Номер 578, страница 110 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Среднее арифметическое. Среднее значение величины. Глава 3. Дроби - номер 578, страница 110.

Условие.

578. Семь гномов собрались вечером вокруг костра. Оказалось, что рост каждого гнома равен среднему арифметическому роста двух его соседей. Докажите, что все гномы были одного роста.

Решение.

Решение 2.

Обозначим рост семи гномов, сидящих по кругу, как $h_1, h_2, h_3, h_4, h_5, h_6, h_7$. Поскольку гномы сидят по кругу, соседями гнома с ростом $h_i$ являются гномы с ростом $h_{i-1}$ и $h_{i+1}$ (индексы рассматриваются по кругу, то есть для $h_1$ соседи — $h_7$ и $h_2$, а для $h_7$ — $h_6$ и $h_1$).

По условию задачи, рост каждого гнома равен среднему арифметическому роста двух его соседей. Это можно записать в виде системы уравнений:

$h_i = \frac{h_{i-1} + h_{i+1}}{2}$ для $i = 1, \dots, 7$.

Для доказательства утверждения можно использовать два подхода.

Способ 1 (алгебраический)

Перепишем основное уравнение как $2h_i = h_{i-1} + h_{i+1}$, что эквивалентно $h_i - h_{i-1} = h_{i+1} - h_i$.

Это равенство означает, что разность в росте между любым гномом и его соседом (при обходе круга в одном направлении) является постоянной величиной. Обозначим эту постоянную разность через $d$.

Тогда мы имеем:

$h_2 - h_1 = d$

$h_3 - h_2 = d$

...

$h_7 - h_6 = d$

$h_1 - h_7 = d$

Из этих равенств следует, что росты гномов образуют арифметическую прогрессию. Выразим рост каждого гнома через рост первого ($h_1$) и разность $d$:

$h_2 = h_1 + d$

$h_3 = h_2 + d = h_1 + 2d$

$h_4 = h_1 + 3d$

$h_5 = h_1 + 4d$

$h_6 = h_1 + 5d$

$h_7 = h_1 + 6d$

Теперь используем последнее условие, которое замыкает круг: $h_1 - h_7 = d$. Подставим в него выражение для $h_7$:

$h_1 - (h_1 + 6d) = d$

$-6d = d$

$7d = 0$

Отсюда следует, что $d = 0$.

Поскольку разность арифметической прогрессии равна нулю, то все её члены равны между собой. Следовательно, $h_1 = h_2 = h_3 = h_4 = h_5 = h_6 = h_7$.

Способ 2 (используя понятие максимума)

Предположим, что не все гномы имеют одинаковый рост. В таком случае, так как гномов конечное число, среди их ростов обязательно найдётся максимальное значение.

Пусть самый высокий гном (или один из них) имеет рост $H_{max}$. Обозначим рост этого гнома как $h_k = H_{max}$. По условию задачи:

$h_k = \frac{h_{k-1} + h_{k+1}}{2}$

Так как $h_k$ — это максимальный рост, то рост его соседей не может быть больше: $h_{k-1} \le H_{max}$ и $h_{k+1} \le H_{max}$.

Следовательно, сумма ростов его соседей $h_{k-1} + h_{k+1} \le H_{max} + H_{max} = 2H_{max}$.

Из условия задачи мы знаем, что $h_{k-1} + h_{k+1} = 2h_k = 2H_{max}$.

Равенство в этом случае достигается только тогда, когда оба слагаемых максимальны, то есть $h_{k-1} = H_{max}$ и $h_{k+1} = H_{max}$.

Это означает, что соседи самого высокого гнома также имеют максимальный рост.

Применяя это же рассуждение к соседям (например, к гному с ростом $h_{k+1}$), мы обнаружим, что и его другой сосед (гном с ростом $h_{k+2}$) тоже должен иметь максимальный рост. Продолжая так по кругу, мы придём к выводу, что все семь гномов имеют рост $H_{max}$. Следовательно, все гномы одного роста, что и требовалось доказать.

Ответ: Таким образом, доказано, что все гномы были одного роста.