Номер 577, страница 110 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Среднее арифметическое. Среднее значение величины. Глава 3. Дроби - номер 577, страница 110.

Условие.

577. На сколько среднее арифметическое всех чётных чисел от 1 до 1000 включительно больше, чем среднее арифметическое всех нечётных чисел от 1 до 1000 включительно?

Решение.

Решение 2.

Чтобы решить задачу, необходимо найти среднее арифметическое для двух рядов чисел: чётных и нечётных в диапазоне от 1 до 1000, а затем вычислить их разность.

Среднее арифметическое чётных чисел

Ряд чётных чисел от 1 до 1000 — это 2, 4, 6, ..., 1000. Этот ряд представляет собой арифметическую прогрессию. Количество чисел в этом ряду равно $1000 / 2 = 500$.

Среднее арифметическое для членов арифметической прогрессии можно найти как полусумму её первого и последнего членов.

Первый член $a_1 = 2$.

Последний член $a_{500} = 1000$.

Среднее арифметическое чётных чисел ($M_{чётн}$) равно:

$M_{чётн} = \frac{a_1 + a_{500}}{2} = \frac{2 + 1000}{2} = \frac{1002}{2} = 501$.

Среднее арифметическое нечётных чисел

Ряд нечётных чисел от 1 до 1000 — это 1, 3, 5, ..., 999. Этот ряд также является арифметической прогрессией, и в нём также 500 чисел.

Первый член $b_1 = 1$.

Последний член $b_{500} = 999$.

Среднее арифметическое нечётных чисел ($M_{нечётн}$) равно:

$M_{нечётн} = \frac{b_1 + b_{500}}{2} = \frac{1 + 999}{2} = \frac{1000}{2} = 500$.

Разность средних арифметических

Теперь найдём, на сколько среднее арифметическое чётных чисел больше среднего арифметического нечётных:

$M_{чётн} - M_{нечётн} = 501 - 500 = 1$.

Альтернативное рассуждение

Можно заметить, что каждое чётное число в диапазоне от 1 до 1000 ровно на единицу больше предшествующего ему нечётного числа: 2 = 1 + 1, 4 = 3 + 1, 6 = 5 + 1, и так далее до 1000 = 999 + 1. Поскольку каждому нечётному числу соответствует чётное, которое больше его на 1, и количество чисел в обеих группах одинаково, то и среднее арифметическое чётных чисел будет ровно на 1 больше, чем среднее арифметическое нечётных.

Ответ: 1