 264\ 000 \text{ рублей} = 60\ 000 \text{ рублей}$

Ответ: 60 000 рублей.

577. На сколько среднее арифметическое всех чётных чисел от 1 до 1000 включительно больше, чем среднее арифметическое всех нечётных чисел от 1 до 1000 включительно?

Чтобы решить задачу, необходимо найти среднее арифметическое для двух рядов чисел: чётных и нечётных в диапазоне от 1 до 1000, а затем вычислить их разность.

Среднее арифметическое чётных чисел

Ряд чётных чисел от 1 до 1000 — это 2, 4, 6, ..., 1000. Этот ряд представляет собой арифметическую прогрессию. Количество чисел в этом ряду равно $1000 / 2 = 500$.

Среднее арифметическое для членов арифметической прогрессии можно найти как полусумму её первого и последнего членов.

Первый член $a_1 = 2$.

Последний член $a_{500} = 1000$.

Среднее арифметическое чётных чисел ($M_{чётн}$) равно:

$M_{чётн} = \frac{a_1 + a_{500}}{2} = \frac{2 + 1000}{2} = \frac{1002}{2} = 501$.

Среднее арифметическое нечётных чисел

Ряд нечётных чисел от 1 до 1000 — это 1, 3, 5, ..., 999. Этот ряд также является арифметической прогрессией, и в нём также 500 чисел.

Первый член $b_1 = 1$.

Последний член $b_{500} = 999$.

Среднее арифметическое нечётных чисел ($M_{нечётн}$) равно:

$M_{нечётн} = \frac{b_1 + b_{500}}{2} = \frac{1 + 999}{2} = \frac{1000}{2} = 500$.

Разность средних арифметических

Теперь найдём, на сколько среднее арифметическое чётных чисел больше среднего арифметического нечётных:

$M_{чётн} - M_{нечётн} = 501 - 500 = 1$.

Альтернативное рассуждение

Можно заметить, что каждое чётное число в диапазоне от 1 до 1000 ровно на единицу больше предшествующего ему нечётного числа: 2 = 1 + 1, 4 = 3 + 1, 6 = 5 + 1, и так далее до 1000 = 999 + 1. Поскольку каждому нечётному числу соответствует чётное, которое больше его на 1, и количество чисел в обеих группах одинаково, то и среднее арифметическое чётных чисел будет ровно на 1 больше, чем среднее арифметическое нечётных.

Ответ: 1

578. Семь гномов собрались вечером вокруг костра. Оказалось, что рост каждого гнома равен среднему арифметическому роста двух его соседей. Докажите, что все гномы были одного роста.

Обозначим рост семи гномов, сидящих по кругу, как $h_1, h_2, h_3, h_4, h_5, h_6, h_7$. Поскольку гномы сидят по кругу, соседями гнома с ростом $h_i$ являются гномы с ростом $h_{i-1}$ и $h_{i+1}$ (индексы рассматриваются по кругу, то есть для $h_1$ соседи — $h_7$ и $h_2$, а для $h_7$ — $h_6$ и $h_1$).

По условию задачи, рост каждого гнома равен среднему арифметическому роста двух его соседей. Это можно записать в виде системы уравнений:

$h_i = \frac{h_{i-1} + h_{i+1}}{2}$ для $i = 1, \dots, 7$.

Для доказательства утверждения можно использовать два подхода.

Способ 1 (алгебраический)

Перепишем основное уравнение как $2h_i = h_{i-1} + h_{i+1}$, что эквивалентно $h_i - h_{i-1} = h_{i+1} - h_i$.

Это равенство означает, что разность в росте между любым гномом и его соседом (при обходе круга в одном направлении) является постоянной величиной. Обозначим эту постоянную разность через $d$.

Тогда мы имеем:

$h_2 - h_1 = d$

$h_3 - h_2 = d$

...

$h_7 - h_6 = d$

$h_1 - h_7 = d$

Из этих равенств следует, что росты гномов образуют арифметическую прогрессию. Выразим рост каждого гнома через рост первого ($h_1$) и разность $d$:

$h_2 = h_1 + d$

$h_3 = h_2 + d = h_1 + 2d$

$h_4 = h_1 + 3d$

$h_5 = h_1 + 4d$

$h_6 = h_1 + 5d$

$h_7 = h_1 + 6d$

Теперь используем последнее условие, которое замыкает круг: $h_1 - h_7 = d$. Подставим в него выражение для $h_7$:

$h_1 - (h_1 + 6d) = d$

$-6d = d$

$7d = 0$

Отсюда следует, что $d = 0$.

Поскольку разность арифметической прогрессии равна нулю, то все её члены равны между собой. Следовательно, $h_1 = h_2 = h_3 = h_4 = h_5 = h_6 = h_7$.

Способ 2 (используя понятие максимума)

Предположим, что не все гномы имеют одинаковый рост. В таком случае, так как гномов конечное число, среди их ростов обязательно найдётся максимальное значение.

Пусть самый высокий гном (или один из них) имеет рост $H_{max}$. Обозначим рост этого гнома как $h_k = H_{max}$. По условию задачи:

$h_k = \frac{h_{k-1} + h_{k+1}}{2}$

Так как $h_k$ — это максимальный рост, то рост его соседей не может быть больше: $h_{k-1} \le H_{max}$ и $h_{k+1} \le H_{max}$.

Следовательно, сумма ростов его соседей $h_{k-1} + h_{k+1} \le H_{max} + H_{max} = 2H_{max}$.

Из условия задачи мы знаем, что $h_{k-1} + h_{k+1} = 2h_k = 2H_{max}$.

Равенство в этом случае достигается только тогда, когда оба слагаемых максимальны, то есть $h_{k-1} = H_{max}$ и $h_{k+1} = H_{max}$.

Это означает, что соседи самого высокого гнома также имеют максимальный рост.

Применяя это же рассуждение к соседям (например, к гному с ростом $h_{k+1}$), мы обнаружим, что и его другой сосед (гном с ростом $h_{k+2}$) тоже должен иметь максимальный рост. Продолжая так по кругу, мы придём к выводу, что все семь гномов имеют рост $H_{max}$. Следовательно, все гномы одного роста, что и требовалось доказать.

Ответ: Таким образом, доказано, что все гномы были одного роста.